2024-2025学年浙江省宁波市高二年级上册10月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年浙江省宁波市高二上学期10月月考数学检测试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.抛物线了一一/x的准线方程是（）

11

y=—

A.2B.2

11

y=-y=一

C8D.-8

5

:--

2_直线4（3"+1）”+2即—1=°和直线4：3y+3=0,贝广3”是"4”2，，的（

）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.如图，在平行六面体48co—4用。2中，2B=5,AD=b,点p在4c上,

且4尸=3尸C,则9=（）

BC

3_311-31-11-313一

—a+—b+—c-a+—b+—c—a+—b+—c

A.444B,444C.444D.

-a+-b--S

444

22

土+匕=1

4.已知片，鸟是椭圆0：43的两个焦点，/，8是椭圆°上关于％轴对称的不同

的两点，则M'H'用的取值范围为（）

(2,3]

5.如图，在棱长为1的正方体/BCD-HB'C'。'中，若点P是棱上一点，则满足

丑/+「。'=2的点尸的个数为（）

A.10B.8C.6D.4

6.已知抛物线C：/=12x和圆〃：/+/—4x—4.v+4=0,点尸是抛物线C的焦点，圆

M上的两点43满足"=2同，忸。|=2|町其中O是坐标原点，动点尸在圆”上

运动，则点P到直线的最大距离为（）

A.2+夜B.6

C.4+夜D,2^2

7.如图，三棱柱ABC—44G满足棱长都相等且“41平面ABC,D是棱℃1的中点，

£是棱”4上的动点.设/E=x,随着x增大，平面ADE与底面N5C所成锐二面角的平面

8.如图，/（一°，°），片©°）分别为双曲线r•/〃—"的左、右焦点，过点

片作直线/,使直线/与圆（X一°）2+/=/相切于点尸,设直线/交双曲线r的左右两支分别

于42两点（43位于线段公尸上），若闺闻」4sH8P=2:2:1,则双曲线r的离心率

为（）

A.5B,5c,2A/6+2A/3D.

2V6+V3

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.已知直线’的方向向量是,，两个平面见夕的法向量分别是血，万，则下列说法中正确的是

（）

A.若2〃成，贝M'aB.若小成=0,贝M'a

C.若应〃万，则4D.若应,万=0,则0，广

22

_二+匕=1

10.已知直线/"=入67°）交椭圆/b2于/,3两点，F],且为椭圆的左、右焦

点，M,N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与月关于直线/的对称点为。，则（）

V2

A.若左=1,则椭圆的离心率为2

,,_1V3

KMAKMB=~~~

B.若3,则椭圆的离心率为3

CI"。

D.若直线8Q平行于X轴，则％=土石

11.如图，在棱长为6的正方体48co—'NC中，£，尸，G分别为4S，8C,CC1的中点,

点尸是正方形°CG°i面内（包含边界）动点，则（）

A.℃与斯所成角为30。

B.平面MG截正方体所得截面的面积为27百

C.ZQ〃平面EPG

D.若N4PD=NFPC,则三棱锥尸-BCD的体积最大值是12G

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线乙片"+%+1（八2,则直线/过定点；若直线/与两坐标轴围成

的三角形的面积为2,则这样的直线/有条.

13.已知圆河：/+/-2x-2歹-2=0,直线尸为/上的动点，过点

尸作圆M的切线04叫切点为4巴^PM\'\AB\

的最小值为___________.

14.如图，在棱长为4的正方体48co—4耳012中，£为棱8c的中点，尸是底面/BCD

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆C：（）（）,（）

(1)过点尸作圆C的切线/,求出/的方程；

(2)设/为圆C上的动点，G为三角形/P。的重心，求动点G的轨迹方程.

16.如图，在梯形中，AB〃CD,AD=DC=CB=\,ZABC=600,四边形

/C五E为矩形，平面ZCPE,平面48。。，C「=l,点M是线段跖的中点.

(1)求平面MAB与平面EAD所成锐二面角8的余弦值；

(2)求出直线。到平面M48的距离

17.已知平面内两个定点“(一2,0)，8(2,0),满足直线力与抬的斜率之积为W的动点尸的

轨迹为曲线C,直线/与曲线°交于不同两点M，N.

