2024-2025学年中考数学专项复习：函数之新定义问题（含答案）

2024-2025学年中考数学专项复习函数专题训

练一一新定义问题压轴好题含答案

函数专题训练一一新定义问题压轴好题

1.（2024-湖南三模）定义:我们把一次函数g=kx+b（k*0）与正比例函数夕=c的交点称为一次函数y

=M+b（k¥0）的“不动点”.例如求y=2c—1的“不动点”:联立方程=解得,二1，则0

Iy=x5=1

=2/—1的“不动点”为（1,1）.

（1）由定义可知，一次函数y=3x+2的“不动点”为；

（2）若一次函数0=771①+/1的"不动点”为（2,72—1）,求771、71的值；

（3）若直线夕=皿—3（k¥0）与立轴交于点人,与沙轴交于点且直线0=A;①—3上没有"不动点"，若

P点为工轴上一个动点，使得S&ABP=3s△AB。，求满足条件的P点坐标.

2.（2024•芙蓉区校级开学）在平面直角坐标系力Og中，若点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为完美

点.已知二次函数g=ax2+4力+C（QW0）.

（1）当Q=1,c=2时，请求出该函数的完美点；

（2）已知二次函数g=Q/+42+c（aW0）的图象上有且只有一个完美点（V，请求出该函数；

（3）在（2）的条件下，当时，函数沙=。炉+4/+C—~|~（QW0）的最小值为一3，最大值为1,求

m的取值范围.

•••

1

3.（2024-亭湖区校级模拟）我们定义：点P在一次函数夕=姐+b上，点Q在反比例函数夕=&上，若存

X

在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数夕=ax2+bx+c为一次函数,=a+b和反比例函数夕=

—的“向光函数”，点P称为“幸福点”.例如：点P（—L—2）在沙=c—1上，点Q（l,—2）在y=2上,

XX

P、Q两点关于“轴对称，此时二次函数"=必2-力—2为一次函数0=2：-1和反比例函数0=2的

X

“向光函数”，点P（—l,—2）是“幸福点”.

⑴判断一次函数夕=*+2和反比例函数夕=3是否存在“向光函数”，若存在,请求出“幸福点”坐标;

X

若不是，请说明理由；

（2）若一次函数夕=x-k+l与反比例函数y=出±2只有一个''幸福点”,求其“向光函数”的解析式；

X

（3）已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=-有两个“幸福点”4B（A在B左侧），其“向光函数”

X

y—ax1+bx+c与力轴交于C、。两点（。在。左侧），若有以下条件:①a+b+c=0②“向光函数”经

过点（—3,4）③a>b>0,记四边形ACBD的面积为S,求2的取值范围.

•••

4.（2024-桃江县一模）若抛物线y=ax2+bx+c^x轴交于A,B两点，与y轴交于点。，且△ABC恰好

是直角三角形，并满足=04.03（。为坐标原点），则称抛物线y=ax2+bx+c是“直角型抛物

线”，其中较短直角边所在直线为“直角倍增线”，较长直角边所在直线为“直角倍减线”.

（1）若“直角型抛物线"y=ax2+bx+c的“直角倍增线”为直线y=-5x—3,求抛物线解析式；

（2）已知“直角型抛物线”y=a"+近+。与立轴的一个交点为（-2,0）,且的值t满足方程：T2-

8x+7=0.其“直角倍减线”与反比例函数夕=1的图象仅有一个交点，求其直角倍减线的函数解析

2x

式；

（3）已知抛物线“=空"+，^—，^c（c>0）是“直角形抛物线”，则函数夕="+3必+得c的最小

值.

•••

1

5.(2024-岳麓区校级三模)我们约定，在直角坐标系中，若不相同的两个点A(ai,bJ、B(a2,62)满足

(&+a?)?+|仇+切=0,则称4B互为“冲刺点”，若函数,上存在一组冲刺点，则称函数,为“冲刺函

数”.

