2024-2025学年苏科版八年级数学上学期期中解答压轴题 （四大模块十一大题型）

特训06期中解答压轴题（四大模块，十一大题型）

目录：

模块1：全等三角形（题型1：截长补短法）

模块1：全等三角形（题型2：倍长中线法）

模块1：全等三角形（题型3：情景探究题）

模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型4：传统几何解答证明）

模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型5：截长补短法）

模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型6：定值问题）

模块3：全等三角形、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线综合（题型7：角平分线中

作垂线）

模块3：全等三角形、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线综合（题型8：截长补短法）

模块4：勾股定理在前两章的应用（题型9：折叠问题）

模块4：勾股定理在前两章的应用（题型10：情景探究题）

模块4：勾股定理在前两章的应用（题型11：三点共线的最值问题）

模块1：全等三角形（题型1：截长补短法）

1.（24-25八年级上•江苏无锡•阶段练习）已知：VABC中，NAC3=9O。，AC=3C,点O为直线2C上一

动点，连接AD,在直线AC右侧作且=

备用图

（1）如图1,当点。在线段上时，过点E作于"，直接写出3D,AH,HE的关系：；

（2）如图2,连接DE,当点。在线段2c的延长线上时，连接BE交C4的延长线于点“，求证：BM=EM；

（3）当点。在射线CB上时，连接BE交直线AC于若3AC=7。1,则&.：$△曲的值为

【答案】（l）HE=B£）+4/

（2）见解析

%3或;3

第1页共64页

【分析】(1)由结合已知得NW=ZADC结合题意证，应IFqAZ)C(AAS),利用全等的性质和线段的和差

关系进行求解即可；

(2)如图2,过点E作印，A",由垂直得结合已知证.⑷VE当QO(AAS),得到EN=AC,BC=NE,再

证，BCM^ENM(AAS)即可得到结果；

7

(3)分两点情况，一是点。在CB的延长线上，设AC=7a,则。0=3a,由3AC=7CM得AC=§CM,

S3

推出AM=10a,CD=13o,BD=6a,可求得《磔=不二是点D在线段BC上，^CM=GM=n,贝U

3AEM3

74?S3

BD=CG=2n,推出AM=；7cM-CM，得到S.=〃」AC,SA£M=f«.AC,所以金纥=3，即可.

3332

【解析】(1)解：AE±AD,EF±AC,

ZAFE=NEAD=ZACB=90。，

.•.ZDAC+ZADC=90°,ZDAC+ZEAH=90°,

:.ZEAH=ZADC,

又AE=AD,ZAFE=ZACD=90°f

EAHWAZ)C(AAS),

:.EH=AC,AH=CD,

AC=BC,

：.AC—AH=BC—CD,

：.BD=CH,

,:AC=AH+CH

:.EH=BD+AH；

(2)证明：如图2,过点E作石

AE±AD,ENLAM,

:.ZANE=ZEAD=ZACB=9(T,

.\ZDAC-^ZADC=90°,ZDAC+ZEAN=90°,

..ZEAN=ZADCf

第2页共64页

又AE=AD,ZANE=ZACD=90°,

:,,ANE^DCA(AAS),

:.EN=ACf

BC=AC,

BC=NE,

又ZBMC=AEMN,"CM=ZENM=90。，

3cMgENM(AAS),

:.BM=EM；

(3)如图，当点。在线段CB的延长线上时，连接8E交直线AC于过点E作ENLAC,交AC的延长

线于N,

设AC=7a,则CM=3a,BC=AC=la,

AELAD,ENVAC,

..ZANE=ZEAD=ZACB=90°,

.\ZDAC+ZADC=90°,ZDAC-^-ZEAN=90°,

:.AEAN=ZADC,

又AE=AD,ZANE=ZACD=90°,

JANE"Z)CA(AAS),

.\EN=AC=BC=7afAN=CD,

又NBMC=NEMN,ZBCM=ZENM=90°,

/.BCM^ENM(AAS),

:.CM=NM=3a,

AM=AC+CM=7a+3a=10a,

:.CD=AN=AC+CM+MN=\3a,

BD=CD—BC=13a—7a=6a,

第3页共64页

Q-BD-ACA、q

.SMO_26a,la_3

SAEMLAM.EN10".7。5

2

如图4,点。在线段5C上，过点石作EG,AC,

同理可得：EG=AC=BC,CM=MG,

设CM=GM=n,则8D=CG=2〃，

3AC=1CM,

7

AC=-CM,

3

744

AM=-CM-CM=-CM=-n,

333

11i14?

