2024-2025学年天津市某中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市南开中学高三（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4},则4U(QB)=()

A.{1,3,5}B.{1,3}C.{1,2,4}D.{1,2,4,5)

2.已知p：2X—8>0,q：(x—3)(x—4)<0,则()

A.p是q的充分不必要条件B.p是q的充要条件

C.q是p的必要不充分条件D.q是p的充分不必要条件

3.已知向量2=(3,—4),3=(—2,爪),"=(2,1),若(五+石)_12，则爪=()

A.-2B.2C.-6D.6

4.若a=1.010,5,b=l,Ol06,c=0.6°-5,则a,b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

5.记Sn为各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，S3=^a3=|-则&5=()

11

A-4Bo-C.1D.2

TTTT

6.已知函数/'(X)=2sin{a)x+%)(3>0)的最小正周期为TT,则函数f(x)在区间［0,万］上的最大值与最小值的

和等于（）

A.0B.2-避C.1D.2

7.设小，n为两条不同的直线，a,。为两个不同的平面，给出下列命题：

①若m〃a,m//n,贝切〃a；

②若zn1a,m］则a10；

③若a1p,aCt0=n,mln,则zn10；

④若m〃n,a〃S，则ni与a所成的角和n与£所成的角相等.

其中正确命题的序号是（）

A.①②B.①④C.②③D.②④

8.双曲线胃—A=1的一条渐近线方程为y=-4居心,尸2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的

点到尸2的距离最小值为3,则双曲线方程为（）

A.f-y2=1B.%2-^=1C.f-^=1D.f-^=1

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9.如图，在直三棱柱ABC-ABiCi中，AB=y/3AA1=2^3,△ABC是等边三角形，点。为该三棱柱外接

球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥，BL44GC体

积之比为是()

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.已知复数z满足(1+i)z=2i(i为虚数单位)，则|z|=

11.(依-1)7的展开式中含炉项的系数为

12.将圆心角为蒙，半径为8的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为.

13.已知a>0,过点4(a,a)恰好只有一条直线与圆E：久2+-人+2y=0相切，贝"a=,该直线

的方程为.

14.袋子中有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个，依次从中不放回的取球，则第一次取到白球且第

二次取到红球的概率是；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是

15.如图，三角形4BC中48=3,AC=6,ABAC=60°,。为8c中

点，E为中线AD的中点.则中线4D的长为,读与而所成角。的余

弦值为.

三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题14分)

如图，正三棱柱48C-4/1。的底面边长为2,441=".

(1)求证：AR1B1C；

(2)若点M在线段4#上，且求三棱锥治―&CM的体积.

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17.(本小题15分)

在非等腰△ABC中，a,b,c分别是三个内角4B,C的对边，且a=3,c=4,C=2A.

(1)求cos4的值;

(2)求△ABC的周长;

(3)求cos(24+?)的值.

18.(本小题15分)

三棱台力BC-AiBiCi中，若4遇1平面ABC,AB1AC,AB=AC=A4i=2,=1,M,N分另ij是

BC,B2中点.

(1)求证：&N〃平面JAM；

(2)求平面CiMZ与平面4CCM1所成夹角的余弦值;

(3)求点C到平面C1AL4的距离.

19.(本小题15分)

已知椭圆C：上+4=l(a>b>0)的离心率为a且经过点(眄名).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设尸为C的左焦点，过点M(-4,0)的直线I与C交于4B两点，且丽・丽=0,求直线，的斜率.

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20.(本小题16分)

已知函数/'(x)=axlnx-x--.

(1)若a=1,

。)求函数y=/(%)在(1/(1))上的切线方程；

俗)求函数f(x)的单调区间；

(2)若x21时，/(x)>-2,求a的取值范围.

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参考答案

l.A

2.D

3.5

4.D

5.D

6.C

7.0

8.B

9.A

10.72

12-

,8

13.1x—2y+1=0

14二工

,102

is3a_A

-7

16.(1)证明：取AB中点D,连接CD,B1D,则CD1AB,

因为平面ABB1&1平面力BC,平面ABBMin平面ABC=AB,

所以CDJ.面ABBMi，因为u面ABBMi，

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所以CD14B,

因为tanNBAiBi=当，tanzBBiD=+=*，

所以/84道1=4B8I。，

所以4/1BD又BiDnCD=D,CD14止,

所以4/1平面BiCD,又81cu平面BiCD,

所以IBC.

(2)解:由题可得:SAA1BC=-|sAyllMC,

所以41cM=gc-AiBiB，又点C到平面力iB]B的距禺为十\

三角形力//的面积为ax2X溜=",

所以了C-AiBiB=bXy/2XA/3=孚，

所以UBL&CM=|X*=¥，

故三棱锥B1-4CM的体积为竽.

