数学常考压轴题华师版九年级专题04黄金分割与平行线分线段成比例的五种考法含答案及解析

专题04黄金分割与平行线分线段成比例的五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、利用黄金分割求解 2类型二、证明黄金分割点 5类型三、由平行判断成比例的线段 9类型四、由平行截线求相关线段的长 12类型五、由平行截线求相关线段的比值 15压轴能力测评（18题） 19解题知识必备1.黄金分割如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）2.平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．3.平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．压轴题型讲练类型一、利用黄金分割求解例题：（23-24八年级下·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则．【变式训练1】（2024·江苏常州·模拟预测）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为米．【变式训练2】（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接AD，在AD上截取；在AB上截取，则．【变式训练3】（2024·山东潍坊·模拟预测）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到．参考数据：，，）．类型二、证明黄金分割点例题：（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）【背景知识】宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．（1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号）【实验操作】折一个黄金矩形第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处；第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．

【问题思考】（2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形；（3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积．【变式训练1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处．(1)求证：点恰为线段的黄金分割点；(2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明．【变式训练2】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读下面的材料：如图1，在线段上找一点C，若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．

我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P．根据材料回答下列问题：(1)根据作图，写出图中相等的线段：________；(2)求的长；(3)求证：点P是线段的黄金分割点．类型三、由平行判断成比例的线段例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（）A． B．C． D．【变式训练1】（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知直线，下列结论中不成立的是（

）A． B． C． D．【变式训练2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【变式训练3】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（

）

A． B． C． D．类型四、由平行截线求相关线段的长例题：（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，那么．【变式训练1】（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，直线被平行线所截，交点分别为，且，，，则．【变式训练2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知,与交于点，若，求和的长．【变式训练3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．

(1)若，求的长；(2)若，，求的长．类型五、由平行截线求相关线段的比值例题：（2024·山东临沂·二模）如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，若，，则的值是．【变式训练1】（2024·云南·模拟预测）如图，直线，相交于点，且，若，，，则．【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值．【变式训练3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的中线．(1)若为的中点，射线交于点，求；(2)若为上的一点，且，射线交于点，求．压轴能力测评（18题）一、单选题1．（2024·广西·模拟预测）如图，已知，，，，则的长为（

）A． B．7 C．8 D．2．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）如图，直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若，则的值是（）A． B． C． D．3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．4．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（

）A． B． C． D．5．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（

）．（结果保留根号）

A． B．C． D．二、填空题6．（2024·江苏泰州·一模）如图，已知直线，如果

则．

7．（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图中点DE分别在边上，，若，则的长是．8．（2024·山西朔州·三模）如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为．9．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则．10．（22-23九年级下·广东惠州·开学考试）如图，在直角中，，，，且点，分别在，上，连接和交于点．若，，则的长为．三、解答题11．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，，，，，，求，的长．12．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，，(1)的值为________；(2)求的值．13．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，相交于点E，在一条直线上．．(1)求的值；(2)求的长．14．（2022九年级·江苏·专题练习）如图，在中，是边上的中线，M是的中点，的延长线交于N．求证：．

15．（2023·河北石家庄·模拟预测）阅读材料：角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程：证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．……解决问题：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程；(2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长．16．（2024八年级·全国·竞赛）如图1，在中，截线交于点，交于点，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若截线经过的重心点，如图2，利用（1）中的结论，求证：．17．（2022九年级上·浙江·专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数．为简单起见，设，则．∵，∴……任务：(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：①设是已知线段，过点B作且使；②连接，在上截取；③在上截取；则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？(3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是．18．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：我们可以发现，当两条直线与一组平行践相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所傅的对应线段成比例，（简称“平行线分线段成比例“

【问题原型】如图①，中，点为边上的点，过点作交为边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，，，则．【结论应用】（1）如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．求证：；（2）如图③，中，，，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连接、分别交于点、，则周长的最小值是．

专题04黄金分割与平行线分线段成比例的五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、利用黄金分割求解 2类型二、证明黄金分割点 5类型三、由平行判断成比例的线段 9类型四、由平行截线求相关线段的长 12类型五、由平行截线求相关线段的比值 15压轴能力测评（18题） 19解题知识必备1.黄金分割如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）2.平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．3.平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．压轴题型讲练类型一、利用黄金分割求解例题：（23-24八年级下·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则．【答案】/【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.【详解】解：设，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∵四边形是黄金矩形，∴，∴，解得：，经检验：是原方程的解，∴，故答案为：．【变式训练1】（2024·江苏常州·模拟预测）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为米．【答案】【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为进行求解即可．【详解】解：∵E为边的黄金分割点，，∴米，故答案为：．【变式训练2】（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接AD，在AD上截取；在AB上截取，则．【答案】【分析】先求得，再根据所给作图步骤，分别求出出和AB即可解决问题．本题主要考查了黄金分割，能根据题中所给作图步骤，理清各线段之间的关系是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，在中，．因为，所以，所以，所以．故答案为：【变式训练3】（2024·山东潍坊·模拟预测）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到．参考数据：，，）．【答案】【分析】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是，雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，，解得或（舍去），经检验，是原方程的解，，故答案为：．类型二、证明黄金分割点例题：（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）【背景知识】宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．（1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号）【实验操作】折一个黄金矩形第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处；第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．