••SAnn=—DB-AC=—x2〃-AC=n-AC,S=—AM•EG=—x—zz-AC=—n-AC,

AL)D22'AF2M233，

.□ABD_X

°VAEM42，

综上所述，产=5或9，

dAEM25

33

故答案为：S或

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式，线段的和差关系，难度较大，属于压轴

题，解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算.

2.(23-24八年级上.江苏南京.阶段练习)如图1,在四边形ABCD中，

AB=AD,NBA。=120。,N3=NADC=90。，E、尸分别是BC、CD上的点，且Z£XF=60。，试探究图中线段

BE、EF、ED之间的数量关系.

(1)小亮同学认为：如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明,再证明

^AEF^AGF,可得出结论是什么？并给出理由.

第4页共64页

(2)如图2,在四边形MCD中，AB=AD,+180°,E,尸分别是BC、8上的点，ZEAF=^ZBAD,

上述结论是否仍然成立？说明理由.

(3)如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(。处)北偏西30。的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。

的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前

进，舰艇乙沿北偏东50。的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别

到达处，且两舰艇之间的夹角(/MON)为70。，试求此时两舰艇之间的距离.

(4)如图4,已知在四边形A8CD中，ZABC+ZADC=1SO°,AB=AD,若点E在CB的延长线上，点尸在CO

的延长线上，仍然满足1中的结论，请直接写出与的数量关系并加以说明.

【答案】Q)EF=BE+FD,理由见解析

(2)仍成立，理由见解析

(3)210海里

(4)ZEAF=180°-1ZDAB,理由见解析

【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决

问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.解题时注意：同角

的补角相等.

(1)延长ED到G,使DG=BE,连接AG,先证明丝△ADG,再证明乌AGF,则可得到结

论；

(2)延长ED到G,使DG=BE,连接AG,证明△ADG,再证明..AEFgAGF,则结论可求；

(3)连接所，延长AE、8尸交于点C,利用已知条件得到：四边形Q4BC中：OA=OB,ZOAC+ZOBC=180°

且NEO尸=符合(2)具备的条件，则=

(4)在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,先判定一ADG之一/WE,再判定“AEF竺AGF,

得出NE4E=/E4G,M^ZE4E+ZFAG+ZGAE=360°,推导得到2NE4E+N£MB=360。，即可得出结论.

【解析】(1)解：如图1,延长ED到点G,使DG=BE,连接AG,

BE

图I

第5页共64页

在/ABE和ZkADG中,

AB=AD

</8=/A0G=9O。，

BE=DG

:.ABE^.ADG(SAS),

.\ZBAE=ZDAG,AE=AG,

ZBAE+ZEAF-^-ZFAD=ZBAD=120°,

：.ZDAG+ZEAF+ZFAD=120°f即ZE4F+ZE4G=120。，

ZE4F=60°,

ZE4G=ZE4F=60。，

在△AEF和eAG尸中，

AE=AG

<NEAF=ZFAG,

AF=AF

.,._AEF乌AG厂(SAS),

...EF=FG,

GF=GD+DF=DF+BE,

:.EF=BE+DF^

(2)解：仍成立，理由如下:

如图2,延长ED到点G,使0G=BE,连接AG,

ZB+ZAT>C=180°,ZADC+ZAT>G=180°,

:./B=ZADG,

在，AB石和ZXADG中,

AB=AD

<ZB=ZADG=90°,

BE=DG

ABE^ADG(SAS),

第6页共64页

:.AE=AG,/BAE=NDAG,

ZBAD=ZBAE+ZEAD,ZEAG=ZEAD+ZDAG,

.\ZBAD=ZEAG.

ZEAF=-ZBAD,

2

:.ZEAF=-ZEAG,

2

.-.ZEAF=ZGAF.

