2024-2025学年上海某中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省茂名市化州一中高二(上)月考

数学试卷(10月份)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合U=口,2,3,4,5},A={1,2,4},B={1,5},贝。仁川)CB=()

A.OB.{1}C.{5}D.{1,5}

2.已知空间中两个不重合的平面a和平面0,直线/u平面a,则，〃优'是“a〃优’的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.设向量记=(cos0,sin。),元=(3,2),若沅_L元,则tcm20等于()

AUBAc__—D——

A，561212u'5

4.国家射击运动员甲在某次训练中的5次射击成绩(单位：环)为9,6,m,10,8,其中爪为整数，若这5

次射击成绩的第40百分位数为8,则机=()

A.6B.7C.8D.9

5.函数y=(2*+3—2(a>0,a力1)的图象恒过定点4,若点4在直线、+，=一1上，且n>0,贝归?n+

门的最小值为()

A.13B.16C.11+6<2D.28

6.牛顿冷却定律(Newton'slawofcooling)是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体

的初始温度为生℃,环境温度为诙。(：，贝狂分钟后物体的温度火单位：久)满足：8=拆+(的-焉”一".已

知环境温度为20。&一块面包从温度为120久的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为70冤，那么大约再经过

多长时间，温度降为3(rC?(参考数据：伍2=0.7,"371.1,"5=1.6)()

A.33分钟B.28分钟C.23分钟D.18分钟

7.设2,B是一个随机试验中的两个事件，且PQ4)=标P(B)=|,P(X+B)=|,则PQ48)=()

1121

A-3B5C5DW

8.已知函数f⑺=白哧丝匕g(x)=ax+l(aH°),若丫=f(久)和y=g(x)图象存在3个交点(%,乃)，

(%2,72)，(%3,%)，则%+丫2+丫3=()

A.1B.2C.3D.4

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/(%)=2sinxcosx—2sin2x,给出下列四个选项，正确的有()

A.函数/(%)的最小正周期是7T

B.函数f(x)在区间有刑上是减函数

C.函数的图象关于点(-弟。)对称

O

D.函数/(久)的图象可由函数y=dis讥2x的图象向左平移J个单位，再向下平移1个单位得到

10.若三条直线匕：2x—y+1=0,l2：x+y—1=0,Z3：2%+ay+a-2=0可以围成一个三角形，则

实数a的值可以为()

A.-1B.0C.1D.3

11.在正方体48CD—AiBiGDi中，点P满足前=4就+〃西，其中;16[0,1],E[0,1],贝1|()

A.当2=〃时，2]?〃平面AC。]

B.当4=1时，三棱锥P-&BC的体积为定值

C.当2=1时，APB。的面积为定值

D.当2+〃=1时，直线&D与。止所成角的范围为有刍

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.经过4(3,4),B(-l,c)两点的直线/的方向向量为(1,2),则直线Z的方程为.

13.若二次函数/(%)=--2%+in在区间(0,4)上存在零点，则实数ni的取值范围是.

14.若复数z=A(1+sind-也罗)+isin9(S)<8<兀)在复平面内对应的点位于直线y=x上，则2的最大值

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组

[45,55),第二组[55,65),第三组[65,75),第四组[75,85),第五组[85,95],绘制成如图所示的频率分布直

方图.已知第一、二组的频率之和为0.3,第一组和第五组的频率相同.

(1)估计这100名同学体能成绩分数的平均分和第66百分位数；

(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别

为62和40,第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70,据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩

的方差.

16.(本小题15分)

直线I的方程为(m+l)x+y—2m-3=0(mER).

(1)证明直线1过定点；

(2)已知。是坐标原点，若直线I分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于4、B两点，当AdOB的面积最小时，求

A的周长及此时直线I的方程.

17.(本小题15分)

设A4BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且(b+a)(sinz_ABC—sinNBAC)=c(sinZ718C—sinC),

BC,AC边上的两条中线2D,BE相交于点P.

(1)求/BAC；

(2)若力D=C,BE=2,3s乙DPE=<求△ABC的面积.

18.(本小题17分)

如图，在三棱柱ABC—41816中，侧面4B8141，均为正方形，AB=BC=2,AB1BC,。是4B

的中点.

(1)求证：BC，/平面力iDC；

(2)求二面角D-&C-4的余弦值.

19.(本小题17分)

已知函数/'(x)=log2a-x2).

(1)求f(x)的单调增区间(只需写出结果即可);

(2)求不等式/(2Y-1)</(x)的解集；

(3)若方程[/(x)]2一机"(x)+n=0在区间(一1,1)内有3个不等实根，求4"+】-5-2机+；的最小值.