【问题思考】（2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形；（3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积．【答案】（1）（米）；（2）见详解；（3）或．【分析】（1）由题意得帕特农神庙宽的与长的比等于，已知长为30，则可以求出宽．（2）若的长为2，由折纸的过程可知，，．求得，则，则可得，进而可求得，即可得证．（3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可．本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键．【详解】（1）由题意得帕特农神庙宽与长的比等于，∴它的宽为：（米）．（2）证明：，由题意得，，，，，，，∴矩形是黄金矩形．（3）由折叠的性质可得，又，，∴，又，，．当为黄金矩形的长时，则宽为，则面积为．当为黄金矩形的宽时，则长为，则面积为．综上，矩形的面积为：或．【变式训练1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处．(1)求证：点恰为线段的黄金分割点；(2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查折叠作图，黄金分割点的定义，勾股定理，掌握黄金分割的比值是解题的关键．（1）先运用勾股定理得到，然后在和中，运用解题计算即可证明；（2）先对折矩形，然后再折叠，使得点落在第一次的折痕上，即可得到角．【详解】（1）证明：如图，连接，设正方形的边长为，则．在中，，则．设，则，在和中，有，即，解得，即点P是AD的黄金分割点()；（2）方法如图所示:第一步：对折矩形纸片ABCD,使与重合，得到折痕，把纸片展平；第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，落点为点，并使折痕经过点，得到折痕BM，同时，得到线段.则【变式训练2】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读下面的材料：如图1，在线段上找一点C，若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．

我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P．根据材料回答下列问题：(1)根据作图，写出图中相等的线段：________；(2)求的长；(3)求证：点P是线段的黄金分割点．【答案】(1)，(2)(3)见解析【分析】（1）由题意知，，，然后作答即可；（2）由勾股定理得，根据，计算求解即可；（3）由，可得，，，则，即，进而结论得证．【详解】（1）解：由题意知，，，故答案为：，；（2）解：∵，∴∵，∴，由勾股定理得，∵∴，∴．（3）证明：∵，∴，，，∴，即，∴点P是线段的黄金分割点．【点睛】本题考查了画线段，勾股定理，黄金分割．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．类型三、由平行判断成比例的线段例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．．据此解答即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故选：A．【变式训练1】（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知直线，下列结论中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答．【详解】解：，，，，选项A、B、C正确，不符合题意，故选：D．【变式训练2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【详解】解：A．，则，正确，故本选项不符合题意；B．，则，正确，故本选项不符合题意；C．，则，错误，故本选项符合题意；D．，则，正确，故本选项不符合题意；故选：C．【变式训练3】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行四边形的性质得到平行线，利用平行线分线段成比例定理计算判断即可．【详解】∵平行四边形，∴，∴，∴，∴，故A正确；∵平行四边形，∴，∴，∴，故C正确；∵平行四边形，∴，∴,故D正确；∵平行四边形，∴，∴，∴，故B错误；故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键．类型四、由平行截线求相关线段的长例题：（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，那么．【答案】6【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键．【详解】解：∵，∴∵，，，∴，解得．故答案为：6．【变式训练1】（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，直线被平行线所截，交点分别为，且，，，则．【答案】【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理可得，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键．【详解】解：∵直线被平行线所截，∴，即，∴，故答案为：．【变式训练2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知,与交于点，若，求和的长．【答案】,【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理列出比例式成为解题的关键．先根据线段的和差求得，根据平行线等分线段定理可得即可得，进而得到，再根据平行线等分线段定理可得即，然后求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，∴，即，解得：．【变式训练3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．