(1)判断下列函数是否为“冲刺函数”，对的在括号里打“V”,错的打“X”.

①沙=2刀+1();

②n=L()；

a-

③夕=婷+2/+1()；

(2)是否存在两点既是一次函数y=—rr+b上的“冲刺点”，又是二次函数夕=&/+五+。3/0)

上的“冲刺点”，若存在，求出这样的“冲刺点”坐标，若不存在，说明理由.

22

(3)若“冲刺函数"y=aX+x+c{a^0)上的“冲刺点”为A、B两点，若P为函数y=ax+x+c(a^

0)上一动点，且该抛物线上有且只有3个点P满足△MB的面积为L若以A、B为顶点的正方形边长

为1,求c值.

•••

6.(2024春・东城区校级期中)在平面直角坐标系力Oy中，对于点AQi，"),B(x2,纺),记＜4=\x1—x2\,dy

=尿一如，将a-dy\称为点A,B的横纵偏差,记为44,8),即n(A,B)=\dx-dy\.若点B在线段

尸Q上,将,B)的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差,记为,FQ).

(1)4(0,—2),B(1,3),

①〃(A,B)的值是；

②点K在立轴上，若,K)=0,则点K的坐标是.

(2)点P,Q在0轴上，点P在点Q的上方，PQ=a，点7的坐标为(一5,1).

①当点Q的坐标为(0,1)时，求PQ)的值(答案可以用a表示)；

②当线段PQ在9轴上运动时，若的最小值为5,直接写出a的取值范围.

•••

1

7.（2024•丛台区校级四模）已知抛物线L：y=a"+bc—3a（aW0）经过点A（—1,0）,且与多轴的另一个

交点为点C.

⑴当a=l时，解决下列问题.

①求抛物线的解析式、顶点坐标以及点。的坐标；

②坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点。及L的一段,分别记为G，〃.平移该胶片，使

L所在抛物线对应的函数恰为沙="—3,求点G移动的最短路程；

（2）已知直线/：“=卜（工+1）.定义:横纵坐标均为整数的点称为“美点”.

①判断直线Z是否过点A；

②当R=a=］时,直接写出直线I与抛物线L围成的封闭图形边界上“美点”的个数；

③当a=&时,记抛物线L在0WcW2024的部分为L2.光点Q从点A弹出，沿直线I发射,若击中

抛物线〃上的“美点”，就算发射成功，直接写出此时整数k的个数.

备用图

•••

8.（2024•丹东二模）定义:在平面直角坐标系中，函数A的图象经过的两个顶点，则函数R是

汝△ABC的“勾股函数”，函数R经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为（g,勿），（叫，切），且

22,当自变量比满足叫时，此时函数R的最大值记为Umax，最小值记为Umin，%=

y-y.

三变」!四，则/i是Rt/\ABC的“DX”值.

2

已知:在平面直角坐标系中，①△4BC,乙4cB=90°,轴.

⑴如图，若点。坐标为（1,1）,47=80=4.

①一次函数%=—，+6是Rt/\ABC的“勾股函数”吗？若是，说明理由并求出Rt^ABC的“DX”值，若

不是,请说明理由；

②是否存在反比例函数%=旦他/0）是电△ABC的“勾股函数”，若存在，求出R值，不存在，说明理

X

由.

（2）若点A的坐标为（2,2）,点8的坐标为（1,m）,二次函数为=〃+be+c是Rt/\ABC的“勾股函

数”.

①若二次函数禽="+b①+c经过4。两点，则放△ABC的“。X”值%=；

②若二次函数统="+be+c经过4口两点，且与Rt/\ABC的边有第三个交点,求m的取值范围；

③若二次函数统="+be+c经过4口两点，且Rt/\ABC的“0X”值/i=《山2,求7n的值.