4

参考答案

1.C

2.5

3.2

4.C

5.B

6.C

1.D

8.C

9.AB

10.BD

11.ABD

12.2%—y—2=0

13.(-8,1]

14.72-1

15.解:(1)由鹿忌可知:|io(o,o45+0Q2O+a)=0.7'

解彳导.y=0.005

用牛行，5=0.025

则每组的频率依次为：0.05,0.25,0.45,0.2,0.05,

所以平均数为50X0.05+60x0.25+70X0.45+80X0.2+90x0.05=69.5,

因为0.05+0.25=0.30<0.66,0.05+0.25+0.45=0.75>0.66,

设第66百分位数为x,则久e[65,75),

则0.30+(乂-65)x0.045=0.66,解得:%=73,

故第66百分位数为73；

(2)设第二组、第四组同学成绩的平均数与方差分别为五,五，S「S2，

且两组频率之比为何=也

所以第二组和第四组所有同学成绩的平均数1=5义62广80=70,

则第二组和第四组所有同学成绩的方差为：

S?=|对+(Xi-X)2]+*同+(%2-乂沟

=|[40+(62-70)2]+([70+(80-70)2]

400

二

故估计第二组和第四组所有同学成绩的方差是竽.

16.解：(1)直线/的方程(m+l)x+y-2m—3=0变形为—2)+x+y—3=0,

由得到x=2,y=l,

又％=2,y=l时，(租+1)%+y-2m-3=0恒成立，故直线，恒过定点(2,1)；

(2)由(zu+l)x+y—2m—3=0,

令％=0,得到y=2m+3>0,令y=0,得到％=苦洋>0,

故相>-1,

所以工4隗=2、(2根+3)、鬻=陪，

令Tn+1=t>0,得到S—OB=('：)—4+4t+—>2J4t•工+4=8,

当且仅当4t=：,即t=：时取等号，此时爪=一,

直线I的方程为％+2y-4=0,

又4(4,0),B(0,2),AB=V42+22=2/5,

当A40B的面积最小时，△4。8的周长为6+2，亏，此时直线/的方程为x+2y-4=0.

17.解：(1)因为(b+a)(sinZ71BC—sinZ.BAC)=c(sinZ-ABC—sinC),

由正弦定理得(b+a)(b-a)=c(b-c),

整理可得力2+c2-a2=be,

由余弦定理得cosNBAC=庐=1,

而乙84ce(0,兀)，

所以NBAC=g；

(2)因为8C,2C边上的两条中线4。，BE相交于点P,则点P是三角形的重心,

则小=第=手，BP=竽智

因为N4PB=NDPE,AD=77,BE=2,cos乙DPE==,

14

所以在△4BP中，由余弦定理0?=AB2=PA2+PB2-2PA-PBcos乙APB=(早产+-2x^x^x

<7

IP

所以c=2,又BE=2,ABAC-p则&E=2,

所以b=2AE=4,

1

42

-XXXn7T-

所以△ZBC的面积为5=2si3=2v3.

18.解:(1)证明:如图,连接AQn&C=E,连接DE,

在三棱柱ABC—4/1G中，侧面4CC14是平行四边形，所以E是4G的中点,

又D是4B的中点，所以DE//BQ,又DEu平面BC】C平面

所以BG〃平面&DC；

(2)因为侧面力BBMi，BCC/i均为正方形，所以B8114B,BBr1BC.

又AB,BCu平面ABC,ABCBC=B,

所以BBi1平面48C,

故以B为坐标原点，以｛元，瓦?，西｝为一组正交基底建立空间直角坐标系，

因为力B=BC=2,侧面4BB141，BCC/i均为正方形，所以&A=2,4C=

又C(2,0,0),£>(0,1,0),41(0,2,2),

所以而=(一2,1,0),砸=(0,-1,-2).

设平面&DC的法向量为元=(久,y,z),

(n-CD=-2x+v=0

则L一.，取元=(12—1),

[n-ArD=-y-2z=0

又前=（2,-2,0）,理=（0,0,2），

设平面/遇。的法向量万=（%'，〃），

（m-AC=2xf—2yr=0口「一/一八、

则ntl——>,y，取记=（1,1,0）.

设二面角4-DC—Z的大小为仇由图知6为锐角，

所以cose=Icos〈记，元）|=嘉=7^77=T-

所以二面角。-&C一A的余弦值为苧.

19.解：（1）由/（x）=1。。2（2-*2）,得2-/>（）,解得xe（-V2,Y1）,

又•.•）/=1082%在（0,+8）单调递增，y=2-/在（一，2,0）单调递增，在（0,42）单调递减,

/（X）=log2（2一万2）的单调增区间为（_/%0）；