在△AEF和AAG/中，

AE=AG

<NEAF=ZGAF,

AF=AF

.•.^AEF^AGF(SAS),

EF=FG,

GF=GD+DF=DF+BE,

:.EF=BE+DF-,

(3)解：连接MN,延长AM、BN交于点C,如图3,

ZAOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,ZMON=JO0,

图3

ZMON=-ZAOB,

2

OA=OB,ZOAC+Z.OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,

在四边形。4BC中：OA=OB,/。4。+/05。=180。且//0双=34402,

四边形Q4BC符合(2)中的条件，

.1结论MN=+3N成立，

BPMN=AM+BN=1.5x60+1.5x80=2W(海里)，

答：此时两舰艇之间的距离是210海里.

(4)解：结论：Z£AF=180°--ZPAB.

2

理由：如图4,在0c延长线上取一点G,使得DG=3E,连接AG,

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ZABC+ZA£)C=180°,ZABC+ZABE=180°,

:.ZADC=ZABE,即/ABE=/ADG

在,钻石和^相^中,

AB=AD

</ABE=ZADG,

BE=DG

ABE会ADG(SAS),

:.AG=AE,ZDAG=ZBAE,

:点E在CB的延长线上，点尸在CO的延长线上，仍然满足(1)中的结论,

即跖=3E+D尸，

EF=DG+DF=GF

在△AEF和AAGF中，

AE=AG

<AF=AF,

EF=GF

:.AEF£AGF(SSS),

:.ZFAE=ZFAG,

ZFAE+ZFAG+ZGAE=360°,

2ZFAE+(ZG4B+ZBAE)=360°,

2ZFAE+(ZGAB+ZDAG)=360°,

即2ZFAE+ZDAB=360°,

ZEAF=180°--ZDAB.

2

模块1：全等三角形(题型2：倍长中线法)

3.(23-24八年级上•江苏南通•期中)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,VABC中，若

AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如

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图1所示，延长A。到点E,使。E=AD，连接班.请根据小明的思路继续思考:

(1)由已知和作图能证得VADCZVEDB,得至U3E=AC,在,ABE中求得2AD的取值范围，从而求得的

取值范围是.

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系；

⑵如图2,AD是VASC的中线，AB=AE,AC=AF,ZBAE+ZCAF=180°,试判断线段AD与防的数量

关系，并加以证明；

(3)如图3,在VA3C中，是BC的三等分点.求证：AB+AC>AD+AE.

【答案】⑴1<AD<5

(2)EF=2AD,证明见解析

(3)见解析

【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键.

(1)延长AD到点E,使连接BE,根据题意证明MDBmADC,可知3M=AC,在二ABM中,

^^AB-BM<AM<AB+BM,即可；

(2)延长AD到使得=连接BM，由(1)的结论以及已知条件证明尸，进而可

得AM=24),由4欣=所，即可求得AD与的数量关系；

(3),取DE中点连接AH并延长至。点，使得AH=QH,连接QE和QC,通过“倍长中线”思想全

等证明，进而得到AB=CQ,A。=E。,然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论.

【解析】(1)解：如图1所示，延长AD到点E,^DE=AD,连接BE.

是“ABC的中线，

BD=CD,

在,"08和ADC中，

第9页共64页

BD=CD

<ZBDM=ZCDA,

DM=AD

：.MDB^tAPC(SAS),

JBM=AC=4,

在.ABN中，AB-BM<AM<AB+BM,

A6-4<AM<6+4,即2VAM<10,

：.1<AD<5,

故答案为：Iv4)v5.

(2)EF=2AD,理由：

如图2,延长4D到M，使得DM=">,连接BM，

由(1)知，BDM=^.CDA(SAS^,

BM=AC,ZM=ZMAC

AC=AF,

:.BM=AF,

VZMBA+ZM+ABAM=,即ZMBA+NBAC=180。,

又:ZBAE+ZCAF=1SO°,

AZE4F+ZBAC=180°,

・•・ZEAF=ZMBA,

XVAB=£A,

.・.ABM^E4F(SAS),

：.AM=EF,

,/AD=DM,

第10页共64页

：.AM=2AD,

•；AM=EF,

・•・EF=2AD.

