2024-2025学年重庆市九龙坡区高三年级上册10月大联考数学质量检测试题（含解析）

2024-2025学年重庆市九龙坡区高三上学期10月大联考数学质量

检测试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求.

1.已知集合0={2,4,6,8,10},2={2,4},8={4,6},则匕（2°5）=（）

A.{4}B.{2,4}C.{8,10}D.{2,4,6}

【答案】C

【解析】

【分析】根据并集和补集的含义即可得到答案.

【详解】由题意，得NU8={2,4,6},所以］（Zu8）={8,10}.

故选：C.

【解析】

【分析】利用排除法可得正确选项.

【详解】由题意可得/(x)>0,排除B,又/(T)=ci：1产/(x)不是偶函数,排除C,

2|eT

当xf+8时，f(x)—>0,排除D.

故选：A.

3.若函数/(x)=lnx—4+a在区间(l,e)上存在零点，则实数。的取值范围为()

X

A.(0.1)B.[-,1]

e

C.(1,1)D.(1,—+1)

ee

【答案】C

【解析】

【分析】先利用导数判断函数在给定区间上的单调性，再根据题设条件，结合零点存在定理得到不等式组,

求解即得.

【详解】由/'(乃=工+4在区间(l,e)上恒为正可得，函数/(x)=lnx—4+a在区间(l,e)上为增函数,

XXX

依题意，函数在区间(Le)上存在零点，则由零点存在定理可得，

/(l)=a—1<0,且/(e)=a+l—,〉0,解得l<a<l.

ee

故选：C.

4.已知a=log32,Z>=log43,C=0,512,比较°,4c的大小为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

【解析】

【分析】利用换底公式和对数的运算性质结合基本不等式比较6的大小，再利用对数函数、指数函数的

性质比较。大小，即可求解.

2

…丽、Lln2ln3ln2-In4-(ta3)

【详角星】a-b=-------------=---------------———,

In3In4In3-In4

因为In2,ln4>0,

所以In2+ln4>2jln21n4,即In2.1n4<；(ln8)2<；(ln9)2=(ln3「

所以In2・ln4<(ln3)2,且ln3-ln4>0,

所以Q<b，

121

又因为a=logs2>log3V3=—,c=0.5<0.5=—,

所以a>c,

综上，b>a>c,

故选：D.

5.若sin6=-2cos。，则sin6(sin。+cos8)=()

622

A——B.——C.-

■555

【答案】C

【解析】

【分析】先由条件得到tan。=-2,化弦为切，代入求出答案.

【详解】因为sin0=-2cos。，所以tan6=-2,

sin9(sin0+cosff)_tan20+tan04-22

所以sin9(sin3+cos0)

sin23+cos23tan29+\7+T

故选：C

—•2—•1—■—-2—•3—•

6.在AZ5c中，。为BC中点，CP=ACB，AQ=-AB+-AC,若+则九=

()

1111

A.—B.-C.—D.一

2345

【答案】C

【解析】

【分析】选择｛方,〃｝为平面向量的一组基底，表示出石，再根据而表示的唯一性，可求X的值.

【详解】选择｛方,k｝为平面向量的一组基底.

—­1—.1—.

因为。为5c中点，所以Z£>=—4B+—NC；

22

—*2—3—►2/—(■—>\3—►

又/。=§20+二幺2=1(2。+。尸)+12。“元+4西+|［茄+；可

=|[^C+2(^-^C)]+|^|^+=HpAB+^^AC.

24+21

52

由<

3-22_1

52

故选：c

7.已知复数Z1,Z2和Z满足阂=岗=1,若归]-2|=|二1-1|=22-z|,则目的最大值为()

A.2GB.3C.V3D.1

【答案】B

【解析】

【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到目W3,再将目=3时

各复数的取值取出，即可得到忖的最大值.

【详解】根据题意，得忖=|卜2-2)-22闫22-2|+匕2|=归1-[+1<㈤+1+1=3,

当2]=—1,z2=1,z=3时，>一221Tzi-1|=|Z2-Z|=2,此时目=3,

所以匕L=3.

故选：B.

8.已知函数/(x)及其导函数尸(久)的定义域均为R,若/(x)=/(-x)+2xj(x)的图象关于直线x=l对

20

称，且"2)=0,则/(20)—£/'(/.)=()

i=l

A.10B.20C.-10D.-20

【答案】A

【解析】

【分析】由对称性得/(x)=/(2-x),结合已知式分别求导后得出了'(2+x)=/'(x)-2,从而数列

20

｛/'(2〃)｝是公差为—2的等差数列，用赋值法求得/'⑴和/'⑼后可计算出，再由已知与对称性得

1=1

出/(2+x)=/(x)-2x,利用递推式求得了(20),从而可得结论.

