2024-2025学年重庆某中学高二10月月考数学试卷及答案

重庆八中2024—2025学年度（上）高二年级第一次月考

数学试题

一'选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.复数Z满足z（2-i）=3+4i（i为虚数单位），贝小的值为（）

A.1B.V5C.—D.5A/5

3

2.已知a,6是两个不同的平面，/,机是两条不同的直线，下列说法正确的是（）

A.若a///，Iua,ma/3,则〃/加B.若/ua,贝

C.若/_Lcz,aV/3,则〃//D.若/〃a,mVa,贝

3.“直线ax-（a+6）y+8=0与3x-ay+a-5=0平行”是“。=6”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

4.已知两个单位向量,，1的夹角为120。，则（1+2项•修-1）=（）

35

A.-B.3C.-D.5

22

5.圆%?+>2+2加工+4町+6=0关于直线m％+>+3=。对称，则实数加=（）

A.1B.-3C.1或-3D.-1或3

6.直线/:%+岛-6=0与圆C：（x+2）2+（y-1）2=2交于A,5两点，则直线ZC与直线的倾斜角之

和为()

A.120°B.145°C.165°D.210°

已知,若加cos］：一夕］=cos］:+6

7.tan28=(,,则实数加的值为（）

1

3.—C.

2

8.已知圆C:(x-2)2+(y+l)2=5及直线/：(〃z+2)x+(»7-l)y-加-8=0,下列说法正确的是()

A.圆C被无轴截得的弦长为2

B.直线/过定点（3,2）

C.直线/被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线/的方程为x+y-l=0

D.直线/被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线/的方程为x-y-5=0

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

9.在边长为2的正方形A8CZ）中，E,尸分别为BC,CO的中点，贝！|（）

一1一

A.AB-AD=2EF

B.AE-AF=4

C.AE+AF=+AD^

1-

D.ZE在同上的投影向量为弓/E

10.如图，直三棱柱48C-4耳。所有棱长均为4,D,E,F,G分别在棱44,4G，48,/C上，（不

与端点重合）^.AlD=AlE=BF^CG,H,P分别为3C,4〃中点，贝U（）

A.4G//平面尸尸G

B.过。，F,G三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形

C.M在△44G内部（含边界），ZAXAM^,则M到棱距离的最小值为二百

63

D.若M,N分别是平面4和4/CG内的动点，则△跖VP周长的最小值为3

11.已知圆G:f+y2=1和圆。2：（》-机）2+（了-2"?）2=4,点。是圆上的动点，过点。作圆G的

两条切线，切点分别为G,H,则下列说法正确的是（）

A.当机旬0,时，圆G和圆G没有公切线

B.当圆G和圆G有三条公切线时，其公切线的倾斜角的和为定值

（2R3

C.圆。与x轴交于M,N,若圆&上存在点尸，使得则机e七，当

D.圆。和Q外离时，若存在点。，使四边形0GG8面积为2亚，贝IJme］（，石］

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上.

12.将函数y=cos14x-E1的图象向右平移。个单位长度后，所得函数为奇函数，则。=—.

13.已知点P（3,0）在直线/上，且点尸恰好是直线/夹在两条直线4：2x-v-2=0与/2：x+y+3=0之间线

-2-

段的一个三等分点，则直线/的方程为.(写出一条即可)

14.台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成.据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市

O(如图)的东偏南。［cos。=；］方向350km的海面尸处，并以20km/h的速度向西偏北60。方向移动，台

风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km,并以10km/h的速度不断增大，小时后，该海滨

城市开始受到台风侵袭.

四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明'证明过程或演算步濠.

2兀

15.(13)在△NBC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,己知。=4,c=~＞。为48边上一

点.

(1)若。为的中点，且CZ)=百，求

(2)若平分NNC8,且A/BC的面积为2«,求。的长.

16.(15)如图，在正三棱柱48C-481cl中，CA=6,E为棱/C的中点，尸为BC边上靠近8的三等分

点，且P3-8G.