•••

1

9.(2024春，工业园区校级月考)我们约定:若关于x的二次函数“=的婷+多立+Ci与0=a2"+与c+

同时满足电片0,a2y=0,|&1+a2\+y/b1—b2+(q+。2>=0,则称函数仍与统"回旋”函数.根据该约定，

解答下列问题：

(1)求二次函数y=x2-4x+3的“回旋”函数的解析式；

⑵若关于田的二次函数夕=谓+22+。的顶点在它的“回旋”函数图象上，且且W①《忙£时，—4

aa

W统44,求a,c的值；

(3)关于C的函数阴=&婷+近+。(0>0)的图象顶点河,与刀轴的交点为43当它的“回旋”函数改

的顶点为N,与c轴的交点为C、。，从右到左依次是4、8、C、0,若38C,是否存在b使得

AMEW为矩形？

•••

10.(2024春•门头沟区期末)如图，在平面直角坐标系xOy中,P(g,y),Q(g,纺)，且61Wg，%如

果P。为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,那么就称该矩形为点P,。的“相

关矩形”.如图为点P。的“相关矩形”的示意图.

(1)已知点A的坐标为(1,1),

①如果点B的坐标为(4,3),求点A,8的“相关矩形”的面积；

②如果点。在c轴上，点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线表达式.

(2)当0(0,2),F(-1,1)时，如果在线段EF上存在一个点河，使点。，M的“相关矩形”为

正方形，直接写出m的取值范围.

yfy八

3-3-

2345x2345a;

备用图

•••

1

n.（2024春・中山区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，如果一次函数直线I与某个图形G有且只有一

个交点，则定义该函数为图形G的“AN函数”.

例如:如图1,点河（2,2）,点N（2,5）,一次函数夕=2+1与线段MN交于点P（2,3）,则该函数是线段

A1N的“RN函数”.

（1）如图2,在矩形ABCD中，点4—1,3）,点C（3,1）,若一次函数y=^x+b是矩形ABCD的函

数”，则b=

（2）如图3,在菱形ABCD中，点4—1,—3），点C（6,0）,点B在"轴上，一次函数0=kx+^k+\是菱

形ABCD的“AN函数”.

①求点。的坐标;

②求R的值.

（3）如图4,点A,。是直线y=-x+1上的两点，点A的横坐标为m,点。的横坐标为m+2；将正方形

ABCD的边AB,BC,CD所组成的图形定义为G（其中点B的横坐标为m），若直线Z：夕=小力—1是图

形G的“RN函数”，直接写出m

图4

•••

12.（2024-南海区一模）【定义】设抛物线与水平直线Z交于不重合的两点人、过抛物线上点P（不同于

4、⑻作该水平线的垂线，垂足为。.我们把点P与点。间的距离称为点尸关于直线I的铅垂高,垂足

到点A和点8间的距离分别称为点P关于直线/的左水平宽和右水平宽，铅垂高与左、右水平宽的乘

积的比称为点P关于抛物线的“T”系数.例如，如图1,抛物线夕=a"+近+c与刀轴交于点4b尸

是抛物线上一点，轴于点C,则PC的长为点P关于立轴的铅垂高，AC,8C的长为点P关于

T轴的左水平宽与右水平宽，的值称为点「关于y=a^+bx+c的“T”系数.

7T.OXJL>O

【理解】如图2，已知抛物线y=+t+4与立轴交于点入、B（点A在点B左侧），点P是抛物线上一

点，PCLc轴于点C；

①当点P的坐标是（0,4）时，点P关于t轴的铅垂高是，点P关于土轴的左水平宽是,

点P关于2轴的右水平宽是；

②当点P的横坐标是小时，则点P关于沙=：/+力+4的“T”系数是；

【探究】经过探究可以发现，若抛物线"=a〃+kc+c与水平直线Z交于点入、口,点p是抛物线上一

点，PC于点C,请求出点P关于抛物线y=ax2+bx+c的“T”系数（用含a的代数式表示）；

【应用】校门口的隔离栏通常会涂上呈抛物线形状的醒目颜色，如图3,是一个被12根栏杆等分成13等

分的矩形隔离栏示意图，其中颜色的分界处（点C,。）以及点4点B落在同一抛物线上，若第4根栏

杆涂色部分（CE）的长为36cm,则第6根栏杆涂色部分（DF）的长为cm.

