2024年北京某校高三（上）期中数学试题及答案

人大附中朝阳学校2024~2025学年度上学期高三年级期中试卷

数学试题2024年11月1日

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.已知集合知={x|(x+3)(x-l)〈O},N={x\\x\<2],则()

A.(-2,1]B.[-3,2)C.(-2,3]D.L-1,2)

2.下列函数既是奇函数，又在(0,包)上单调递增的是()

A.f{x)=-^—B./(x)=2|v|C./(x)=tanx

D./(x)=2x--

x-1X

3.若|利=1,|切=2,（〃一。），々，则向量〃与-的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.设S〃为等比数列｛an｝的前〃项和，已知S3=«4-2,S2=«3-2,则公比4=)

A.2B.-2C.-D.--

22

5.下列命题中，真命题的是（）

A.若则B.若。＞6,则〃、油〉〃

ab

C.若0<a<6<c,则logjvlogc，D.若a+26=2,贝i)2"+型24

6.设a,是三个不同平面，且\y=m,则“/〃/"”是“a〃夕”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.〃x)=2cos23x+e)+b的部分图象如图所示，则以下说法正确的是(

7171

A.co=—,b=\B.a)=—,b=-lC.a)=Tt,b=lD.a>=n,b=-l

22

8.已知向量a,6满足卜+母=3,a-b=Q,若c=Qz+(l-㈤/2eR),且

♦2=2%,则|c|的最大值为()

A.3B.2C.-

2

9.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一,

图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部

可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体

（图2）,这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在

底面3CE中，若BE=CE=3,NBEC=120。,则

该几何体的体积为（）

A.—B.C.27

22

10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和

核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体

追踪技术，设计了如下实验：目标尸在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m的

2两点各放置一个传感器，分别实时记录43两点与物体尸的距离.科技小组的同学根据传

感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线。，6所示/和L分别是两个函数的

极小值点.曲线.经过和“2,%），曲线6经过色，4）.已知〃=3⑵4=4m,r=4s,

并且从t=0时刻到t=t2时刻P的运动轨迹与线段AB相

交.分析曲线数据可知，尸的运动轨迹与直线AB所成夹角

的正弦值以及尸的速度大小分别为（）

A65/口6屈/

A.—,-----m/sD.------m/s

7472

「23#）「23#）

C.—,-----m/sD・—,-----m/s

7472

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）

11.复数卷-------------；对应的点坐标为一

长为______________;共轨复数是___________________.

12.已知角x在第二象限，且sin^+|^|=-|,贝ijtan2x=.

13.在；A3C中，。，瓦c分别是角A,氏C的对边，且a+c=26,则角B的取值范围为.

J尤-2+a,x>2

14.设函数/（%）=I_|c（a>0且4R1）.给出下列四个结论:

\ax-2\,x<2

①当。=2时，存在f,方程=f有唯一解；

②当ae（0,l）时,存在f,方程/（x）=r有三个解；

③对任意实数。（4>0且"1）,/（X）的值域为［0,+8）；

④存在实数。，使得了。）在区间（。,+8）上单调递增；

其中所有正确结论的序号是.

15.已知数列的前"项和为E,,q=l且%+i=S；+l,（〃eN）给出下列四个结论：①长度分别

为1,。角,5“的三条线段可以构成一个直角三角形：②V〃eN*,S建27③

JT

2a

VneN",a“+%+2<„+i；®VneN*,a„+1=2ancos西.其中所有正确结论的序号是.

人大附中朝阳学校2024~2025学年度上学期高三年级统练试卷

数学答题纸2024年11月1日

三、解答题：(本大题共5小题，共85分.)

16.(14分(5+4+5))已矢口函数/(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x.

(I)求/(x)的最小正周期；

(II)求不等式7(x)2-1的解集；

din从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求加的取值范围.

①/(%)在(0,m)有恰有两个极值点；

②在(0,利)单调递减；

③/(%)在(0,m)恰好有两个零点.

注：如果选择的条件不符合要求，0分；如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分.

17.(13分(7+6))若同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组

这样的三个条件并解决下列问题：

(I)求边”的值；

(II)求△ABC的面积.

条件①：acosA=6sinA；条件②：8=a+2；条件③：sinC=J；条件④：，.cosC=-106-12.