(1)证明：。四//平面£34；

(2)求平面/3可4与平面BEG夹角的余弦值.

(1)图(2)图

—3—

17.(15)圆心为C的圆经过2(0,3),B(2,l)两点，且圆心C在直线/：3x-2y=0上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点M(l,2)作圆C的相互重直的两条弦。/，EG,求四边形。EFG的面积的最大值与最小值.

18.(17)如图、三棱锥尸一/8C中，P/_L平面/3C,。为的中点，AC±BC,0c=1,PA=4.

(1)证明：面/C尸_1面8cP；

4

(2)若点A到面的距离为h，证明：OC.LAB；

(3)求OP与面尸所成角的正弦值的取值范围.

—4—

2

19.(17)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：X+/-2X-2V3J-12=0,MX,是圆C上的动点，

且“M|=4后,MM的中点为V.

(1)求点M的轨迹方程；

(2)设点4是直线/:岳-y+46=0上的动点，AP,4。是W的轨迹的两条切线，P,。为切点，求

四边形NPC。面积的最小值；

(3)若垂直于N轴的直线4过点C且与M的轨迹交于点。，E,点N为直线x=-3上的动点，直线ND,

A®与"的轨迹的另一个交点分别为尸，G(尸G与DE不重合)，求证：直线FG过定点.

——5——

重庆八中2024—2025学年度(上)高二年级第一次月考

数学答案

1.B

【分析】根据复数的除法运算求z,再结合共辗复数以及模长公式运算求解.

【详解】因为z(2-i)=3+4i,则z=曰=39

2-1J+(2-'1I)(f2++1?)55

2.D

【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,若e//£,/ua,muB,则〃/加或者/，加异面，故A错误，

对于B,若a,尸，/ucz,且/与a,尸的交线垂直，才有/，万，否则/与月不一定垂直，故B错误,

对于C,若/La,aV13,则〃//7或者/u",故C错误，

对于D,若/〃a,mLa,贝!!/_!.〃？，D正确，

故选：D

3.C

【分析】根据两直线平行求出参数的值，即可判断.

【详解】若直线ax-(a+6)y+8=0与3x-ay+a—5=0平行,

贝!J—。一=—3(a+6),解得a=—3或a=6,

当。=-3时直线-3x-3y+8=0与3x+3y-8=0重合，故舍去；

当。=6时直线6x-12y+8=0与3x-6y+l=0平行，符合题意;

所以。=6.

所以“直线ax-(<7+6)y+8=0.!g3x-ay+a-5=0平行”是“a=6”的充分必要条件.

故选：C

4.A

【分析】首先根据数量积的定义求出小3,再由数量积的运算律计算可得.

【详解】因为两个单位向量耳，1的夹角为120。,

所以q.%=卜小卜21cos120°=Ixlx

2

一6一

所以,i+24)，(02_q)=6.g-q+2g—2,.4=—F+2xF=5.

故选：A

5.B

【分析】求出圆心坐标，代入直线方程即可求解.

【详解】x2+y2+2mx+Amy+6=0的圆心坐标为(-私-2间，

因为圆/+j?+2mx+Amy+6=0关于直线mx+y+3=0对称，

所以圆心在直线见+歹+3=0上，也即—加2_2加+3=0,

解得：加二一3或加=1.

当机=一3时，可得：x2+y2-6x-12y+6=0,符合圆的方程；

当加=1时，可得：*+/+2x+4y+6=0,配方可得：(x+1)2+(j/+2)2=-1＜0,舍去.

故选：B

6.A

【分析】联立方程，设Z(%i，yi),以孙,2)(0＞西〉-2＞马)，设直线4C与直线的倾斜角分别为％夕,

分别求出两直线的斜率，即tana,tan，，再求出tan(a+0即可.