图3

•••

1

13.（2024#-徐水区期末）我们给出如下定义:两个图形G和G?对于G上的任意一点P⑶，仍）与G2上

的任意一点Q（电，纺），如果线段PQ的长度最短,我们就称线段PQ为“理想距离”.

（1）如图1,点P在线段45（4（1,0）,8（3,0））上，点Q在线段CD上，如果PQ为理想距离，那么PQ的

长为;

（2）有射线EF（E（4,0）,尸（0,4））和线段4B,点P在线段4B上，点Q在射线EF上:

①如图2,当4（1,0）,B（3,0）时，画出理想距离的示意图，PQ的长为

②如图3,保持线段在宓轴上（点/在点B的左侧），且AB为2个单位长度，4加0），理想距离

PQ的长满足0<PQ<JE

%、

3-

C(-2.2)2D(0.2)

1-

AB

-2-10-i23X

—1■

图1

•••

14.（2024•新乡模拟）某数学兴趣小组遇到了这样一个问题:给定两个函数，任取自变量力的一个值，当刀

（。时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值大1;当工>0时，另一个函数对应的函数值比原函

数的函数值小1,我们称这两个函数为原函数的伴随函数，例如:一次函数夕=—劣+2的伴随函数为夕=

f-x+3（x<0）

|-x+l（x>0）

()(x<0)

（1）根据上述问题情境请写出函数4=〃的伴随函数：y=.

()(x>0)

（2）如图，给出了函数“的图象，请在同一坐标系中画出它的伴随函数的图象（作图时请注意自变

量的取值范围）；

（3）当—2Wc<3时,请直接写出二次函数y=—/+3^-2的伴随函数的最大值和最小值.

•••

1

15.(2024春•庄河市期末)【了解概念】已知函数仍是自变量力的函数，当纺=力+协,称函数%为函数阴的

“加和函数”.

在平面直角坐标系中，对于函数％图象上一点A(m,n),称点+n)为点A关于函数纳的“加

和点”，点8在函数％的“加和函数”的图象上.

【理解运用】例如：函数%=21.当例=2：+0=t=3c时，称函数夕2=3c是函数历的“加和函

数”.

在平面直角坐标系中，函数%=2x图象上任意一点A(m,n),点、m+n)为点A关于力的“加和

点”，点B在函数%=2T的''加和函数"y2=3①的图象上.

(1)求函数yi=yx的“加和函数”y2的表达式；

(2)点P(m,n)在函数％=—34+2的图象上，点P关于函数少的“加和点”为点Q,若点Q与点P的纵

坐标互为相反数，求点P的坐标；

【拓展提升】

⑶在⑵的条件下，%的“加和函数”例，直线的交U轴于点小，已知点4如力)，8(-力，力),C(-t,-t),

(t>0).若将△「◊下的边构成的图形记为河，当四边形ABCD的边与图形''河”有且只有2

个交点时，直接写出1的取值范围.

•••

16.（2024春•思明区校级期中）对于平面直角坐标系①。"中的图形V,N,给出如下定义：P为图形又上

任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P,Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形双,

N间的“邻近距离”，记为d（图形"，图形N）.

已知点4—2,—2）,8（3,-2）,0（3,3）,0（—2,3）.

（l）d（点O,线段入⑹=；

（2）若点G在立轴上，且d（点G,线段AB）＞2,求点G的横坐标a的取值范围；

（3）依次连接48,C,。四点，得到正方形4BCD（不含图形内部）,记为图形河,点E（t,0）,点尸（0,

均不与点。重合，线段EO,OF组成的图形记为图形N,若d（图形图形N）=l,直接写出力

的值.

y

55

44

33

22

1111A

-5-4-3-2-1P2345H-5-4-3-2^1.°2345%

-2-2

-3-3

-4-4

-5-5

•••

1

17.（2024•长沙三模）对某一个函数给出如下定义:如果函数的自变量力与函数值g满足：当Q—m）Q—

71）<0时，（g—m）（y—n）<0（m,九为实数，且nzV九），我们称这个函数在?n—zz上是“民主函数”.