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

18.(14分(4+5+5))如图，在三棱柱ABC—44G中，AC=5C=A8]=2,蝴上平面ABC,

AC,1AC,D，石分别是AC,4cl的中点.

(I)证明：ACl/C]

(II)证明：〃平面的43；

din求OE与平面84cle所成角的正弦值.

19.(14分(4+5+5))已知函数/(x)=x"lnx,其中a为常数且awO.

(I)求曲线y=/(x)在x=i处的切线方程;

(H)讨论函数/(尤)的单调区间；

(III)当。=1时，若在点M(XoJ(Xo))，o>J处的切线/分别与X轴和〉轴于，A,8两点，。为坐

标原点，记的面积为S,求S的最小值.

20.(15分(4+5+6))已知/'(x)=(2x-l)e"-x在x=0处的切线方程为x+y+6=0.

(I)求实数》的值；

(H)证明：〃龙)仅有一个极值点飞,且“x0)

(III)若g(x)=(依TH'T,是否存在上使得g(x)-l恒成立，存在请求出左的取值范围，不存在

请说明理由.

21.(15分(4+5+6))已知有限数列,从数列中选取第1项、第三项、、第0项

(，；<%<<或)，顺次排列构成数列低｝，其中"=%,”小加，则称新数列｛4｝为

的长度为机的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的

每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列.设数列满足%=〃，

l<n<25,neN*.

(I)判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由；

数列①：3,5,7,9,11；数列②：2,4,8,16.

(II)数列的子列｛a｝长度为m,且｛4｝为完全数列，证明：加的最大值为6；

(ill)数列的子列｛4｝长度m=5,且｛4｝为完全数列，求:+：+：+：+：的最大值.

4“2”3”4“5

2024北京人大附中朝阳学校高三11月统练数学答案

一、单选题

1.

【答案】B

【分析】分别确定集合N,根据并集的概念求MuN可得答案.

【详解】因为M={x|-3VxVl}=[-3,l],N={x]-2<x<2}=(-2,2),

所以MuN=[-3,2).

故选：B

2.

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性先排除AB选项，再结合函数的单调性选择正确答案.

【详解】对A：因为函数/(x)=工的定义域为定义域不关于原点对称，

x-1

所以为非奇非偶函数，故A错误；

对B：/(-x)=2w=2w=/(x),所以函数/(X)=2M为偶函数，故B错误；

对C：根据正切函数的性质可知，函数/*)=tanx在(0,+s)不具有单调性，故C错误；

对D：函数的定义域为(-8,0)30，+3°)，/(-x)=2(-x)---=-[2%--|=故函数

为奇函数，

又r(力=2+5>0,所以函数在(0,+8)上单调递增.

故选：D

3.

【答案】B

【详解】试题分析：由。•("&)=(),得a2-a.b=0，即。•&=|。『，所以向量。力的夹角为

„abLI21

==9所以向量。力的夹角为60.

考点：向量的运算及向量的夹角.

4.【答案】A

试卷第1页，共13页

【详解】S3-S2=a3=a^-a3,则9=二二2

a2

5.

【答案】D

【分析】举反例即可判断ABC,根据基本不等式和指数运算即可判断D.

【详解】对A,当。=-1,8=1时，则,<：,故A错误；

ab

对B,当〃=-11=一2时，贝=1,。力=2,贝!]〃2<[人，故B错误；

对C,当0<c<l时，根据对数函数单调性知log->log),故C错误；

对D,若a+2b=2,则2。+4呛2也4"=2d2计2b=4，

当且仅当。=1,占=；时取等号，故D正确.

故选：D.

6.

【答案】B

【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断.

【详解】若。〃夕，a\丫=1邛\y=m,则由平面平行的性质定理：得/〃机；

但当/〃加，a\y=l,/3y=机时，可能有a〃月，也可能有月相交，

如/,也是三棱柱的两条侧棱所在直线，r是/,根确定的平面，

另两个侧面所在平面分别为a,〃，此时符合条件，而外夕相交，

所以“〃/加”是“。〃夕’的必要不充分条件.

故选：B

7.

【答案】B

【分析】先把函数解析式化成y=Acos(ox+°)的形式，再结合函数的周期和值域求值.

【详解】因为/(x)=2cos2(0x+p)+b=cos(20x+20)+b+l.