【详解】圆C:(x+2)2+(y—Ip=2的圆心为C(―2,1),

x+V3y-V3=0

由＜/、2,、2，消去)整理得2/+6%+3=0,

(x+2)+(y-1)=2

3

设yj,B(%2,丫2)(°>再>-2>%2)，又A=62-4x2x3=12>0?所以再+/=—3,再/=~

设直线ZC与直线的倾斜角分别为％尸，显然见尸均不等于90°，

V3V3

X1

所以tana=kAC=必TT?%一1

>0tan°=kBC=—<0'

M+2x1+2x2+2x2+2

所以0。<a<90°,90°</7<180°,则90。＜。+/＜270。，

二再一三M

所以tan(a+0=「吗演+2x2+2

1-tanatanpV36

丁再一十%2

1------、X—、——

国+2%+2

2X1X2+2(项+%)2再%2+2(%+%)

y/3(X1+2)(%2+2)V3再吃+2(再+、2)+4

xxxx

31--.x231」x2

3(%1+2)(X2+2)3xxx2+2+x2)+4

-7-

3

2x1+2x(-3)

-3

△x］+2X(-3)+4

■=-V3,

33

2

l--x3

3)+2x(-3)+4

所以a+/7=120。，即直线NC与直线8c的倾斜角之和为120°.

7.C

【分析】根据余弦和差公式化简得到tanO==,由正切二倍角公式和得到tan。二，从而得到

m+1<4J2

方程，求出实数加的值.

［详解】因为加cos［：_e）=cos［：+e）,

Elf^2V2•

贝U加——cos6+——sin。——cos。----sin。即m(cos0+sin0)=cos-sin0,

I22)22

整理可得(1+加)sin8=(1-加)cos。,即tan6=^~——,

m+1

又因为tan2。=2tan,上故2tad0+3tan。-2=0,解得tan6=-2或

1-tai?。32

且日£［。,：］,则tan9>0,可得tan6=；,

即1解—W7得1用=1；.

m+l23

故选：C.

8.D

【分析】根据圆方程求得圆C与x轴的交点坐标可得弦长为4,即A错误，将直线/整理可得其恒过定点

M（3,-2）,即B错误，又圆心C（2,-l）不在直线/上，可得直线/被圆C截得的弦长不存在最大值，即C

错误；当CM，/时，直线/被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线/的方程为-5=0,即D正确.

【详解】对于A,由圆C方程可得圆C与x轴的交点坐标为（0,0）和（4,0）,

因此圆C被x轴截得的弦长为4,即A错误；

对于B,将直线/:（加+2）x+（加一l）y-机一8=0整理可得（x+y-1）机+2尤一y-8=0；

—8—

x+y-l=0x=3

由2二一8二0,解得

y=-2'

所以无论机为何值时，直线/恒过定点m（3,-2）,即B错误;

对于C,易知圆C:（x-2）2+（y+l）2=5是以C（2,-l）为圆心，半径升=石,

易知圆心C（2,-l）不在直线/上，又直线/被圆C截得的弦长的最大值为直径,

所以可得直线/被圆C截得的弦长不存在最大值，可得C错误；

对于D,设直线/与圆C交于点45,圆心C到直线/的距离为",

则弦长=23-/=2,5-屋,

由直线/恒过定点M（3,-2）可得圆心C到直线/的距离d有最大值为dmm=CM=42一3）2+（-1+2）2=行,

此时直线/被圆C截得的弦长存在最小值，满足酸，46,如下图所示；

此时直线/的斜率为1,其方程为y+2=x-3,即，可得D正确;

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题关键在于判断出不管加取何值时直线/都不过圆心，即取不得弦长的最大值（圆

的直径），可得出结论.

9.BC

【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律分别计算即可.

【详解】

对于A,EF=EC+CF=-AD--AB,

22

所以石-万=2万，故A错误;

9

对于B,万・施=+：方）（；而+方）

1---->21--->25----►---►

=-AD+-AB+-AD-AB=2+2-K）=4,故B正确；

224

对于C,万+元=（而+而）+（益+而）

="+|■同+Q■诙+回=：（石+硝，故C正确；

对于D,因为E中点，由图可知乐在而上的投影向量为，故D错误.