(1)求曲线C的轨迹方程；

1

(2)若直线//和"N的斜率之积为12,试证明直线/过定点，并求出这个定点坐标.

18.图1是直角梯形Z8C。，ABHCD,ZD=90\AB=2,DC=3,5=拒,

CE=2ED,以为折痕将ABCE折起，使点C到达G的位置，且“G=n,如图2.

(2)在棱0G上是否存在点P,使得a到平面P8E的距离为2?若存在，求出二面角

0-BE-N的大小；若不存在，说明理由.

22(3、

C:=+二=1(口〉6〉0)-\~

19.已知椭圆或b-的焦距为2,且过点I2).

(1)求°的方程.

(2)记片和耳分别是椭圆°的左、右焦点.设。是椭圆°上一个动点且纵坐标不

为直线。片交椭圆C于点A(异于0),直线0鸟交椭圆°于点2(异于0).若

N8的中点为求三角形片鸟”面积的最大值.

2024-2025学年浙江省宁波市高二上学期10月月考数学检测试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.抛物线J=一2必的准线方程是（）

【正确答案】C

【分析】由抛物线方程结合准线定义计算即可得.

2_1_1

_Q2x——yp=一

【详解】由y=可得2,，故4,且开口向下，

1

7丫2y=-

故抛物线y一一2X的准线方程是8.

故选：C.

_5

2,直线4：（3。+1卜+2即T=0和直线乙：仪-3丁+3=0,则“°是JK，，的（

）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】由题意先求出4,,2的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.

【详解】由题设oax(3a+l)+2ax(-3)=0.

5

a=—

解得4=0或3

J_/2(_L(中Q=*

a=-^ll

故3.3

5

Q=­

所以“3”是，"4’’2，，的充分不必要条件.

故选：B.

8

3.如图，在平行六面体4co-4用。12中,方=万，AD=b,9=己，点P在4上,

)

-a+-b+-c-a+-b+-c

A.444B.444c444D.

-a+-b--c

444

【正确答案】A

【分析】结合几何图形,利用向量的线性运算公式，即可求解.

__kk3___k

AP=AAi+A^P=AAl+-A^C

【详解】4

3—•3—•1—•33-1

-AB+-AD+-AA.=-a+-b+-c

444'444

故选：A

4.已知片，鸟是椭圆°：43的两个焦点，/,8是椭圆°上关于％轴对称的不同

的两点，则1幽'照1的取值范围为（）

ADIB.HlC,8,41D.（叫

【正确答案】D

【分析】设/（x/）'8（x，—。由椭圆性质和已知条件得—2<x<2,由两点间的距离公式

得|泪.怛阊=1（x+l）+y-—,然后化简、换元结合二次函数单调性可求

【详解】由题意，设'（x，y），'（x，—y）,

由于4,8是椭圆C上关于x轴对称的不同的两点，

所以-2<x<2,又片

222

|^|.|^|=^+1）+/J（x-l）+j

=Jx2+2x+1+3——x?,jx?-2x+1+3——x2

令/=/,因为—2<x<2,所以0W/<4,

11,

f（A=_L2-2t+16=—（t-16y

v7tv

所以1616）

由于对称轴为"16,所以/在口寸单调递减,

/（0）=16,/（4）=^（4-16）2=9

所以"4）</（。4/（0）,又

即9c6,所以3<|泪.愿,4

故选:D

A

BO/F1x

B

5.如图，在棱长为1的正方体力BCO-HB'C'D中，若点P是棱上一点，则满足

0/+夕。'=2的点尸的个数为（）

B.8C.6D.4

【正确答案】C

【分析】首先连接辅助线，结合给定条件确定动点的轨迹，再判断交点个数即可.

【详解】如图，连接4C,•••正方体的棱长为1,,AC=5

,­,尸N+尸。=2,.••点P在以4°为焦点的椭圆绕AC旋转得到的椭球上，

•••P在正方体的棱上，，尸应是椭球与正方体的棱的交点，

结合正方体的性质可知，在棱B，C,CD',CC,AA',AB,AD上

各有一点满足条件，故C正确.