由函数图象可知：b+l=0nb=-l；

T2兀71

又〈二号5一：1=1,所以T=2,又7=三=@=?.

244202

故选：B

试卷第2页，共13页

8.

【答案】D

【分析】令〃=4"，b=MB=AN,根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到

AC人MN,然后数形结合求卜|的最大值.

【详解】如图:令。=AM,b=MB=AN,则〃+A=AM+=AB,故W6卜3.

因为〃•/?=(),所以记AB的中点为。，所以点M在以A3为直径的圆。上.

设°=4。，连接MV,因为c=X〃+(l-X)。，所以点C在直线MN上.

因为c・〃=c/,所以c-(a—b)=O,即AC.NM=O,所以AC_LMN.

结合图形可知，当A3时，|AC|即卜|取得最大值，且kLx=MOI=|・

故选:D

9.

【答案】C

【详解】如图所示，该几何体可视为直三柱BCE-ADF与两个三棱锥S-M4B,S-NCD拼

接而成.

记直三棱柱BCD-ADF的底面BCE的面积为S,高为6,所求几何体的体积为V,

贝！JS=」BE.CE-sinl20°=』x3x3x3=9,

2224

因为两个直三棱柱相同，^h=CD=BC=35

所以V二忆棱柱BCE-ADF+V三棱锥S-MAB+棱锥S-N8

=Sh+-S--h+-S--h=-Sh=27.

32323

故选：C.

试卷第3页，共13页

10.

【答案】B

【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知|Aq=6m,|BC|=2vm,结合|A8|=7m分

析求解即可.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，

设动点尸的轨迹与y轴重合，其在，=0,4,L时刻对应的点分别为。(坐标原点)，D,E,p

的速度为皿/s,v〉0,

因为科=，与2=4m,%=2s,，2=4s,可得弓=2m,

由题意可知：A。,BE均与>轴垂直，且|AD|=4m,|BE|=2m,|OD|=|£»E|=2vm,

作BC1AD垂足为C,则|AC|=6m,|BC|=2vm,

因为|AC「+忸C『=|A砰，即36+4T2=49,解得v=半；

又因为BC〃y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为NABC,

一|AC|6

所以尸的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为sinZABC=T—j-=-.

\AB\7

故选：B.

二、填空题

11.

【答案】i；(0,1)；1；1；-i

试卷第4页，共13页

12.

【答案】-§24/一3=3

77

【分析】先根据诱导公式得cos%,再根据同角三角函数关系得tani,最后利用二倍角公式

即可求解.

【详解】因为sin、+g)=-所以由诱导公式可得：cosx=-p

________3

因为角1在第二象限，所以sin%=J1—cos?%=g,

13.

【答案】

【分析】由余弦定理、基本不等式得出cosB的范围即可得解.

22_[£+£|

【详解】a2+c2-b2+C[2J3a2+3c2-2ac6ac-2ac1，

cosB=---=--------------------=------------------->-------------=—

2ac2acSacSac2

当且仅当。=c=b,即-ABC为等边三角形时，cosB=J,又,0<B<n.­.Be^

故答案为：(o.j].

14.

【答案】①②④

【分析】分情况，做出函数图象，数形结合，可得问题答案.

【详解】当。=2时，可得函数图象如下：

由,-2|=0nx=l；&二5+2=2,|22-2卜2,结合图象:

试卷第5页，共13页

当尤£（-oo』时，函数单调递减，且“力40,2）；

当了£口,+8）,函数单调递增，/（X）G[0,+O>）.

所以当年2时，方程/（%）=才有唯一解.故①正确;

当0VQV1时，函数图象如下：

由上一2卜0=>%=log“2<0；由图象可知，

当％«-8,loga2]时，函数单调递减，/（X）G[0,+O））.

当元E（log。2,2）时，函数单调递增，/（x）e（0,2-tz2）；

当尤E[2,+8）时，函数单调递增，“尤）£（。,+8）.

因为2-〃2+一1）,因为0<。<1,所以一（〃+2）（。一1）〉。，即2—2>aa

所以，当时，方程=£有三个解.故②正确；

如图：

由|优一2|=。n%=log42,再由log.2>2夜，

此时〃力在（-叫2）上单调递减，在[2,+8）上单调递增，且0<2-〃2<。，

所以此时函数的值域不是©+8）.故③错误；

由①可得，当。=2时，函数外“在（2,+。）上单调递增.