故选：BC.

10.ACD

【分析】由直三棱柱性质以及线面平行判定定理可判断A正确，易知当2E,尸,G分别为棱44,4G，/8,

/C的中点时截面为EDFG为矩形，即B错误；易知点M的轨迹是以4为圆心，4"=逑为半径的圆在

3

△4片G内的部分，可判断c正确，作出点P关于平面4/8耳和//CG的对称点，再利用余弦定理可得D

正确.

【详解】对于A,如下图所示:

由8尸=CG可得bG//BC,由三棱柱性质可得3C//用0,因此可得FG//BlCl,

因为尸Gu平面尸尸G,用0。平面尸尸6,

所以吕G〃平面尸尸G,即可知A正确；

对于B,由4。=4£可知,结合A选项可知DE〃bG,

当D,E,尸,G分别为棱44，4G，/3,/C的中点时，满足DE=bG,如下图所示:

10

结合直棱柱性质可知，此时过。，F,G三点的平面截三棱柱所得截面为EDFG,为矩形；即B错误；

对于C,易知又/%//=—，

6

所以在直角三角形和也中，tan/&4M=4N=tan==*,可得/附=延；

4工633

因此可得w的轨迹是以4为圆心，4M=迪为半径的圆在△4gG内的部分，即圆弧"1河2；如下图所

3

又△44G是边长为4的正三角形，取乜为BC的中点，所以4到3c的距离为2退，

因此可得当M为圆弧MAG的中点时，M到棱用G距离的最小值为26君=^6,即C正确;

对于D,取尸点关于平面和A.ACQ的对称点分别为用鸟,

连接耳心与平面4/8g和//CG的交点分别为M,N时，△跖VP周长的最小，如下图所示:

易知PR=PP]=也,/4隼=120。，

11

由余弦定理可得Ptp2=yjPFf+PF^-2PPX-P^cos12（T=.3+3-2x3{—j寸9=2,

因此△跖VP周长的最小值为MV+MP+NPn/W3,即D正确.

故选：ACD

11.ABD

【分析】对于A：根据题分析可知圆q和圆G内含，即可得结果；对于B：根据题意可知两圆外切，进列

式求得机得值即可分析判断；对于C：根据题意分析可知圆q与圆C,相交，列式求解即可；对于D：根

据两圆外离解得机〉手，根据面积关系可得|0G|=3,即可得班机-2w|0CjvN+2,运算求解即可

【详解】由题意可知：圆。的圆心为G（0,0），半径。=1，圆G的圆心为G（"2"）,半径2=2,

可得|CG|=V^加，

对于选项A：若机e0,咚），则CCzl=后山<1=々一4，

可知圆£和圆G内含，所以圆。和圆G没有公切线，故A正确；

对于选项B：若圆。和圆G有三条公切线，则两圆外切，

则|c©r+4,即行加=3,可得加=竽，

此时两圆是确定的，则公切线方程也是确定的，

所以公切线的倾斜角的和为定值，故B正确；

对于选项C：若NMPN*，则点尸的轨迹方程为圆弓：/+/=1,

由此可知：圆C?存在点尸在圆C］内，且4<4，

可知圆G与圆G相交，可得弓-q<卜夕2|<。+々，Bp1<y/5m<3,

解得好<机<述，故C错误；

55

对于选项D：若圆G和G外离，可得|£。2|>4+々，即右m>3,解得加>手，

2

因为四边形0GG"面积SpGG”=2SMGG=2x（r-|0。=7|eq|-f小时7=6解得=3,

又因为|CC|一%W|QG14|CG|+弓，即鬲一24|QG归鬲+2,

ARL

W*V5m-2<3<V5m+2,解得一^―<加故D正确；

故选：ABD.