【详解】/(x)的图象关于直线x=l对称，则/(x)=/(2—x),

所以/'(x)=-f(2—x)，又/(》)=/(—x)+2x,则以(x)=-f(_x)+2,

所以-fr(2-x)=-f'(-x)+2,从而/'(2+x)=f\x)-2,

因此｛/'(2〃)｝及｛f(2n-1)｝是公差为-2的等差数列，其中〃eN*，

又在又在)=—八2—x)中令x=1得/'⑴=-/XI)，即得f(l)=0，

在/'(X)=—/'(T)+2中令x=0得/'(0)=-/'(0)+2,则/(0)=1,因此/'(2)=—1,

于是/'(1)+/'(3)+/'(5)+…+/'(19)=0_2_4------18=-90,

广(2)+/(4)+…+(20)=-1-3------19=-100,

20

所以X/'(i)=—190,

1=1

又由/(x)=/(2—x)及/(x)=/(—x)+2x得/(2-x)=/(—x)+2x,

从而/(2+x)=/(x)-2x,而/(2)=0

所以/(20)=/(18)-36=/(16)-32-36--=〃2)-4—8------32-36=-180,

20

所以/(20)-^r(z)=-180-(-190)=10,

1=1

故选：A.

【点睛】方法点睛：由对称性得出/(x)=/(2-x),与已知式比较可得/(x)的一个递推关系式，从而可

求得一些特殊的函数值，同样对它们分别求导，又可得出关于导函数的递推式，即得出数列｛/'(2〃)｝及

｛/'(2〃-1)｝都是等差数列,结合等差数列的求和公式可求得结论.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.“co”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线。过坐标原点

。,。上的点到两定点片(-4,0),乙(氏0)伍〉0)的距离之积为定值".则下列说法正确的是()(参考

数据：石a2.236)

A.若闺闻=12,则C的方程为1+/)2=72k2_/)

B.若C上的点到两定点片、片的距离之积为16,则点(-4,0)在。上

C.若a=3,点(3,打)在C上，则2</<3

D.当a=3时，C上第一象限内的点尸满足△回心的面积为：，则|尸周2—1尸乙「=18百

【答案】ACD

【解析】

【分析】设。上的点为P(x,y),整理可得C的轨迹方程为(必+了2)2=242(必一y2).对于A：直接代入即

可；对于B：可得|「丹卜|「鸟|=16,代入检验即可得；对于C：根据C的轨迹方程为代入点（3,%）整理可

得了：+36/—81=0,换元构建函数/（》）=/+36%—81,x20,可知，为/（x）在［0,+勿）内的零

点，结合二次函数的性质分析判断；对于D：根据题意可得|尸耳H?"1=9,NFiPF?*,结合勾股定理

分析求解.

【详解】设C上的点为PQy）,可得归周.|尸工|=而+6+丫2&-。）2+产=〃，

整理可得（必+/）2=2°2卜2一了2）,即Q的轨迹方程为（必+/J=2〃（必一y2）.

对于选项A：若阳闾=12,即a=6,

所以C的轨迹方程为（丁+力2=72卜2—力，故A正确；

对于选项B：因为若C上的点到两定点片、片的距离之积为16,

即a=4,片（-4,0）,月（4,0）,可得|尸7讣|尸用=16,

对于点尸（—4,0）,显然归7讣|「乙|=0716,所以点（—4,0）不在C上，故B错误；

对于选项C：若a=3,则C的轨迹方程为卜2+了2）2=］8卜2一/）,

代入点（3,%）可得（9+诉丫=18（9—诉），整理可得jo+36^-81=0,

令/=第20,可得/+36/-81=0，

令/（x）=x2+36x-81,x>0,可知，为/（x）在［0,+8）内的零点，

因为/（x）的图象开口向上，对称轴为x=-18,可知/（x）在［0,+e）内单调递增，

且/（2）=—5（0,/（3）=36）0,

可知/（久）在［0,+。）内存在唯一零点，且2</<3,即2<y；<3,故C正确；

对于选项D：若a=3,则|尸7讣|尸闾=9,

且点尸在第一象限内，则|理|>|尸引,

19a

又因为的面积为方尸用W用sinN用岑u^sinN内尸6=-,

可得sinN耳隼=1,且N片尸片€（0,兀），则/为典=',

可得归用2+|尸用2=闺闾2=36,

则（附|+|尸闾）2=阀「+归与「+2阀H尸阊=54,即阀|+|尸闾=3几,

仍闻一|尸闾）2=|尸制2+卢闾2―2|刊讣卢闾=18,即卢片卜|尸闾=3后，

所以归外一|平『=仍用+|明|川尸用T笔I）=18石,故D正确；

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：对于选项C：根据题意分析可得y：+36y：-81=0,换元构建函数