比如：函数g=—=+1在一2上是“民主函数"理由：・・・由［7—（―1）］（力一2）40,得一14/42.

T—1—y,：,—141—y42,解得一1<g<2,［g—（—1）］（7/—2）40,是“民主函数”.

（1）反比例函数9=色是2—3上的“民主函数”吗？请判断并说明理由；

X

（2）若一次函数夕=标+匕在7nm上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含小的代数式表示）；

（3）若抛物线y=a/+bx+c（a>0,a+b>0）在1f3上是"民主函数"，且在1WreW3上的最小值为

4a,设抛物线与直线y=3交于A,B点，与夕轴相交于。点.若△ABC的内心为G,外心为V,试求

MG的长.

•••

18.（2024-昆山市模拟）定义：若存在实数对坐标（为y）同时满足一次函数0=p①+q和反比例函数"=

，则二次函数y=px2+qx-k为一次函数和反比例函数的“生成”函数.

⑴试判断（需要写出判断过程）:一次函数U=F+3和反比例函数夕=2是否存在“生成”函数，若存

X

在，写出它们的“生成”函数和实数对坐标.

（2）已知：整数n,t满足条件t<n<8馆，并且一次函数g=（1+n）x+2m+2与反比例函数g=

存在“生成”函数g=（m+t）x2+（10m—t）x—2015,求7n的值.

x

（3）若同时存在两组实数对坐标Qi,幼）和（g，纺）使一次函数y=ax+2b和反比例函数y=2为"生

x

成”函数，其中，实数a>b>c,a+b+c=0,设Z/=|g—力21,求心的取值范围.（注：一元二次方程

a/+辰+c=0的求根公式为-b±VbJ-4ac）

1，2

•••

1

函数专题训练--新定义问题压轴好题（解析版）

1.（2024-湖南三模）定义:我们把一次函数g=kx+b（k*0）与正比例函数夕=c的交点称为一次函数y

=M+b（k¥0）的“不动点”.例如求y=2c—1的“不动点”:联立方程=解得,二1，则0

Iy=x

=2/—1的“不动点”为（1,1）.

（1）由定义可知，一次函数y=3x+2的“不动点”为（一1—1）；

（2）若一次函数0=771①+/1的"不动点”为（2,72—1）,求771、71的值；

（3）若直线夕=皿—3（k¥0）与立轴交于点人,与沙轴交于点且直线0=A;①—3上没有"不动点"，若

P点为工轴上一个动点，使得SAABP=3s△AB。，求满足条件的P点坐标.

【分析】⑴根据题意，联立（"―3①+2,即可求解；

Iy『

（2）由定义可知一次函数y—mx+71的“不动点”为（2,2）,再将点（2,2）代入g=mx+3即可求nz的值；

（3）由题意可知直线^=/｛：力一3与直线g=/平行，则有沙=力一3,在求出A（3,0）,B（0,一3）,设PQ,0）,由

SAABP=3S4W。，可得9X|t-3|X3X3,即可P点坐标.

【解答】解：⑴联立3'+2,

Iy=x

解得

.•.一次函数夕=3t+2的“不动点”为（-1,-1）,

故答案为：（-1,-1）;

（2）V一次函数y=m6+n的“不动点”为（2,九一1）,

n—1=2,

n=3,

・,・“不动点”为（2,2）,

2=2m+3,

解得772=--｝；

⑶・,•直线g=——3上没有“不动点”,

，直线g=k力一3与直线。=力平行，

：.k=l,

.*.?/=a?—3,

.\A（3,0）,B（0,-3）,

设设伍0）,

AP—|3—1|,

^AABP=3x\t-3|x3,

SAABO~x3x3,

•,S4ABp—3s△ABO,

-3|=9,

・••力=12或1=—6,•••

P（-6,0）或P（12,0）.