即：存在实数。，使得〃光）在区间（。,+力）上单调递增.故④正确.

故答案为：①②④

试卷第6页，共13页

15.

【答案】②

[分析】①:先确定L。用，斗最大的那个,再根据勾股定理列式判断;②通过放缩得到。角>2%,

再进一步通过放缩判断；③④求出力，生，。3,然后举例排除.

【详解】对于①：=S；+l>0,4=1,则4+i>1,S〃>0,

贝”4+1—=S；+1—S〃=(s〃一g]+(>0,即。〃+1>S〃,

假设长度分别为l，"z，S〃的三条线段可以构成一个直角三角形，

则4+1为斜边,所以〃3=S；+1,

所以。3=。〃+1-1+1，所以%=。或%+1=i，与〃/1>1矛盾，故①错误；

对于②：an+l=S^+l>2Sn>2an,当且仅当〃=1等号成立，

所以乎22,所以222〃一％=2〃，

所以V〃£N*,S“24N2i,②正确；

对于③：由已知。1=1,4=2,%=1。，此时4+%>2%，所以£N*M〃+an+2<2an+i不成立，

③错误；

对于④：由已知q=1,。2=2,%=1°，此时为，2〃2cos/，所以V〃£N*M〃+]=2〃“cos1r不

成立，④错误.

故答案为：②.

三、解答题

16.

【详解】(1)f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x

=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)=sin2x-cos2x

=0sin(2x—2).

2兀

所以“X)的最小正周期为1=限

试卷第7页，共13页

(2)sin(2x——)......-,则----卜2kjiG2x---«----卜2k7i,ksZ,

42444

37r

解集为｛x\k7r<x<——+ki,k^Z].

4

(3)因为x£(。,m)，所以2%—G(—,2m—).

444

选择①，因为/(九)在(。，附有恰有两个极值点.

所以_兀,5兀

372t<2m——<——.

42

所

以77-t/11兀

8<m<---.

8

若选择②，因为当2%-;£(-■7,大)时，/(九)函数递增，

所以/(九)在(0,⑼不可能单调递减，所以②不符合题意；

选择③，因为/(%)在(0,附恰好有两个零点.

兀

所以兀<2m——<2K.

4

5兀9兀

所以一<m<一.

88

17.

【详解】(1)因为acosA=Z>sinA,由正弦定理得，sinAcosA=sinBsinA

又因为A£(0,〃)，所以sinA。0,所以COSA=sin

TT

由于sinB>0,所以cosA>0,又因为AEQTT),所以AE(0,1).

2

7T

当AE(0,5)时，COSAG(0,1),

而sin3e(0,1),Be(0㈤时，ZB的取值最多两个.

当4e(0,工)时，B=^-A^B=A+-,

422

此时，C=T或C=q-2Ae(0,?.

当4呜$时，因为5-2Ae(g0],所以C=(即NC不可能为钝角.

由条件④知，cosC<0,NC为钝角，

所以条件①和条件④不能同时满足.

因此有两种情况的解答：

选择条件①②③

因为“C不可能为钝角，

试卷第8页，共13页

1兀

又因为sinC=M，所以NC==.

26

因为cosA=sin5,且sin5=sin(A+C),

所以cosA=sin(A+—)=^-sinA+—cosA

622

所以」cosA=@sinA,即tanA=^^,

222

又因为Ae(0,7t),所以A='，B=TI-A-C=—.

63

在△ABC中，由正弦定理，三=一二

sinAsinB

所以。sin5=bsinA,

又因为b=a+2,所以〃•咚=；(a+2).所以〃=6+l,

选择条件②③④

由条件④知，cosC<0,NC为钝角，

又因为sinC=1，所以NC=^,所以cosC=-YI.

又因为c2.cosC=-10百-12,所以，=20+86.

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,^20+8^=a2+(a+2)2-2a(a+2)x(-^-),

整理得a?+2。-8=0,解得。=2或。=-4(舍).

(2)选择条件①②③，

由(1)矢口〃=6+1,

又因为NA=NC,所以c=Vi+l,b=a+2=6+3.

SABC=1^sinC=i(V3+l)(^+3)xi=|+V3,

所以△ABC的面积为?+

2

选择条件②③④

结合第⑴问。=2,此时〃=。+2=4,

所以SABC=1^sinC=1x2x4x1=2,

所以△ABC的面积为2.