故选：C

6.已知抛物线C：/二⑵和圆拉：丁+了2—4x-4y+4=0,点尸是抛物线c的焦点，圆

M上的两点45满足"=2网，忸。|=2|町其中O是坐标原点,动点尸在圆M上

运动，则点P到直线AB的最大距离为（）

A.2+近B.6

C.4+CD,2^2

【正确答案】A

【分析】由条件可知48满足到两定点。，尸距离比为常数2,设动点N满足

|N0|=2|N列求解动点N轨迹为圆，可知48为两圆相交弦，得直线48方程，再结合图形

由点线距离公式得到圆M上动点P到直线的距离最大值.

【详解】抛物线C：V=12x的焦点E(3,0),

圆M:(x-2)+(y-2)=4,其圆心"(2,2),半径八=2.

设点N(x,y)是满足陷=2网的任意一动点，°(。,。),

则3=4[(—)2+匚

化简得炉+-12=0,即-4y+/=4.

故动点N的轨迹是以Q(4,0)为圆心，2为半径的圆.

由已知陷=2|第，忸。|=2|四,则圆四上的两点45也在圆。上.

所以AB是圆/与圆。的公共弦，

X?+y2-41-4y+4=0

<

将圆〃与圆。的方程联立〔厂+广一8》+12=°,

两式相减化简得直线的方程为“一y一2=0,

|-2|厂

d=.-=V2

由动点P在圆M上运动，又圆心〃(2,2)到直线48的距离Vl2+12,

结合图形可知，点P到直线ZB的最大距离为"+4=41+2_

故选：A.

7.如图，三棱柱'8C—451G满足棱长都相等且“4工平面A8C,。是棱CG的中点,

E是棱”4上的动点.设ZE=x,随着无增大，平面2DE与底面N8C所成锐二面角的平面

B.减小C.增大D.先减小再

增大

【正确答案】D

【分析】以NC中点°为坐标原点，°民℃分别为x,歹轴，并垂直向上作z轴建立空间直

角坐标系.

G

15

L_l)2+

设所有棱长均为2,则xe(0,2),通过空间向量来求二面角的COS。=I24,故

xe(0,—)xe(~；2)

cos6在2上单增，2上单减，即随着x增大先变大后变小，所以8随着x

增大先变小后变大.即可得出结果.

以NC中点0为坐标原点，°民℃分别为轴，并垂直向上作Z轴建立空间直角坐标系.

设所有棱长均为2,则*e(0,2),5(73,0,0),0(0,1,1)E(0,-l,x)DB=(V3,-l,-l)

DE=(0,-2,x-1)设平面BDE法向量〃=&人c),

a=x+1

n-DB-0也a=b+c=1)

则［万=01-2b+c(x-1)=0,令c=2百有C=2G,

故〃=(x+l,V3(x—1),2A/3)

又平面/8C的法向量机=(°，°，1),故平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角3的余弦

m-n_35_75

COS0=

剜“7(x+l)2+3(x-l)2+12Vx2-x+4

V3

J(x—)"H,Axe(0,_),2)

V24,又xe(0,2),故cosd在2,上单增，2上单减，

即随着x增大先变大后变小，所以©随着x增大先变小后变大.

故选：D.

本题考查了用空间向量求二面角的余弦值，考查了解决问题能力和计算能力，属于中档题目.

_x2J2_

8.如图，下(一。"鸟(%°)分别为双曲线b2"的左、右焦点，过点

片作直线/,使直线/与圆(X—c)2+「=/相切于点P,设直线/交双曲线『的左右两支分别

于/、2两点（43位于线段片尸上），若闺4MBHAPbzai,则双曲线r的离心率

2V6+2V3

cD.

2V6+V3

【正确答案】B

【分析】连接'鸟，眼，^.\BP\=x^\FxA\=\AB|=2x；由题意可知|典|=2a+2x,

222222

\BF,|=4x-2tz=n\PF4=(4x-2a)-x=(2tz+2x)-(3x)=(2c)-(5x)即

653

x=—a—a2=c2

5,则5,求解离心率即可.