【点评】本题是一次函数的综合题，理解定义，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键.

2.（2024•芙蓉区校级开学）在平面直角坐标系以九中，若点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为完美

点.已知二次函数u=aa：2+42：+c（a/0）.

（1）当a=l,c=2时，请求出该函数的完美点；

（2）已知二次函数夕=a婷+4c+c（a¥0）的图象上有且只有一个完美点（■!■，!■）,请求出该函数；

（3）在（2）的条件下，当OWrrWm时，函数沙=£1/+42：+。一年（£1片0）的最小值为一3,最大值为1,求

m的取值范围.

【分析】⑴根据完美点的概念，由g=力与抛物线解析式联立即可求得答案；

（2）由题意得关于n的方程ax2++。=0有两个相等的实数根，可得△=9—4ac=0,则4ac=9,再将完

美点的坐标代入即可求得答案；

（3）由题意得g=—d+4/一3=—（劣一2）2+1,可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据

二次函数的图象和性质，可求得力的取值范围.

【解答】解：（1）当Q=1,c=2时，夕=力2+4/+2,

令g=力，则力之+3/+2=0,

解得:力］=­1,x2=—2,

:.该函数的完美点为R（—1,—1）,g（—2,—2）;

（2）令ax2+4/+c=/,即ax2+3力+c=0,由题意可得，图象上有且只有一个完美点，，△=9—4ac=0,

则4ac=9.

又方程根为x——^—=—亶-=2，

2a2a2

.i9

..a=-1,c=--—,

该二次函数的解析式为y——X1+4rr—;

（3）y=_/2+41—-----1-——X1+4g-3二一（J;-2）2+1,

该二次函数图象如图所示，顶点坐标为（2,1）,

与g轴交点为（0,—3）,根据对称规律，点（4,一3）也是该二次函数图象上的点.在力=2左侧，g随力的增大

而增大；在力=2右侧，g随力的增大而减小；

丁当。《力时，函数g=—炉+4%—3的最小值为一3,最大值为1,

1•••

24m<4.

【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结

合和分类讨论是解题关键.

3.(2024•亭湖区校级模拟)我们定义：点P在一次函数夕=姐+6上，点Q在反比例函数夕=且上,若存

X

在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数？/=ax2+bx+c为一次函数夕=a+b和反比例函数4=

—的''向光函数"，点P称为''幸福点”.例如:点P(—1,—2)在y=c—1上，点Q(l,—2)在夕=2上,

XX

P、。两点关于g轴对称，此时二次函数4=/2一力一2为一次函数g=6-1和反比例函数沙=2的

x

“向光函数”，点P(—L—2)是“幸福点”.

⑴判断一次函数9=力+2和反比例函数g=3是否存在“向光函数”，若存在,请求出“幸福点”坐标;

x

若不是，请说明理由；

(2)若一次函数"=力一卜+1与反比例函数夕=-2只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；

X

(3)已知一次函数u=ax+b与反比例函数4=-有两个“幸福点”4B(A在8左侧)，其“向光函数”

X

沙=。力2+就+。与力轴交于。、。两点(。在。左侧)，若有以下条件:①a+b+c=0②“向光函数”经

过点(—3,4)③a>b>0,记四边形ACBO的面积为S,求C的取值范围.