12-

7L_d兀

12.一或一

123

【分析】首先求出平移后的解析式，再根据诱导公式计算可得.

【详解】将函数v=cos4x-弓的图象向右平移。个单位长度得到y=cos4（%-媚-弓=cosl4x-4^-^-1,

又丁=cos"-40-m|为奇函数，所以一4。-女=火+左兀（左€Z）,

\6/6262

解得。=-.一号住eZ）,又所以。或。=；.

故答案为：.

13.2卜一6v一63=0或10%+>—30=0（其中一条即可）

【分析】设直线/夹在直线4、4之间的部分是且43被P（3,o）三等分，设4支1，为），S（x2,y2）,依题

2_X]+2X2_2xl+x2

\—3—

1+2+2

意可得或“J,再结合A、8分别在直线八4上，求出A、5坐标，即可求出直线/

0=止2%0=2%+%

1+21+2

的方程.

【详解】设直线/夹在直线4、4之间的部分是NB，且被尸（3,0）三等分,

AP1

PB2

又A、8分别在直线4、4上，所以2尤1-乂-2=0,x2+v2+3=0,

175811

石二一

T33T

解得或<

28141020

%—%二5

1728'哈兰或，81020

所以/5

3335T，T3

—13—

14282010

则直线/的方程为y_曰=33卜一?或:《tn

3£__I3J3££_oI3）

3-TT-3

整理得21x—6>—63=0或10x+y—30=0.

故答案为：21x—6〉-63=0或10x+y-30=0（其中一条即可）

14.8

【分析】设在，小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点Q,利用两家和差公式求得

13

cosZOPQ=—,在结合余弦定理运算求解即可.

14

【详解】设在/小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点。，

则。0=13O+1O/,OP=35O,P0=2O/,且/0月0=。—60。，

因为cos。=e，则sin6=Jl-cos?6,

可得cos/OPQ=cos(0-60°)=cos0cos60°+sin0sin6O°=—x—+x=12,

v'727214

在△。尸。中，由余弦定理可得002=尸02+。吠-2尸0,0尸8$/。尸0,

,,[3

BP(130+10?)=(20/)+3502-2x20Zx350x—,

整理可得〃一52/+352=0,解得f=8或/=44,

故8小时后该海滨城市开始受到台风侵袭.

故答案为：8.

15.(1)277

4

⑵3

【分析】（1）依题意可得而="£?+荏），将两边平方，由数量积的运算律求出6,再由余弦定理计算

可得;

JT

（2）由CD平分//C8,则N/CD=4BCD=],由邑公。+邑比。=S/虚，利用三角形的面积公式可求得。，

CD.

14—

【详解】(1)在△N8C中，a=4,C=y

因为。为的中点，所以诙=g(襦+荏)，

两边平方得比2=^CA+CB1+X^A-CB^,

贝l]3=；/+16+2x4x6xcos及，解得b=2,

由余弦定理/=/+/—2a6cosc=42+22-2x4x2x[-g)=28,

所以c=2j7.

JT

(2)因为CO平分/4CB,所以/4CD=/BCD=—,

3

又S“c°+SABCD=S&ABC,

即LzCOsinN4C7)+L5COsin/BCZ)」/COsinNZC5

222

1jr1jr127ri-

所以一xCDxftxsin—+—x4xCDxsin—=一x4x6xsin——=2V3,

232323

4

解得6=2,CD=-.

【分析】(1)利用三角形的中位线得线线平行，即可根据线面平行的判定求证，

(2)建立空间直角坐标系，利用向量垂直可得三棱柱的高，即可利用法向量的夹角求解.