［详解］连接因，设|8尸|=》则|片Z|=|48|=2x,gp\PFx\=5x\PA|=3x

根据双曲线定义可知,

\BFx\-\BF2^2a即|BF2|=|BFX|-2a=4x-2tz

IAF21-|FXA|=2a即|AF2\=2a+\FXA|=2a+2x

•••直线/与圆(X-c)2+V=/相切于点尸

•PF21PF\

2

在Rt^PF2中|Pg『=|FXF.I-|PF^=(2c>—(5x>=4c2_25x2①

222222

在Rt\APF2中I「月『=|AF2I-|PA|=(2a+2x)-(3x)=4a-5x+Sax②

住及AS"中|2=|B^12Tp5/=(4x_2a)2一(斤=15/+4/一］6办③

x—_6a

②③联立得4/-5工2+8办=15%2+4/一16办，即5

①②联立得4c2-25x2=4/-5x2+Sax即4c2=4a2+20x2+Sax④

6

x=­a

将5

2

C

整理得

故选：B

本题考查双曲的离心率，解决本题的关键是根据双曲线的定义表示出I"月।与旧£［本题

属于中档题.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.已知直线/的方向向量是两个平面生耳的法向量分别是应，方，则下列说法中正确的是

()

A.若,〃成，贝"'aB,若g.玩=0,贝”'a

C,若玩〃为，则力D.若而•亢=0,则尸

【正确答案】AD

【分析】利用空间向量判断直线、平面间的位置关系.

【详解】若&〃阳，则,'a,故A正确；

若。•机=0,则/〃［或/在a内，故B错；

若加〃〃，则a〃尸，故c错；

若而工=0,则aJ•夕，故D正确.

故选：AD.

22

_'+匕=1

10.己知直线/：＞=玄（左70）交椭圆/b-于/,3两点，片，耳为椭圆的左、右焦

点，M,N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与月关于直线/的对称点为。，则（）

V2

A.若左=1,则椭圆的离心率为2

,7_1V3

KMAKMB=~~~

B.若3,则椭圆的离心率为3

CJ/FQ

D.若直线3Q平行于X轴，则％=土百

【正确答案】ACD

【分析】对于A,左=1则°（°，c）,故b=c,则利用/=〃+/与离心率公式即可得解；

对于B,设4（/）0）,8（-/，—%）,接着利用十,=1/2一结合离心率公式

直接计算即可求解；对于C,根据三角形中位线即可得解；对于D,设'（/，为）,则

k*

%,根据已知条件求出。和中点G,再利用点关于直线对称的理论列式求出与，为即可

得解.

【详解】如图，直线/与。鸟交于G,

对于A,若左=1,则°（°，c）,所以，=。，

c_c_1_V2

e=­

扬+°2至2,故A正确;

所以a41

22b2（a2-

^0_2kly2=

对于B,设4a0）0）,则B（—X。，一盟）2十+N=1%

，且ab即a1

b~（a2-x；）

2b2]_

kk_%.一汽_%Q

~,一22222

所以x0+a-x0+ax0-axQ-aa3

b~a2-c2,c2,1a

——-------I____—I—e2—_>?—__

所以/«2/33,故B错误;

对于C,由题意可知°G是中位线，故〃阴°,故c正确;

球\l:y=­x

对于D,设点（/'%1人则直线为

"/v

因为直线时平行于x轴，所以点。㈠。,比），加的中点°0

2'2

%」o.c-Xo

2Xg2

%.%;1

所以由点G在直线/上且羟G勺=-1得f—cx0

123c、下）

xo=~cy=-ry=±-c

解得2,04即02

因此2,故D正确.

故选：ACD.

方法点睛：点关于直线对称的点的计算求解步骤：

（1）设所求点坐标，

（2）利用中点坐标公式求出中点坐标，

（3）利用中点坐标在直线上和两点所在直线与已知直线垂直则斜率乘积为-1这两个条件建

立关于所求点坐标的方程组，利用该方程组即可求解.

（4）遇特殊直线如x=加或〉="一般直接得解.