a

【分析】(1)设一次函数上任意一点P(a,a+2),则P点关于夕轴的对称点Q(-a,a+2),根据题意可得

—a(a+2)=-3，求出a的值即可求''幸福点”；

(2)设一次函数上任意一点P(6,b—%+1),则P点关于夕轴的对称点Q(—b,b-k+1),根据题意可得—b(b

一k+1)=出+2,再由八=(1—/(;)2—4(/；;+2)=0,求出％的值即可确定''向光函数”的解析式；

(3)由题意可得x+x=—■—,x-x=—,x+x=—~,x-x=色，再由已知条件得到b=2a—l,c=l

ABXABXcDXcDX

—3a，则S=XCDX{yA—yB)=X——X(4a—1),求得X(4—5-了,再由lv工<2,求出

22aa2aa

Sv9

/V-—V-二-・

a2

【解答】解：⑴存在“向光函数”，理由如下：

设一•次函数上任意一点F(a,Q+2),则P点关于g轴的对称点Q(—a,a+2),

当一Q(Q+2)=—3时,解得Q=1或a=—3,

P(1,3)或(-3,-1)是''幸福点”，一次函数y=x+2和反比例函数夕=3存在''向光函数”；

X

(2)设一次函数上任意一点P(b,6—k+1),则P点关于v轴的对称点Q(—b,6—k+1),

当一b(b—k+1)=k+2时，b?+b(l—fc)+fc+2=0,

一次函数y=*—k+1与反比例函数g="只有一个“幸福点”，

x

A—(1—fc)2—4(fc+2)—0,

解得k=—1或k=7,

当k=-1时，g=/+2,^=工，则“向光函数”为。="+2/+1;

x

当k=7时，沙=/-6,沙二旦，则“向光函数”为g=炉—6/+9;

x•••

（3）设一次函数上任意一点、P（*,ai+b）,则P点关于g轴的对称点Q（—0，aN+6）,

当一力（ar+b）=c时，ax2+bx+c=Q,

一次函数g=aR+b与反比例函数g=£~有两个“幸福点”，

x

A=fe2—4QC>0,x+x=---,x*x=­,

ABaABa

“向光函数"g=ax2+be+c与力轴交于C、_D两点，

,।_b_c

・・XX，XX，

C+D-XC*D——X

・・,“向光函数”经过点（一3,4）,

9a—3b+c=4,

=a+b+c=0,

.\b=2a—l,c=1—3a,

:.y=ax2+（2a—l）x+（1—3a）,

*.*a>b>0,

a>2a—1>0,

.1—-

••万VaVI,

XX

・•・xD-xc=V（XD-\~XC^-4：XC-XD=4）1，VA—VB=Q（力A一*B）=W+BT~'B=4Q-1,

S=]xCDx（yA—yB）=^-x4）1x（4a—1）,

，£=当P=!X（4」）2,

a2a22a

VK—<2,

a

2<—<4.

a2

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一元二次方程根与系数的关系，

弄清新定义是解题的关键.

4.（2024-桃江县一模）若抛物线y=ax2+bx+c^x轴交于A,B两点，与g轴交于点。，且△48。恰好

是直角三角形，并满足OC2=。4・。氏。为坐标原点），则称抛物线y=ax2+bx+c是“直角型抛物

线”，其中较短直角边所在直线为“直角倍增线”，较长直角边所在直线为“直角倍减线”.

（1）若“直角型抛物线"y=a^+bx+c的“直角倍增线”为直线y=-5T—3,求抛物线解析式；

（2）已知“直角型抛物线"沙=a炉+就+c与力轴的一个交点为（-2,0）,且的值t满足方程：x2-

82+7=0.其“直角倍减线”与反比例函数夕=1的图象仅有一个交点，求其直角倍减线的函数解析

lx

式；

（3）已知抛物线夕=+—四eg>。）是“直角形抛物线”，则函数0="+3刀+需。的最小

值.

【分析】（1）由题意可知，A,B两点必在原点两侧，且AB边为直角三角形斜边，由直线v=-5;r—3得点。

（0,-3），点A（-4,0）.由射影定理得002=OAxOB,故5（15,0）,再利用待定系数法解答即可；

（2）由力2—8力+7=0,得力=1或者力=7,由OC2=OAxOB,得点、C坐标为（0,V10）或（0,—,再代入

计算即可；

1•••

（3）由g=+V3x—J^c（c>0）,设？1横坐标为a,B横坐标为b.故a+b=3,ab=3c.由002=

o

OAxO_B,得（一，^c）2=|3c],再计算即可.