/（X）=X2+36X-81,X>0,将方程的根转化为函数零点，结合零点存在性定理分析判断.

10.「X］表示大于或者等于x的最小整数，1x」表示小于或者等于X的最大整数.设｛%｝为4=1的单调递

增数列，且满足41+16d+1-2（%+1+4%）-8《4+1=0,则下列选项正确的是（）

B.出必至多有22022种取值可能

【答案】AC

【解析】

【分析】由条件得｛JZ+1｝是公比为2的等比数列，首项为2,即疯+1=2",即可判断AB；由不等式

放缩得

111111111

--^=H--^=+…-I—=―/1H—]+…-I—/<-产H—+…-I—

MMMV21-1V22-l<2"-1V2V22V2"

即可判断C；由定义及函数单调性即可判断D.

【详解】由已知得，（见+「MJ-2（%+i+4a“）+l=0,

2

所以(%+4*2-2(a,1.+4%)+1=(%+4%-1)=16an+lan,

因为｛4｝为%=1的单调递增数列，

所以%+1+4。“-1=4〃“+化，即（百12向『=1,

所以国二+1=2（JZ+1），或=（不合题意舍）,

所以｛阮+1｝是公比为2的等比数列，首项为2,即阮+1=2",

所以%=（2〃一1）,

对于A,49=(22-1)=9,故A正确；

对于B,出025=(22°25—1)，故B错误；

111111

-j=H----H------------1-----j==]=~\----.—H------F-

凡MM也可422T2;/(2”可

Kg

1

11111V2

H—/+…-1—/<-—H—+…-1—=-------

答本题时需要运用极限思想.

11.随机事件A,8满足尸（Z）=g,尸⑻］，尸（N⑻=|,则下列说法正确的是（）

A,尸（48）=尸⑷尸⑻B.P（AB）=-

8

C.0（Z+8）=qD.P（AB\（A+B））P（AB）=P2（A）P2（B）

【答案】CD

【解析】

【分析】根据题意由相互独立事件的概率性质分析可判断A,B；由概率加法公式可分析C；计算

P（叫（2+0），验证尸（明（Z+0）尸（初）=尸（幺）尸⑻是否正确即可判断D.

【详解】由已知尸（7）=g,P⑻=；,

因为尸（乖）==+所以尸（砌=尸（乖）尸（8）=%；=；，

所以尸（28）=尸（5）—尸=；—；=5，

所以「（ZB）wP（Z）尸（3）,故A错误；

因为尸（万）=尸（7）—尸（右）=；—；=；,故B错误；

1113

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）^-+---^-,故C正确；

1

P（AB\（A+B\\=P^AB\=^=-,

\N〃P（A+B）39

4

又尸（初）=；,尸（/）=；,0（8）=；,

所以尸（幺同（幺+5））尸（五8）=尸2（幺）尸2（8）,故D正确.

故选：CD.

【点睛】方法点睛：解决本题的关键是概率的性质和应用，以及条件概率的计算.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知歹=sin2x和y=cos2x的图像的连续三个交点A,B,。构成△48C,则△48C的面积为

【答案】注^2兀.

2

【解析】

【分析】根据函数歹=sin2x和y=cos2x的图象，可知ANBC为等腰三角形，即可求的面积.

【详解】作出函数歹=$也2%和y=cos2x的图象，可知A/BC为等腰三角形,

且△45C的底边长为m高为正，则△ABC的面积为LXJIX行=1兀.

22

故答案为：在Ji兀.

，&-6

13.已知非零向量£花满足同=百忖,4=0,则£与1的夹角为.

7T

【答案】一

6

【解析】

【分析】借助向量数量积公式与夹角公式计算即可得.

2——*一一II—►|2

【详解】由«=||«|-（2-6=0,故q•/）=—\a

21

又向0,[,故«》)=今

7T

故答案为：—.