【详解】(1)如图，连接B4cB/=。，连接OE,

则。为/用的中点，又E为/C的中点,

CBX//OE,又C3|C平面EB4，OEu平面EB4,

15

，。4//平面£网；

（2）取NB中点，设三棱柱的高为。，以〃■为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

（aha）

则“（0,0,0）,3（0,-3,0）0（3痣0,0）/9,3,0）尸区一2,0月46）,0能*-3^声-^-,-,0,

I22J

国=2，-1,a）,咽=（3孤36），

由于尸名,8。，故珂・鸥=卜石,一1,.）（36,3,“）=-9-3+.2=0,解得°=2有，（负值舍去）,

设平面8EG的法向量为万=（x,y,z）,

元屈=3瓜+3了+2昌=0

取了=_i,得河=(G,-i,-V5),

则―►3G9

n-BE=—x+-y=0

22

而平面的一个法向量为历=（i,o,o）,

m^n_V3_V21

则cosin,n=

同同V77

故平面与平面时夹角的余弦值为宁

17.（l）（x-2）2+（y-3）2=4

（2）四边形DENG的面积的最大值为6,最小值为4友

【分析】（1）设C（2人,3斤），根据圆的定义解得人=1,即可得圆心和半径，即可方程；

（2）设弦。尸，EG的中点分别为弦尸,。，|CP|=a,|C0|=6,可得62=2-6[0,回，利用垂径定理

求|DF|,|EG|,进而求面积并结合二次函数求最值.

【详解】（1）因为圆心C在直线/：3x-2y=0,设C（2幺3左）,

——16——

由题意可知：|C/|=|C8|,即浓+（3后-3『=J（2"2y+（3I）2，解得左=1，

即圆心C（2,3）,半径r=|C4|=2,

所以圆C的标准方程为（尤-2）2+（y-3『=4.

（2）因为Q卜J（2_iy+（3_2）2=6<r,可知点M在圆C内，

设弦。/，EG的中点分别为弦尸,。，|CP卜",|CQ|=b,

由题意可知：CPMQ为矩形，贝IJ|CP「+|CQ『=|CM『，

即/+/=2,可得62=2-/,0平,五],

且\DF\=2^r2-a2=2^4-a2,\EG\=2』尸-b?=2^4-（2-a2）=2^a2+2,

XA2

则四边形DEFG的面积SDEFG=||DF|-|£G|=|2/4-ax2址+2=2J--炉+9,

且何0,间，即/e[0,2],

当/=1,即。=1时，％EFG取到最大值6;

当02=0或/=2,即0=0或”=及时，取到最小值40；

所以四边形DEFG的面积的最大值为6,最小值为4拒.

18.（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）由条件先证明3CL平面尸/C,即可求证；

（2）设NC=x,8C=y,通过直角三角形PNC的面积构造等式，说明》=了，即可求证;

（3）确定。到平面尸的距离，再结合线面角正弦值的计算公式即可求解.

【详解】（1）因为R4_L平面43C,BC在平面48c内，

17

所以又/CL8C,为平面尸/C内两条相交之间,

所以8C_L平面尸/C,又2C在平面3c尸内，

所以面/3，面8cp.

(2)

因为。为48的中点，AC1BC,OC=\,

所以/8=2,。/=。8=1,设NC=x,8C=y,所以/+y=4,

由(1)知，BC1PC,PALAB,PAIAC,

22

所以为=PA+AB=20,

所以尸C2=尸82-8C2=20-/,所以PC=j20-/,

所以在直角三角形尸/C中，由面积可得：4x=gj20_j?,结合/+产=4,

解得：x2=y2=2,也即/C=BC,

所以OC_L/B.

(3)

因为/8=2，OP=V17设/C=x,3C=y,所以/+y=4,其中0<x<2

止匕时PC2=PB2-BO?=20-/,所以尸。=120-y2,

过A向尸C作垂线，垂足为。，设

所以4x=hy/20—y2,

4x4x

所以仁亚宁=而；

x2

18

由（1）可知，/D_L面尸8C,

因为。为的中点，所以O到面尸8c的距离为

2

设OP与面尸Be所成角为e,

2旧

所以5也6=言=2x

V1