【解答】解：⑴由题意可知两点必在原点两侧，且AB边为直角三角形斜边，

在y=-5x—3中，令力=0,贝Uy=-3,

・・・C的坐标为（0,-3）,

令沙=0,则x=―

5

・,•点A.的坐标为（—,0）.

5

・・.OC=3,OA=~,

5

・・・OC为R/AABC斜边上的高,

由射影定理得：OC2=OA^OB,

・・.O8=15,

・••点B坐标为（15,0）,

将点。代入抛物线，即一3=c,

将A,B点坐标分别代入抛物线g=ax2-\-bx-\-c,

10=225a+15b-3

•.•a=—1bL=一一2—4,

3f5

抛物线表达式为：y—^-x1—■学力+3;

35

（2）V48的值力满足：海一&r+7=0,

，力=1或者力=7,

・・・抛物线与力轴一个交点为（-2,0）,且需满足A,B在原点两侧，

：.t—7,

即抛物线与力轴的另一个交点为（5,0）,

・・・002=04x05,且已知抛物线与力轴的两个交点坐标，

・•.002=2x5=10,

・•・OC=V10.

即点。坐标为（0,内）或（0,—，正），

设“直线倍减线”所在的直线为y—kx-\-V10^y—kx—V10,

代入3（5,0）,得：k=—净或净，

55

“直线倍减线”所在的直线为？/加一胸或9=—暝立+痴，

55

⑶=力2+通力—，^c（c>。），设在横坐标为0,右横坐标为b.

当g=0时，/2—3力+3c=0,

CL+b—3,ab—3c.

令/=0,则g=—V3c,

c>0,

OC=V3cf

・・・OC2=OAxOB,•••

/.（V3c）2=3c,

c=1.

g="+3力+-^-c=力？+3/+告=（力+5）2_,

:.y=x2+3x+-|-c的最小值为一.

【点评】本题考查了二次函数综合题，根据给出的新定义，再运用二次函数的性质解答是解题关键.

5.（2024•岳麓区校级三模）我们约定，在直角坐标系中，若不相同的两个点A（Qi，仇）、8（Q2,尻）满足

侬+电）2+①+%|=。，则称4B互为“冲刺点”，若函数"上存在一组冲刺点，则称函数"为"冲刺函

数”.

⑴判断下列函数是否为“冲刺函数”，对的在括号里打“V”,错的打“义”.

①g=2力+1（x）；

②£=4V）;

a-

③y=£2+2c+l（x）；

（2）是否存在人、B两点既是一次函数0=-x+b上的“冲刺点”，又是二次函数y=ax2+bx+c（a¥0）

上的“冲刺点”，若存在，求出这样的“冲刺点”坐标，若不存在，说明理由.

（3）若“冲刺函数"y=ax2+x+c（a^0）上的“冲刺点”为4、8两点,若P为函数y=ax'2+x+c（a丰

0）上一动点，且该抛物线上有且只有3个点P满足△MB的面积为L若以A、B为顶点的正方形边长

为1,求c值.

【分析】（1）根据（ai+a2p+3+仇|=0,得出一组冲刺点在直角坐标系中关于原点对称，然后对三个函数图

象进行判断即可确定结论；

（2）先根据函数9=一2+6上有“冲刺点”，得出6=0,然后把两个函数解析式联立得出关于田的一元二次方

程，由根与系数的关系得出x+x=——W0,进而得出两函数不会存在共同的"冲刺点”；

ABa

（3）根据“冲刺点”的关于原点对称，设出A、B两点的坐标并代入夕=a式+2+c,求出两点坐标进而判定

AB两点在直线夕=c上，然后由以为顶点的正方形边长为1,结合△MB的面积为1,得出点P的轨迹

所在两条直线的解析式，再由抛物线分别与两条直线有且仅有3