(3)证明：如图所示，取DE中点H,连接AH并延长至。点，使得=连接。£和。。,

•IH为DE中点、,D、£为3c三等分点，

DH=EH,BD=DE=CE,

：.DH=CH,

在一ABH和QC”中，

BH=CH

<ZBHA=ZCHQ,

AH=OH

：.-ABH^QCH（SAS）,

同理可得：ADHmQEH,

；.AB=CQ,AD=EQ,

此时，延长A石交C。于K点，

・.・AC+CQ=AC+CK+QK,AC+CK>AK,

：.AC+CQ>AK+QK,

・.・AK+QK=AE+EK+QK>QE,EK+QK>QE,

AK+QK>AE+QE,

：.AC+CQ>AK+QK>AE+QE,

,.・AB=CQ,AD=EQ,

：.AB+AC>AD+AE.

模块L全等三角形（题型3：情景探究题）

4.（23-24八年级上•江苏盐城•阶段练习）问题提出：.

第11页共64页

(1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图VABC中，AC=8,BC=9,AB=10,

产为AC上一点，当AP=_时，一ABP与CBP是偏等积三角形；

问题探究：

(2)如图，△ABD与，ACD是偏等积三角形，AB=2,AC=6,且线段AD的长度为正整数，过点C作

CE〃互交AD的延长线于点E,则AD的长度为二

问题解决：

(3)如图，四边形ABED是一片绿色花园，CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=90°

(0°<ZBC£<90°).ACD与是偏等积三角形吗？请说明理由.

图1图2图3

【答案】(1)4；(2)3；(3)是，理由见解析

【分析】(1)连接旅，由一ABP与CBP在AP、CP边上的高相等，可知当点尸为AC中点时，一与CBP

面积相等，但此时“尸与,CBP不全等，所以，A3P与-CBP是偏等积三角形，则AP=CP=4,于是得

到答案；

(2)先由△W£>与ACD是偏等积三角形，且△ABD与.ACD在3。、C。边上的高相等，得BD=CD,

再证明丝△ABD,得ED=A£>,EC=AB=2,由三角形的三边关系得6—2<2A£><6+2,贝！J

2<AD<4,而是正整数，则AD=3；

(3)先证明NACDANBCE,再由C4=CB,CD=CE,说明ACD与*BCE不全等，作即，CE于点尸，

AGLDC交。C的延长线于点G,可证明ACG^..BCF,^AG=BF,即可证明.ACD与.3CE面积相等,

从而证明ACD与3CE是偏等积三角形.

【解析】解：(1)如图1,连接3P,

图1

第12页共64页

ABP与CBP在AP、CP边上的高相等,

.•.当AP=CP=gAC=gx8=4,_ABP与CBP面积相等，

BC=9,AB=10,

s.BC^AB,

AP^CP,BP=BP,BC片AB,

..ASP与一CBP不全等，

,此时—ABP与二CBP是偏等积三角形，

故答案为：4.

(2)如图2,ABD与ACD是偏等积三角形，且△ABD与ACD在5。、CD边上的高相等,

BD=CD,

QCE〃AB,

:.ZE=ZBADf

在和△45。中，

ZE=ZBAD

<ZEDC=ZADB,

CD=BD

.•.△ECD^AABD(AAS),

；.ED=AD,EC=AB=2,

AC-EC<AE<AC+EC,且AC=6,AE=2AD,

6—2V224Z)<6+2,

:.2<AD<4,

V线段AD的长度为正整数，

AD=3,

故答案为：3.

第13页共64页

(3)ACD与BCE是偏等积三角形,

理由：如图3,

图3

QZACB=NDCE=90。,

.\ZACD+ZBCE=180°,

0°<ZBCE<90°,

:.ZACD>90°,

..ZACD^ZBCE,

CA=CB,CD=CE,

lACD与MCE不全等，

作5方，CE于点尸，47，。。交。。的延长线于点6,则NG=NB方。=90。，

ZECG=180°-ZDCE=90°,

/.ZACG=ZBCF=90°-Z.BCG,

在_ACG和V5CF中，

ZG=ZBFC

<ZACG=ZBCF,

CA=CB

AACG^ABCF(AAS),

:.AG=BF,

：.-CDAG=-CEBF,

22

ACD与，BCE面积相等，

ACD与，BCE是偏等积三角形.