11.如图，在棱长为6的正方体ABCD-AiB£D］中，E,F,G分别为AB,BC,CQ的中点,

点尸是正方形℃G2面内（包含边界）动点，则（）

A.01c与EE所成角为30°

B.平面MG截正方体所得截面的面积为27月

C.ZA〃平面

D.若N4PD=NFPC,则三棱锥尸的体积最大值是12G

【正确答案】BCD

【分析】A选项，如图建立以/为原点的空间直角坐标系，利用空间向量可判断选项；做出

截面求得截面面积可判断B；利用线线平行可得线面平行判断C,求得尸的轨迹方程可求得

三棱锥？—的体积最大值判断D.

【详解】以A为坐标原点，以/民所在直线分别为x轴，了轴，z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系，

->

y

则£(3,0,0),8(6,0,0),F(6,3,0)；C(6,6,0),4(0,6,6),G(6,6,3),4(6,0,6),

,5^=(6,0,-6)函=(—6,6,0)EF=(3,3,0),EG=(3,6,3)

•,9，，

____.___.DC

cos<D、C,EF>=f竺_18_£

对A选项，lD1Cl-।।736+36x79+92,

则直线℃与所所成角为60°,故A错误；

对B选项，由平面在两平行平面上的交线互相平行，取G"的中点N，42的中点，，

"4的中点K,连接GN,NH,HK,KE,延长NG一定与CD交于一点所以

E，F，G,N四点共面，同理可证E,£K,H四点共面，

则过点瓦尸，G作正方体的截面，截面为正六边形EFGM/K,边长为3/，

6S™=6X-X3A/2X3V2X—=27A/3

则正六边形ENGNHK的面积为22,故B正确.

由正方体"8-20cA可得皿"吟

•••F，G分别为BC,CCX的中点,FG//g,

...FG//ADXFGu平面EFG,ADX仁平面EFG,

.•・/01”平面跖6,故c正确；

如图，40,面C〃2G,又PQu面故4DLDP,同理尸CJ_C尸,

4D\

3

cF

3DP_

ZAPD=ZFPC,:.—

又DP懑序一

根据题意可得0(°，6,0),C(6,6,0)；设尸(x,6,z),

"=2・叱=4

又CP，CP2

X2+Z7/

-----------------4

...(x—6y+z~,整理得(x—8)2+z?=16,

••.在正方形面内(包括边界)，尸是以。(8,6，°)为圆心，半径「=4的圆上的点,

令x=6,可得及1=2百,

・•・当尸为圆。与线段CG的交点时，尸到底面4sC。的距离最大，最大距离为2道，

-xSBCDX2A/3=-x-x6x6x2V3=1273

••・三棱锥尸—的体积最大值是3"32，故D正确.

故选:BCD.

关键点点睛：本题解题关键是建立空间直角坐标系，用向量的方法研究点线面的位置关系及

数量计算.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知直线人歹=丘+无+l("eR),则直线/过定点；若直线/与两坐标轴围成

的三角形的面积为2,则这样的直线/有条.

【正确答案】①.LU）②.3

x+1=0

【分析】k区+"+10eR）可化为>—1="（川），令tvT=°,解出即可得空一；

计算出直线/横纵截距后，结合面积公式计算即可得空二.

【详解】由歹（）,^^导，（），

x+1=0[x=-1

<V

令2―1=°,解得U=1,所以直线/过定点（T，l）;

当左二°时，y=i,此时直线/与％轴没有交点，所以无力°,

_k+l

在〉=Ax+L+l（%eR）中，令》=0,得卜=k+1,令广。，得“k,

1II4+1

一k+1卜—=2.—

依题意得2k,解得左=1或左=—3±2j2,

所以满足条件的直线/有3条.

故（一1,1）；3

13.已知圆/d+r—2x-2y-2=0,直线/:2，J◎Q0,尸为/上的动点，过点

尸作圆M的切线尸4尸巴切点为4巴则忸叫的最小值为.

【正确答案】4

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径；由尸W45可利用面积桥将转化为

，当।।最小时,\PM\为圆心到直线的距离，由此可求得结果.