6

14.函数是数学中重要的概念之一，1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士

数学家欧拉首次使用符号/(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着

信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理

函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.已知对任意的整数见6均有

f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+3,且/(—2)=—1,则“2024)=.

【答案】2048285

【解析】

【分析】根据/(。+6)=/(。)+/优)+融+3利用赋值法可得/(〃)—/(〃-2)=2〃-2,再由累加法计

算可得结果.

【详解】在/(a+6)=/(a)+/(6)+ab+3中,

令a=6=0,得/(0)=/(0)+/(0)+0+3,于是/(0)=—3.

在/(a+6)=/(a)+/(6)+ab+3中,

令a=2,b=-2,得/(O)=/(2)+/(—2)-4+3,，/(2)=-1.

在/(a+b)=/(口)+/(b)+R?+3中，令°=〃-2/=2,

得/(〃)=/(〃—2)+/(2)+2(〃—2)+3=/(〃—2)-1+2(〃—2)+3=〃〃—2)+2〃—2,

.•./(〃)-/(〃-2)=2〃-2.

/(2024)-/(2022)=2x2024-2,

7(2022)-/(2020)=2x2022-2,

7(2020)-/(2018)=2x2020-2,

/(4)-/(2)=2x4-2

上述等式左、右两边分别相加得/(2024)-/(2)=2(2024+2022+---+4)-2xl011.

,、(2024+4)

/(2024)=2xxlOll-2022-1=2048285.

故答案为：2048285

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用赋值法得出递推关系式，再利用累加法即可求得结果.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在AZ3c中，bsin2A=V3tzsinB-

(1)求//；

(2)当△4BC的面积为3百，2=迪，求。的值.

71

【答案】(1)-

6

(2)V7

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理将条件转化为角的关系，利用二倍角公式化简可得cosN=立，结合角的范围

2

可得结论；

(2)由条件结合三角形面积公式可求be,结合2=述，求瓦c,再由余弦定理求a.

c4

【小问1详解】

因为bsin2Z=43asinB，由正弦定理得，sinBsin24=V3siiL4sinB，

又Bc(Om),所以sin3wO,得到sin2Z=V§siiL4，

又sin2A=2sinAcosA,所以2sinAcosA=gsiivl，

又Ne(O㈤，所以sin/wO,得到cosN=g，

71

所以

【小问2详解】

因为S"BC=^-besinA=^-besiny=^-be=3y/3,所以bc=12G,

2264

又2=地，得到b=£lc,

c44

代入be=12^3，得到°——c2=12>/3，

4

解得c=4,所以6=3A/3，

由余弦定理得，a2=/+。2—26ccosZ=(3百y+42—2x3百x4x等=27+16—36=7，

所以a=y/7-

16.某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，

现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所

示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；

(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多

少分；

(3)已知落在［60,70)内的平均成绩为67,方差是9,落在［60,80)内的平均成绩是73,方差是29,求落

在［70,80)内的平均成绩和方差.

(附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：%元,记两组数据总体的样本平均

数为刃，则总体样本方差$2="+(%_司［+」—

m+nL''Jm+n

【答案】(1)平均数为71,众数为75.

(2)88.

(3)平均数为76,方差为12.

【解析】

【分析】(1)在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐

标的中点，据此求解.

(2)依题意可知题目所求是第90%分位数，先判断第90%分位数落在哪个区间再求解即可；

(3)先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.

【小问1详解】

一至六组的频率分别为0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05,

平均数=45x0.10+55x0.15+65x0.15+75x0.30+85x0.25+95x0.05=71.

由图可知，众数为75.

以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.

【小问2详解】

前4组的频率之和为0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90,

前5组的频率之和为0.70+0.25=0.95>0.90,

第90%分位数落在第5组，设为x,则0.70+(x—80)x0.025=0.90,解得x=88.

“防溺水达人”的成绩至少为88分.

【小问3详解】

[60,70)的频率为0.15,[70,80)的频率为0.30,

所以[60,70)的频率与[60,80)的频率之比为0„30=1

[70,80)的频率与[60,80)的频率之比为:二-

设[70,80)内的平均成绩和方差分别为兀应，

12———

依题意有73=-x67+-xx2,解得x,=76,

332

1'——I

29=—x[9+(67—73)2]+—x|p-3)2,解得s；=12,

33-5+67—1

所以[70,80)内的平均成绩为76,方差为12.