【点睛】此题重点考查新定义问题的求解、三角形的三边关系、同角的余角相等、全等三角形的判定与性

质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

模块2：全等三角形、等腰三角形综合(题型4：传统几何解答证明)

第14页共64页

5.(24-25八年级上•江苏苏州•阶段练习)如图，在RtZXMC中，ZACB=90°,AC=BC,。为A3边的

中点，点、E、F分别在射线C4、BC±,且NED尸=90。，连接EF.

(1)如图1,当点E、尸分别在边C4和BC上时，连接CD,

①判断跖的形状，并说明理由；

②写出&EFC、S^EFD和SABC的关系，并说明理由；

(2)探究：如图2,当点区厂分别在边C4、3C的延长线上时，写出SVEFC、5谶阳和SABC的关系，并说明理

由；

(3)应用：若AC=6,AE=2,利用上面的结论，直接写出一的面积：.

【答案】(1)①」)EF是等腰直角三角形，理由见解析；^=8EFD+SEFC,理由见解析

(2)ABC+EFC=EFD，理由见解析

(3)5或17

【分析】本题主要等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，根据图形构造

全等三角形成为解题的关键.

(1)①如图：连接CD,再证明△AED丝可得3E=O/即可判断_DEF的形状；

②根据八皿四△CFD,再结合图形即可解答；

(2)如图：连接CD,即同(1)可证明△血(丝△CFD,根据△AED注△”口的性质结合图形即可解答;

(3)根据(1),(2)中的结论，代入相关数据求解即可.

【解析】(1)解：①/)EF是等腰直角三角形，理由如下：

如图，连接C。，

第15页共64页

c

F

'

ADB

在RtZkABC中，AC=BC,。为A3边的中点，

CD±AB,ZA=ZB=45°f

・・・NA=NACD=45。，

・•・△ADC是等腰直角三角形，

:.AD=CD,

：.ZDCF=ZA=45°,

・.•NEDF=90。,

・•・ZEDC+ZCDF=90°,

ZEDC+ZADE=90°f

JZADE=ZCDE,

：._AED^_CFD(ASA).,

:.DE=DF,

VZEDF=90°,

・•..QEF是等腰直角三角形.

②5sABC=SEFD+SEFC，理由如下：

•；△AED%MFD,

•,S/\AED=S&CFD，

根据图中所示，S2C=S2E+SCDE=SCDF+S.CDE=SEFD+SEFC，

,/。为AB边的中点，

,•SADC=52ABC，

•J_C_Cc

ABC

.,2u_Q.EFDT。.EFC.

(2)解：］SABC+SEFC=SEFD，理由如下：

如图，连接CD,

第16页共64页

F

C

B

在RtZkABC中，AC=BCf。为A5边的中点，

.*.CD±AB,ZCAD=ZB=45°,

JZCAD=ZACD=45°,

・・・△AOC是等腰直角三角形，

:.AD=CD,

：.ZACD=ZBCD=45°,

：.l80°-ZACD=180°-/BCD,ZEAD=ZFDC,

•：NEDF=90。,

：.ZADF+ZEDA=90°,

*：ZADF-^ZFDC=90°,

：.ZEDA=ZFDCf

：.AED"CFD（ASA）.,

,Q-Q

..一°ACFD，

根据图中所示可得：SACD+sEFC=SEFD，

•「O为AB边的中点，

,,SADC=5SABC，

•J_VaQ-v

ABC

,,2EFC~0EFD•

（3）解：①如（1）中结论，

VAC=6,AE=2,

11

•'-5=-AC92=-x692=18,

■4Rcr22

S£FC=|CFCE=|AE（AC-AE）=^X2X（6-2）=4,

•,J_v-vaq

•2ABC-0EFD丁。.EFC，

第17页共64页

♦,SEFD=3S.ABC—S.EFC=5X18—4=5；

②如（2）中结论,

：AC=6,AE=2,

1,1,

S=-AC2=-x62=18,

ABRCr22

S£FC=|CFCE=|AE（AC+AE）=|X2X（6+2）=8,

,,JLV+V=V

,2ASC丁u,EFC_2,EFD，

•,S.EFD=]5,板+S.EFC=QX18+8=17

故答案为：5或17.