【详解】由2x-2y-2=0得：（x-1）+（J-1）=4,.圆心"（1,1）,半径

r=2

■■\PA=\PB\,\MA\=\MB\^尸”为线段Z3的垂直平分线,

.■.\PM\-\AB\=2SmpAMB=眨加=2网.r=4M小4

...若I尸M,网最小,则忸M最小,

I।|2+1+2l1—

故答案为.4

关键点点睛：本题考查切线长最小值的求解问题，解题关键是能够将所求的长度之积转化为

四边形面积，进而转化为切线长最小值的求解问题.

14.如图，在棱长为4的正方体48co—481G3中，£为棱BC的中点，尸是底面N8C。

B〔P1D[E

内的一点(包含边界)，且，则线段与尸的长度的取值范围是.

【正确答案】।"125V5'

【分析】首先利用向量垂直的坐标表示，求得点尸的轨迹方程，再代入两点间的距离公式，

求线段长度的取值范围.

【详解】以。为原点，以D4,DC,")1所在的直线分别为x轴，了轴，z轴，建立空间直

角坐标系，

如图所示，则1(，'),(，，),1(，，)

设尸(xj,O)(OWxW4,OWyW4),则函=(4—x,4—y,4),

西=(-2,-4,4),又RE,所以国.函=0,

即一2(4—x)—4x(4—y)+4x4=0,则x+2y—4=0.

当x=0时，＞=2,设厂(0,2,0),所以点尸在底面we。内的轨迹为一条线段正

故L」

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆C：()(),JiA(),().

(1)过点尸作圆C的切线/,求出/的方程;

(2)设/为圆C上的动点，G为三角形4PQ的重心，求动点G的轨迹方程.

【正确答案】⑴x=5或5x+12y-37=0；

(2)

【分析】(1)分切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况求解即可；

a=3x—4

(2)设"9力),结合重心的性质可得伍=3>+1,进而结合/为圆c上的动

点求解即可.

【小问1详解】

由C(x-3)2+3—4)2=4,

则圆心CO4),半径r=2,

当切线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=5,符合题意;

当切线I的斜率存在时，则设切线I的方程为JT=MX—5),即去—y-5左+1=0,

|3左一4—5左+1|_25

所以VF+1,解得12,

-x-_y-5x|--—|+1=0

此时切线/的方程为12'I12),即5x+12y—37=0.

综上所述，切线/的方程为》=5或5x+12y—37=°

【小问2详解】

设G(xj),A(a,b)

因为尸(5』)，。(-L-2),G为三角形/尸。的重心,

。+5—1

-------二x

<3

'b+1-2fa=3x-4

所以〔3，即历=3了+1,

由/为圆C上的动点，得(”3)+0-4)=4,

则但-"3)2+国+1-4户4,整理得［-3+3—1)7；

K+3-1)2=g

即动点G的轨迹方程为I3)9.

16.如图，在梯形中，ABUCD,AD=DC=CB=l,ZABC=600,四边形

NCFE为矩形，平面ZCPE，平面NBC。，W=1,点河是线段斯的中点.

(1)求平面MAB与平面EAD所成锐二面角3的余弦值；

(2)求出直线CD到平面MAB的距离d.

2则

【正确答案】(1)19

2国

(2)19

【分析】(1)由面面垂直性质得线面垂直，利用垂直关系建立空间直角坐标系。一师，分

别求平面MAB与平面EAD的法向量，再求解夹角即可得；

(2)由线面平行关系，将直线CD到平面M42的距离转化为点。到平面版45的距离，利

用法向量求解可得.

【小问1详解】

因为在梯形/BCD中，CD,AD=DC=CB=l,N4BC=60°,

如图，过C作CG//Z。交/B于G,则四边形/GCD是平行四边形.