17.已知椭圆。：[+\=1(口〉6〉0)的右焦点为尸(1,0),离心率为孝，直线/经过点尸，且与C相交

于A,8两点，记/的倾斜角为

(1)求C的方程；

(2)求弦48的长(用a表示)；

77

(3)若直线也经过点尸，且倾斜角比/的倾斜角大一，求四边形4M5N面积的最小值.

4

丫2

【答案】(1)—+/=1

2

(2)答案见解析(3)巫

3

【解析】

【分析】(1)根据条件，直接求出6,即可求解；

(2)分《=巴和aw'，当&=四时，直接求出|48|=、历，当。w二时，设出直线/的方程为

222112

y=k(x-r),联立椭圆方程，利用弦长公式，即可求解；

JTJTJT

(3)根据题设，先求出a=—和。=—时，四边形的面积，再求出aw—时，

244

272[tan2(«+-)+!]

\MN\=--------------——,从而得出

1+2tan2(tz+2)

S=；|的卜|幺4sin3=今,+1),20[tan(a+^)+1],过化

1111

244l+2tan'a,,.2/，兀、

1+2ntan+—)

S=-----------------,令y=(3-cos2a)(3+sin2a),通过求出N的最大值，即可解决问题.

(3-cos2a)(3+sin2a)

【小问1详解】

由题知c=l,又'=正，得至1)0=行，所以*=/-c2=2-1=1,

a2

故椭圆C的方程为三+y2=l.

2-

【小问2详解】

设/(七,必),夙》2，%)，因为直线/经过点尸，且倾斜角为1，

2

X2I-

71+y

当a=—时，直线/：X=1,由＜~2=,解得x=l,y=+—，止匕时|48|=后,

2x=l2

TT

当aw,,设直线/的方程为了=左@一1),其中左=tana,

y=k(x-l)

22

由＜x2।消得到(1+2k②)x?-4kx+2/一2=0,

——+V=1

〔2■

又A=16左4_4(1+2左2)(2左2-2)=8左2+8,所以

.仁中小小而、如二口’即阿二26(tan2a+1)

1+2tan26Z

综上，当&=四时，|48|=J5；当aw二时，仁久辿r算D.

211211l+2tan2«

【小问3详解】

直线也经过点尸，且倾斜角比/的倾斜角大王，所以。e0,=],

4-4)

2-\/2(tan-—F1)4A历

当(z=二时，易知=|46|=------------—=—,此时四边形4W3N面积为

4l+2tan2-3

4

1472V22V2

S=\MN\•|AB\sinx42x-----x----=------

2323

当aw：时，可设=K（x—1）,其中尢=tan（a+：

2V2[tan2(«+-)+l]

同理可得\MN\=------------------——,

1+2tan2(a+£)

2V^"(tan-----F1)4y

当&=四时，|48|=J5,-------------4-=△一,此时四边形面积为

223

i+2tan—

4

272

邱呜义后一X

"I-

兀71

当aw—且。w—时，四边形/"BN面积为

42

&1|八八「||4Al.兀V22V2(tan2«+l)2V2[tan2(«+^)+1]

S=—\MN\-\AB\sm—=——x-----------------x-------------------------①,

2111144l+2tan26z-2/兀、

1+2tan(6Z+1—)

「/兀、1+tan。

又tan®+—)=

l-tan6z

•2•2

smasma1

222+2+

,,…04V2(tan6K+1)tan6Z+1.rrCos<zcos<y

代入①化他得到S=————2——x-―-——----------=4V2xa：%.x.尸,-

l+2tana3tana+2tana+3.2sma3sma2sina。

1+----7------2-+--------+3

cosacosacosa

4V|_8V|

(1+sin26f)(3+sin2a)(3-cos2a)(3+sin2a)

令歹=(3—cos2a)(3+sin2a)=9+3sin2a-3cos2a-sin2acos2a,

令sin2a-cos2。=J^sin(2a--)=/,则一sin2acos2a=-——-

42

17173兀、7171571

所以F+蛾+万,对称轴一3,又,则2a丁匕q

当=，即朗时，19+3后

:3,此时九破《2+泊++

2

803040-96

所以四边形/M3N面积的最小值为-19+30—343

~2

X2V2<30472-96；所以四边形/“SN面积的最小值逆.