18.

【详解】(1)A5]_L平面ABC,ACu平面A5C,.•.A5]_LAC,又〈AG-LAC,

试卷第9页，共13页

AQ'AB,=A,ACPAB,<=平面AB^,AC±平面AB^,■B©u平面AB^,

ACLB£.

(2)取A片的中点歹，连接E尸、AF,

因为E、F分别为AG、用$的中点，所以EF//AG，EF=JAG，

所以四边形A£»EF为平行四边形，所以DE//A尸，

因为。E<Z平面AA4B,APu平面44由8,所以DE//平面A4j与8

⑶过点A作Ay//C4,所以4月，AC,AB,1Ay,AClAy,如图建系，以4为坐标

原点，AC、Ay、A用所在直线为尤,y,z轴建立空间直角坐标系，

DE=(一1,-1,2),平面BB&C的法向量n=(1,0,1),

所以直线DE与平面BBgC所成角的正弦值为且.

6

19.

［详角军］(1)fr(x)=axa~xlnx+xa~l,x>0.

因为广⑴=1,/(D=o,

所以切线方程为y=%-L

(2)定义域为(0,+8),

f(x)=(alnx+l)xa~l,令/(无)=0,解得％=?4•

当4〉0时，

%G(0,e1)，<0=>/(x)的减区间为Qe1)；

Xe(e；+8)，/'(X)>°n/(x)的增区间为(e；+8)•

当av0时，

%£(0,ej，/'(%)>』/(X)的增区间为Qej；

Xe(e；+8)，/(x)<°n/⑴的减区间为屋,”).

(3)当a=l时，f(x)=xlnx,f'(x)=l+lnx.

试卷第10页，共13页

切线/：y=(lnxo+l)(x-xo)+xolnxo,

令x=0,%=r()<0；

xQInx0%o

令y=o,4=一+%o=>0.

Inx0+1Inx0+1

1

设g(%)=x>—.

2(lnx+l)e

2xQnx+l)-xM21nx+1)

g'(%)=

2(ln%+l)22(lnx+l)2-

i_11_1

xe(-,e2),g'(x)<0ng(x)在(±,e?)单调递减;

ee

xe(eW+oo)，g'(九)>0=g(])在(e1,+oo)单调递增・

所以g(x)2g(e2)=-.

e

所以当%=F时，S的最小值为］

20.

【详解】⑴由题意，广(同=(2"+2—。)泮—1,贝IJ尸(。)=1—〃=一1,

解得〃=2,又〃0)=-1,可得切点为代入尤+y+b=0,得八1.

所以实数〃=2,b=l.

(2)由(1)得/(%)=(2%—1卜2「工，则/(九)=4以-1,

令g(%)=/(%)，=4e2x(1+2龙)，

令g'(%)>。，得%，-万，令g'(%)<。，得％

所以g(x)在1-8,-上单调递减，在［-2，”)上单调递增，

所以8(Ain=g=-2J-1<0,

且当x<0时，g(x)<0,g(0)=-l<0,g(j=eLl>0,

所以g(x)在(0,；)上存在唯一零点飞,使得g(x0)=。即4/K演=1,

当尤£(-8,%)时，g(X)<0,即广(无)V0,”龙)单调递减，

试卷第11页，共13页

当%£(%,+oo)时，g(%)>0,即—(%)>0,单调递增，

所以，(九)仅存在一个极值点%0，

2

/(x0)=(2x0-l)e'°-x0=(2x0-l)x-ix0=；-'

4%0，I"o)

又函数y=x+；,xjo』，而v，=E^l<0,

4xI4；4/

所以y=x+；在xJ。,］上单调递减，则>=工+；>=，

4九(4J4x4

i53

所以/(%)<2_^=_1.

(3)若存在％,使得g(x)"l恒成立，即(正-对xeR恒成立,

当上V0时，当x>l时，则(丘-l)e*<0,显然上式不成立；

当2>0时，令0(%)=(依-l)e"-％+1,研0)=0,

贝U『'(％)=-1,

令G(%)="(%),则G'(x)=A2(l+3*>0在［0,+oo)上恒成立,

所以G(x)即(可在［0,+功上单调递增，又“(0)=—1,0(')=工