(1)若，求的长；(2)若，，求的长．【答案】(1)；(2)．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，解得．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．类型五、由平行截线求相关线段的比值例题：（2024·山东临沂·二模）如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，若，，则的值是．【答案】/【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，代入即可求得答案．【详解】解：，，故答案为：．【变式训练1】（2024·云南·模拟预测）如图，直线，相交于点，且，若，，，则．【答案】43/【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【详解】，，，，，，故答案为：．【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值．【答案】．【分析】本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质．先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案．【详解】解：如图，设与的交点为H，∵点M是的中点，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．【变式训练3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的中线．(1)若为的中点，射线交于点，求；(2)若为上的一点，且，射线交于点，求．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解；（2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解．【详解】（1）解：如图，过点作，交于点．，，，又是的中线，，．，，又为的中点，，，；（2）解：如图，过点作，交于点．，，，，，即，由（1）知，，，．压轴能力测评（18题）一、单选题1．（2024·广西·模拟预测）如图，已知，，，，则的长为（

）A． B．7 C．8 D．【答案】A【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，即可求出结果．【详解】解：∵．∴，∴，故选：A．2．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）如图，直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若，则的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据得到，由即可进一步得到答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故选：C．3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，先由平行四边形的性质得到，，根据，得出，根据平行线分线段成比例定理得出，然后逐项进行判断即可．【详解】解：在平行四边形中，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，，故A、D不符合题意；∴，故C符合题意；∵，，∴，故D不符合题意．故选：C．4．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了构造平行线并利用平行线分线段成比例进行解决问题，正确构造平行线是解题的关键．过点作交于点，利用，得，再利用平行线分线段成比例可得，再利用比例的性质即可求解．【详解】解：过点作交于点，如图，∵是的中线，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故选：B．5．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（

）．（结果保留根号）

A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了黄金分割的概念：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，比值为．正确掌握黄金分割的概念是解题的关键．因为线段有两个黄金分割点，因此根据黄金分割的概念分别求出两段较长线段的长度，最后根据即可得出结论．【详解】点是靠近点的黄金分割点，，，点是靠近点的黄金分割点，，，支撑点之间的距离为．故选：A．二、填空题6．（2024·江苏泰州·一模）如图，已知直线，如果

则．

【答案】【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．由，可得，即，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，即，解得，，故答案为：．7．（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图中点DE分别在边上，，若，则的长是．【答案】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由中，点分别在边上，，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由，即可求得答案，注意掌握各比例线段的对应关系是解此题的关键．【详解】∵，∴，∵，∴，解得：，∴．故答案为：．8．（2024·山西朔州·三模）如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为．【答案】20【分析】延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可．【详解】如图，延长交的延长线于点G．四边形为平行四边形，．，．点E为边的中点，．在和中，，，．，，．，．，，即，解得．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明．9．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则．【答案】【分析】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解此题的关键．根据“较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，比值为”，进行计算即可．【详解】.解：支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，，，故答案为：．10．（22-23九年级下·广东惠州·开学考试）如图，在直角中，，，，且点，分别在，上，连接和交于点．若，，则的长为．【答案】【分析】本题考查了平行线分线段成比例、勾股定理等知识，由题目的比例关系可作对应的平行线，根据平行线分线段成比例和勾股定理可列等式，从而得出答案，准确作出平行线是解题的关键．【详解】解：如图，过点作设，则，，故答案为：．三、解答题11．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，，，，，，求，的长．【答案】，．【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可解决问题，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．【详解】解：∵，∴，，∵，，，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，．12．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，，(1)的值为________；(2)求的值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）先根据相似三角形的判定和性质求出，再证明从而得出，（2）求出长度后再通过勾股定理求出长度．【详解】（1）∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴又∵；∴解得：故在和中∴（）∴∴故答案为：1（2）由（1）可知：∴【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理和全等三角形性质和判断，勾股定理，掌握这些是解本题关键．13．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，相交于点E，在一条直线上．．(1)求的值；(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了平行线分线段成比例；（1）由，利用平行线分线段成比例，可得出，由，再利用平行线分线段成比例，即可求出的值；（2）由，利用平行线分线段成比例，可得出，结合，，即可求出的长．【详解】（1）∵，，又∵，；（2）∵，，又，，．14．（2022九年级·江苏·专题练习）如图，在中，是边上的中线，M是的中点，的延长线交于N．求证：．

【答案】见解析【分析】过D作交于N，证明，，即可证明结论．【详解】证明：过D作交于N，如图所示：

，，∵M为的中点，，，是边上的中线，，，，∴．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解题关键．15．（2023·河北石家庄·模拟预测）阅读材料：角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程：证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．……解决问题：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程；(2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．（1）过点作，交的延长线于点，由，可求证，，，可得，即可求解；（2）根据（1）中的结论即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，，．∵平分，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵是角平分线，∴．∵，，，∴，解得，经检验符合题意．故的长为．16．（2024八年级·全国·竞赛）如图1，在中，截线交于点，交于点，交的延长线