模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型5：截长补短法）

6.（23-24八年级上•江苏南通・期末）如图1,在VABC中，AB=AC,BC=6,ABAC=90°,点、D为YABC

外一点，且在AC右侧，BC上方，ZBDC=9Q°,连接AD,作交BD于点、F,

(1)图1中与NACD相等的角是；

(2)如图2,延长AD与射线BC相交于点E,

①求NCDE的度数；

②过点/作A。的平行线，交3C于点G,求GE的长.

【答案】(l)NABF;

⑵①NCDE=45°；®GE=6.

【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性

质与判定，等腰直角三角形的性质.

(1)先证明NB4F=NC4D,在48。和CDQ中，ZBAQ=ZCDQ=90°,ZAQB=ZDQC,即可解答;

(2)①由(1)证明△门是等腰直角三角形，即可解答；

②过点B作交AF的延长线于N,连接GN,过点8作加'交引V于点M,证得

&W空C4E(ASA),进而证得一3收是等腰直角三角形，NBM会&GBF(ASA),即可解答.

第18页共64页

【解析】（1）解：•・,AFLAD,ABAC=90°,

：.ZBAC-ZFAC=ZFAD-ZFAC,

：.ZBAF=ZCAD,

设AC、BD交于点Q,

在.ABQ和CDQ中，ZBAQ=ZCDQ=90°fZAQB=ZDQCf

:.ZABF=ZACD,

故答案为：ZABF；

（2）①由（1）得人钻/AACD,

:.AF=AD,

・•・是等腰直角三角形，

・•・NAZ）产=45。，

•・•NBDC=90。,

・•・ZCDE=180°-ZADF-ZBDC=45°；

②如图，过点8作BN上班交川的延长线于N,连接GN,过点3作曲方交尸N于点M,

VABAC=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

：.ZACE=ZABN=135°,

ZBAN+ZNAC=ZNAC+NCAE=90°,

ZBAN=CAE9

在么应W和1C4E中，

第19页共64页

ZABN=ZACE

<AB=AC

ZBAN=/CAE

：.BAN-C4E(ASA),

BN=CE,

•・・FG//AD,

：.ZNFG=ZFAD=90°,

,/是等腰直角三角形，

・•・ZAFD=NBFM=45。,

・・・瓦加f是等腰直角三角形，

：.ZMBF=90°,/BMF=/BFM=45。,

ZNBM+ZMBG=ZMBG+ZGBF=90°,

:.ZNBM=/GBF,

在JVBM和一G®尸中，

NNBM=ZGBF

<BM=BF,

NBMN=ZBFG=135°

・•.GBF(ASA),

・•・BN=BG=CE,

：.GE=GC+CE=GC+BG=BC=6.

7.(24-25八年级上•江苏南京•阶段练习)已知VABC为等腰三角形，NABC=90。，点尸在线段5C上(不

与B、。重合)，以AP为腰作等腰直角△PAQ,如图1,过。作。石，AB于区

(1)求证：也A4QE；

(2)连接C。交AB于M,探究线段PC与线段浏/之间存在什么数量关系？并说明理由;

第20页共64页

(3)如图2.过点。作。A。交AB的延长线于点E过点尸作。尸，AP交AC于点D连接。尸.当点尸

在线段BC上运动时(不与2、C重合).式子吟”的值会变化吗？若不变，求出该值：若变化，请说

明理由.

【答案】(1)见详解

⑵PC=2BM,理由见解答过程

⑶式子QF~^P的值不会变化，QF~^P=1

DFDF

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识.

(1)根据题意得到AP=AQ,ZABP=ZQEA=90°,ZQAE+ZBAP=ZBAP+ZAPB=90°,进而得到

NQAE=ZAPB,即可证明△PAB会AAQE；

(2)根据经ZXAQE得到.=尸3,AB=QE,进而证明-QEM-CBM,得至=即可证明

AE+EM+BM=PC+PB=PC+AE,从而证明尸C=2BM；

(3)作HA_LAC交Q尸于点H,先证明aAQ-APD,得到A//=AD,QH=PD,再证明1MHp空_AD尸，

后门口QF-QHHF,

得至1]5=。尸，即可得到上------=-_—=—=1.

DFHFHF

【解析】(1)证明：：△ACS为等腰三角形，NABC=90。，点P在线段BC上(不与B,C重合)，以U

为腰长作等腰直角△弘。，2石，43于£.