可得。4=。6=。8=63=1,AB=AG+GB=DC+GB=\+\=1

在V/3c中，由余弦定理得4c2=/32+BC2—2/8/CCOS60°=3,

所以加=4=/C?+叱，得BC1ACt

又平面ACFE±平面ABCD,平面ACFEn平面ABCD=AC,BCu平面ABCD,

所以8C，平面4c厂£；

因为四边形NCEE为矩形，所以NC1C产，

又平面4CFE±平面ABCD,平面ACFEn平面ABCD=AC,CFu平面ACFE,

所以C尸，平面48C。，。8<Z平面48。。，则CF_LC5

uuuuuuu

如图，分别以C4c瓦C厂所在直线为x/,z轴，建立空间直角坐标系C-xyz,

则心，。，。）,…），"仃叫，咿,。』）,。月「六

/叼，商《百，i，°）,以=（。,。,-1）,3=「丁一5'°

设平面MAB的法向量为〃=（否，%，4）,

二——■百

n-AM=-xl+4=0

则［心益=-岛+必=0,取占=2,得〃=（2,2后百），

设平面EAD的法向量为加=GM，Z2）,

m•EA=-z2=0

〈一一V31_

m-AD=-x--y=0蔡=（2,—2百,0）

则12222，取“2,得L、，人

n-m_|4-12|_2^/19

cos8=cos(7?,m

X|m-J4+12+3xV4+12.19

所以

2V19

所以平面M>18与平面E/D所成锐二面角8的余弦值为19

由DC〃4ff,DC.平面48u平面版45,

则。C//平面版45

则直线CD到平面版48的距离即为点0到平面的距离.

正浮;刀

，平面M48的-个法向量〃=（2,2G，G）

由（1）知,

1V3+V3_2757

J4+12+3—19

则点。到平面版48的距离r

2局

故直线CD到平面MAB的距离d为19.

17.已知平面内两个定点“（—2,0），3（2,0）,满足直线R4与总的斜率之积为W的动点尸的

轨迹为曲线°,直线/与曲线°交于不同两点

（1）求曲线°的轨迹方程；

1

（2）若直线和4N的斜率之积为12,试证明直线/过定点，并求出这个定点坐标.

V2,、

--y2=］（yw0）

【正确答案】（1）4

（2）证明见解析，定点为（1°）

【分析】(1)设出P点坐标，根据条件建立方程，再化简求解即可.

8kb-4ZJ2-4

国+/=-----7X\X2=-------

(2)联立方程组并利用韦达定理表示出一1一4左一,“1-4左，再结合给定

条件得到匕b之间的关系，进而求出定点即可.

【小问1详解】

一y=1

设尸(x/),(xw±2),由题意得—2—x2-x4,

22

——j2=1——y1=l(j0)

化简得到4"，所以曲线C的轨迹方程为4'

【小问2详解】

1

因为直线AM和AN的斜率之积为12,所以直线I的斜率存在,

设/:>=丘+b,M（xi，%）,%（%2，%）,

2

-/=1

4_,,（1-4^2>2—8左乐一4Z?2—4=01左w土;

[y-kx+b消V得到,

由；

_8kb_-4b2-4

则A=64k2M+4（4M+4）（l_4k2）>0,-+9一]_止,A1%2-l-4k2

k卜：,%_01+6）侬2+，）

AN

而n"%j+2x2+2XjX2+2（%[+X2）+4

EQ4b2-4）+8k2b2+b2-4b2k21

―—4-2—4+I6妨+4—1642—12,

化简整理得至］」2/+姑一〃=0,得到6=2左或6=一左，

当6=2左时，y=kx+2k=k(x+2),直线过定点(-2,0)与A重合，

不合题意，

当6=-左时，y=kx-k=k(x-T),直线过定点(1,0),所以直线/过定点(1，°).

18.图1是直角梯形Z5C。，ABHCD,ZD=90\AB=2,DC=3,AD=^t

CE=2ED,以BE为折痕将ABCE折起，使点°到达G的位置，且，G=C,如图2.

(1)求证：平面'Cg，平面48£Q；

底

(2)在棱0G上是否存在点P,使得01到平面P3E的距离为2?若存在，求出二面角

P—BE—4的大小;若不存在，说明理由.

【正确答案】(1)证明见解析

71

(2)4

【分析】(1)根据长度关系可证得△CREQ'BE为等边三角形，取BE中点G,由等腰三

角形三线合一和勾股定理可证得GG，BE、GG'/G,由线面垂直和面面垂直的判定可

证得结论；

(2)以G为坐标原点可建立空间直角坐标系,设存在尸("Z)且Z>P="Z>G(O"'"1),

由共线向量可表示出尸点坐标，利用点到面的距离的向量求法可求得2,进而由二面角的向

量求