33433

JTJT

【点睛】本题的关键在于第(3)问，分。=—和aw—,分别求出|MN|,

44

jrTT717r

先求出。=—和a=一两种情况下的面积，再根据题有，当a。一和。。一时,

4242

1JT

S^-^MN\-\AB\sm-,再求出S的最小值，跟特殊情况比较，即可求解.

18.已知函数/(x)=(x+l)lnx,g(x)=a(x-l).

(1)求曲线y=/(x)在(1J。))处的切线方程;

(2)若/(x)〉g(x)对任意的xe(l,+⑹恒成立，求实数4的取值范围；

⑶若〃(%)=qf(x)—』g(x)有三个零点M，%,%3,且占<%<%3，求证:

(3a-1)(石+Xj+2)<2.

【答案】⑴2x-j-2=0

(2)(-8,2］

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用导数的几何意义，求切线方程；

(2)首先不等式转化为［x)=lnx-处R〉0恒成立，并判断［1)=0,并根据函数的导数，讨论a得

到取值，判断函数的单调性，即可求解；

V—1V—1

(3)首先方程等价于alnx---=0,并构造函数“x)=alnx-—,注意到1是函数的一个零点,

x+1x+1

转化为M(x)在(0,+8)上有2个零点，并结合零点存在性定理求。的取值范围，由

u\-=-alnx+----=-w(x),判断再退=1,将所证明不等式转化为3a<—^----,再利用

⑴x+1'，(x3+1)

x—113(x?—1)

a=^3—x--,将不等式转化为inx〉—^____L,再构造函数，利用导数，判断函数的单调性，即

七+11n%X2+4X+1

可证明.

【小问1详解】

由函数/(x)=(x+l)lnx,可得y(i)=o,

且/'(X)=l+』+lnx,则/'(1)=2,

曲线y=/(x)在(1/(1))处的切线方程为2x—y—2=0；

【小问2详解】

当xe(1,+8)时，/(x)>g(x)等价于"〉0,

x+1

设/(x)=lnx—则(xj+ja-2x+l,《1)=0,

x+1x(x+l)

(i)当aW2,比e(l,+8)时，x2+2(l-a)x+l>x2-2x+l>0,

故，(x)>0,f(x)在(1,+8)上单调递增，因此(x)>0；

(ii)当a>2时，令，'(x)=0得％="]-,x2=a-1+-1.

由〉1和X[X2=1得X]<1,

故当时,/'(x)<0,/(x)在(Lx?)单调递减，因此t(x)<0.

综上，a的取值范围是(一叫2].

【小问3详解】

由h(x)=0等价于aInx-----=0,

x+1

x—1

令〃(x)=alnx-----.注意到，“1)=0,依题意，“X)除了1之外，还有两个零点，

X+1

,,、ax2+(2a-2)x+a.....

又由M(X)=------;---------,^v(x)=ax+(2a-2)x+a(x>0),

x(x+l)

当Q«0时，V(X)<0恒成立，故这时"(x)在(0,+8)单调递减，不合题意:

当Q>0时，由题意，首先v(x)在(0,+8)上有两个零点，

71

故A=(2a—2)—4a2>0,解得OVQV,,

2

设两个零点为J和5，有。+42=—―2>0,我2=1〉°，故可知4，刍均大于0,

a

由此可得“X)在(0&)单调递增，(。4)单调递减，(5，+“)单调递增，

而即41)>0,“1)=0,"俗)<0，

'2「2

又因为》e"=-2+—<0,uefl=->0,

1，e+1

故〃(x)在(0,1)内恰有一个零点，在(1,+8)内恰有一个零点,

又1为M%)的一个零点，所以〃(“恰有3个零点，亦即〃%)恰有3个零点,

实数。的取值范围是10,(

/\1X—1,1X—1/

u⑴=aInx------,由M—=-aInx+-----=-u(x

XI1IXyXI1

由此可得X1?=1,要想证明(36z-l)(xj+x3+2)<2,

cx：++1-11

只需证明3a<—：yr—，而Q=rx-

(退+1)X3+IIn/

因此只需要证明当x>l时，inx〉3(x-l)

J+4x+1

令/13/-1

xe[l,+oo),

可得9'(x)=N0，故s(x)在［1,+s)上单调递增,

1时，e(x)>°(l)=0,即当x>l时，in%〉®

因此当x>

x2+4x+1

_13(2(x?-1)

r2

因此日」=«lnx3>-A~-

X3+1%3+4&+1

13a(x.+1)./、2

由&>1,有------------------，BPxi+4X+1>3a(x.+1)，

333V3