高中数学复习专题突破（六）

热点题型1统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的分析进行统计、抽象概括，做出估计与判断．常与抽样方法、频率分布直方图、茎叶图、概率等知识交汇考查，考查考生的数据处理能力和运算求解能力．eq\o(典例)(2018·合肥质检)为了调查学生星期天晚上学习时间的利用问题，某校从高二年级1000名学生(其中走读生450名，住宿生550名)中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学星期天晚上学习时间(单位：分钟)的数据，按照以下区间分为八组：①[0,30)，②[30,60)，③[60,90)，④[90，120)，⑤[120,150)，⑥[150,180)，⑦[180,210)，⑧[210,240)，得到频率分布直方图如图．已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．(1)求n的值并补全频率分布直方图；(2)如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：利用时间充分利用时间不充分总计走读生住宿生10总计据此资料，是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？(3)若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第①组、第②组各有1人的概率．参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解(1)设第i组的频率为Pi(i＝1,2，…，8)，由图可知P1＝eq\f(1,1500)×30＝eq\f(2,100)，P2＝eq\f(1,1000)×30＝eq\f(3,100)，∴学习时间少于60分钟的频率为P1＋P2＝eq\f(5,100)，由题意得n×eq\f(5,100)＝5，∴n＝100.又P3＝eq\f(1,375)×30＝eq\f(8,100)，P5＝eq\f(1,100)×30＝eq\f(30,100)，P6＝eq\f(1,120)×30＝eq\f(25,100)，P7＝eq\f(1,200)×30＝eq\f(15,100)，P8＝eq\f(1,600)×30＝eq\f(5,100)，∴P4＝1－(P1＋P2＋P3＋P5＋P6＋P7＋P8)＝eq\f(12,100)，∴第④组的高度为h＝eq\f(12,100)×eq\f(1,30)＝eq\f(12,3000)＝eq\f(1,250)，频率分布直方图如图．(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“住宿生”有55人，“走读生”有45人，利用时间不充分的有100×(P1＋P2＋P3＋P4)＝25(人)，从而2×2列联表如下：利用时间充分利用时间不充分总计走读生301545住宿生451055总计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×30×10－15×452,45×55×75×25)＝eq\f(3752×100,4640625)≈3.030.∵3.030<3.841，∴没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关．(3)由题可知第①组人数为100×P1＝2(人)，第②组人数为100×P2＝3(人)，记第①组的2人为A1，A2，第②组的3人为B1，B2，B3，则“从5人中抽取2人”所构成的基本事件有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3”，共10个基本事件；记“抽取2人中第①组、第②组各有1人”记作事件A，则事件A所包含的基本事件有A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，共6个基本事件，∴P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，即抽出的2人中第①组、第②组各有1人的概率为eq\f(3,5).热点题型2概率与统计的综合以实际问题为背景，利用频率估计概率，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率及其分布列等知识交汇命题，考查考生分析问题及解决问题的能力．eq\o(典例)(2017·江西新余模拟)2016年10月21日，台风“海马”导致江苏、福建、广东3省11市51个县(市、区)189.9万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据(单位：元)分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出如图所示的频率分布直方图．(1)台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如下表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元有关；(2)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记抽取的3户居民中自家经济损失超过4000元的户数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).解(1)由频率分布直方图可得，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有70户，经济损失超过4000元的有30户，补全表格数据如下：则K2＝eq\f(100×60×10－10×202,80×20×70×30)≈4.762.因为4.762>3.841.所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元有关．(2)由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过4000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,10)))，P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))3＝eq\f(343,1000)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))2＝eq\f(441,1000)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))1＝eq\f(189,1000)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))0＝eq\f(27,1000).从而ξ的分布列为ξ0123Peq\f(343,1000)eq\f(441,1000)eq\f(189,1000)eq\f(27,1000)E(ξ)＝np＝3×eq\f(3,10)＝0.9，D(ξ)＝np(1－p)＝3×eq\f(3,10)×eq\f(7,10)＝0.63.热点题型3离散型随机变量的分布列、期望与方差离散型随机变量分布列及均值与方差及其应用是高考中的一个热点．解题时要弄清离散型随机变量的所有取值及每个取值下对应的概率，对概型的确定及转化是解题的关键．eq\o(典例)(2017·河南质监)小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A、B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的帐户，设A、B、C猜中的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且A、B、C是否猜中互不影响．(1)求A恰好获得4元的概率；(2)设A获得的金额为X元，求X的分布列；(3)设B获得的金额为Y元，C获得的金额为Z元，判断A所获得的金额的期望能否超过Y的期望与Z的期望之和．解(1)A恰好获得4元的概率为eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).(2)X的可能取值为0,4,6,12，P(X＝4)＝eq\f(1,9)，P(X＝0)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝6)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(X＝12)＝eq\f(1,3)，所以X的分布列为：X04612Peq\f(2,9)eq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(1,3)(3)Y的可能取值为0,4,6；Z的可能取值为0,4.因为P(Y＝0)＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(5,9)，P(Y＝4)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，P(Y＝6)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(Z＝0)＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,9)，P(Z＝4)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，所以E(Y)＝0×eq\f(5,9)＋4×eq\f(1,9)＋6×eq\f(1,3)＝eq\f(22,9)，E(Z)＝0×eq\f(8,9)＋4×eq\f(1,9)＝eq\f(4,9)，所以E(Y)＋E(Z)＝eq\f(26,9)，又E(X)＝0×eq\f(2,9)＋4×eq\f(1,9)＋6×eq\f(1,3)＋12×eq\f(1,3)＝eq\f(58,9)，由于E(X)>E(Y)＋E(Z)，所以A所获得的金额的期望能超过Y的期望与Z的期望之和．热点题型4样本数字特征与正态分布的综合样本的数字特征与正态分布及概率分布列的综合在高考中时有出现，体现了知识网络的交汇，命题新颖，具有一定的创新性．解决与正态分布有关的问题重在理解μ，σ2的意义及密度曲线的对称性．eq\o(典例)(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得eq\x\to(x)＝eq\f(1,16)eq\i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,)xi－\x\to(x)2)＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,x)\o\al(2,i)－16\x\to(x)2)≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用样本平均数eq\x\to(x)作为μ的估计值eq\o(μ,\s\up16(^))，用样本标准差s作为σ的估计值eq\o(σ,\s\up16(^))，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查．剔除(eq\o(μ,\s\up16(^))－3eq\o(σ,\s\up16(^))，eq\o(μ,\s\up16(^))＋3eq\o(σ,\s\up16(^)))之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592，eq\r(0.008)≈0.09.解(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X～B(16,0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X的数学期望为E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产