17.1?：(1)在△ABC中，a=3,c=4,C=2A,

由正弦定理岛=叁/得福=UE=焉=2s仇解得CM=1

o7

(2)在△ABC中，由余弦定理得标=按+c2-2bccos4即9=廿+16-2力x4X解得力=3或b=§,

・•・△ABC非等腰，.•.b=%,△ABC的周长为3+4+(=半

⑶中，•・•cosA=-|,・,.sinA=立，・•・sin2A=2sinAcosA=cos2A=2cos2A—l=

3399

•••cos(24+?)=cos2Aco^—sin2AsiTV^=—^x史_1^x④=一邪+

16，66929218

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18.解：(1)证明:连接MN,CiA

由M,N分别是BC,B力的中点，根据中位线性质，MN//AC,且MN=缶=L

由棱台性质，ArCJ/AC,于是MN〃Aig,

由MN=&Ci=l,可知四边形MM41cl是平行四边形，贝U&N〃MCi，

又AiNC平面MCiU平面QM4于是&N〃平面CiMA.

(2)过M作ME1AC,垂足为E,过E作EF1ACr,垂足为凡连接MF,CrE.

由MEu面ABC,AiA1面ABC,故/〔IME,

又ME1AC,ACCl44i=4,AC,441<=平面4"遇1，贝ijME1平面人砥公.

由ACiU平面ACCiAi，故ME1AG，

又EF1AClrMEn£F=E,ME,EFu平面MEF,于是4的1平面MEF,

由MFu平面MEF,故/Ci_LMF.于是平面C\M4与平面4CCM1所成角即NMFE.

又ME=竽=1,COSNC4CI==,贝！JsinNCaCi='，

故EF=1XsinzTZCi=奈，在RtZXMEF中，/.MEF=90°,则MF=J1+|=

于是COSNMFE=黑"，

MF3

所以平面CiM力与平面accMi所成夹角的余弦值为|；

(3)方法一：(几何法)

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过Ci作CiP1AC,垂足为P,作CiQ1AM,垂足为Q,连接PQ,PM,过P作PRICiQ,垂足为R.

由题干数据可得，CrA=GC=75,CiM="止2+PM?=徒,

根据勾股定理，CiQ=[_（¥）2=孚

由CiP_L平面4MC,AMu平面力MC,则C】P1AM,

又CiQ1AM,C1QCIC1P=C1；CiQ,CrPu平面CiPQ,于是AM_L平面t\PQ.

又PRu平面CiPQ,贝l|PR1AM,

又PRIC1Q,CiQHAM=Q,CrQ,AMu平面CiM4故PRJ.平面CiMA.

在Rt中，PR=券詈=妻=|,

2

又CA=2PA,故点C到平面C1M4的距离是P到平面C1AL4的距离的两倍，

即点C到平面CiM4的距离是小

设点C到平面C1M4的距离为h.

^Ct-AMC=XC^PXS^AMC=(X2XgX(避)2=p

uC-C^MA=[XhX4MC1=(X九X2Xy/2X=与.

由k-4MC=UC-CIM4Q?=|，即八=号，

所以点C到平面C1M2的距离是*

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19.解：（1）因为椭圆C的离心率为:且经过点（避，君,

—+—=1

a24b2

c_1

所以

a~2oo

a2=b2+C2

解得a=2,b=避，

则椭圆c的方程为1+4=1；

43

(2)设4(*1,%),B(%2,y2)，

因为尸(一1,0),

若丽.丽=0,

此时01+1,71)-(%2+1)2)=0,

即汽1%2++%2+7172+1=0.

设直线/的方程为y=k(x+4),

2

可得(%2+4)=fc%i%2+4忆2(%1+%2)+16k2,

2

整理得(1+/C)X1%2+(轨2+1)(%1+X2)+16k2+1=0,

,222

联立｛4/+^/2~=^12消去y并整理得(3+4fc)x+32fcx+64k2-12=0,

止匕时4=(32fc2)2-4(3+4fc2)(64fc2-12)>0,

解得

q

由韦达定理得久1+犯=瑞，比62=辩至，

因为(1+fc2)%i%2+(4忆2+1)(%1+%2)+16k2+1=0,

所以(64k2—12)(1+fc2)-32fc2(4fc2+1)+(16/c2+1)(3+4fc2)=0,

解得k=±乎，

此时满足

故直线I的斜率为土中.

4

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20.解：(1)如果a=l,那么函数/(%)=%伍无一|久-//(尤)的定义域为(0,+8).

(i)/(1)=—|4=一2,r(x)=lnx+1-1+^那么:(1)=1-|+|=0-

所以切线为y—(―2)=0-Q—1),所以y=—2.

Q1

(ii)设［0)=g(久)=Inx+1-5+诟，

那么可得g'Q)=黑=牛=(7『)，

所以当X£(1,+8)时，导函数"(久)>0,函数g(x)单