:.AP=AQ,ZABP=ZQEA=90°,NQAE+ZBAP=ZBAP+ZAPB=90°,

NQAE=ZAPB,

在.和-AQE中，

ZABP=ZQEA

<ZAPB=NQAE,

PA=AQ

：.PAB沿AQE(AAS)；

(2)解：PC=2BM；理由如下:

,//\PAB^/\AQE,

:.AE=PB,AB=QE,

"?AB=CB,

:.QE=CB.

在△QEM和一C3”中，

第21页共64页

ZQME=ZCMB

</QEM=NCBM,

QE=CB

QEM^CBM,

：.ME=MB,

9：AB=AE+EM+BM,BC=PC+PB,

:.AE+EM+BM=PC+PB=PC+AE,

PC=2BM；

gfPP

（3）解：式子Q/P的值不会变化,f~=l,

DFDF

理由如下：

如图所示：作交。产于点

/.ZQAH+ZHAP=ZHAP+ZPAD=90°,ZAQH=ZAPD=90°,

ZQAH=ZPAD,

・・・△PAQ为等腰直角三角形，

/.AQ=AP,

在4^。“和4APD中，

ZAQH=ZAPD

<AQ=AP,

ZQAH=NPAD

/.AQH^APD,

.\AH=AD,QH=PD,

・・・VABC为等腰直角三角形，ZABC=90°,

:.ZBAC=ZBCA=45°f

*：HALAC,

第22页共64页

ZHAF=ZDAF=45°,

在△AHF和△ADf'中,

AH=AD

ZHAF=ZDAF,

AF=AF

dAHF冬ADF,

:.HF=DF,

,QF-DPQFQHHF_1

-DF-HF~HF~'

模块2：全等三角形、等腰三角形综合(题型6：定值问题)

8.(23-24八年级上•江苏泰州•期中)已知中，ZADB=90°,AD=BD,。为边8。上一点，点C在

AO延长线上，连接BC、CD.

⑴如图1,已知O8=2OD,AO^CO,当AD=12时，求上OC的面积；

(2)如图2,过点2作AC的垂线，分别交AC、CD于点H、E,过点。作OPLCD交AC于歹，连接砂,

求NDEF的度数；

(3)如图3,当点。在8。上运动，且/ACB始终为90。时，过点。作OGLAC,垂足为G,则史暗

的值是否发生改变？若不变，求出这个值；若发生改变，说明理由.

【答案】(1)48

(2)45°

(3)不发生改变，2

221

【分析】⑴由ZADB=90°,OB=2OD，可得5.3=§SABD，由A。=CO，可得SBOC=S=-•—•AD-BD,

计算求解即可；

(2)由COLORADLBD,可得ZADF=NBDE,由三角形内角和定理，对顶角相等可得NZMF=NDBE,

证明ADF^BDE(ASA),则/)尸=OE,进而可得」)砂是等腰直角三角形，ZDEF=45°；

第23页共64页

(3)如图，作DPLCD交AC于点P,同理(2)可证，ADP^BDC(ASA),则D尸=DC,△(?/)尸是等

腰直角三角形，G是CP的中点，SCDP=2SCDG,由

S"板=(SA8+S.)一(SBOC-SABO)=SACD-SBCD=SCDP=2SCDG,进而可求得S-42氏S-4照=2,

然后作答即可.

【解析】(1)解：VZADB=90°,OB=2OD,

,,UAOB~AOD»

,・•OSAOB_~~3SOABD，

AO=COf

二

SDRC/CV=SnAtRj\nj=-3---2--AD-BD=—3x—2x12x1248,

BOC的面积为48；

(2)解：VCD±DF,ADVBD,

ZADF+NBDF=90°=Z,BDC+ZBDF,

ZADF=ZBDE,

ZDAF+ZADO+ZAOD=180°=ZDBE+ZBHO+ZBOH,ZAOD=ZBOHZADO=90°=Z.BHO,

/.ZDAF=NDBE,

'：ZDAF=ZDBE,AD=BD,ZADF^ZBDE,

.ADF会BDE(ASA),

DF=DE,

'：NCDF=90。,

J)EF是等腰直角三角形，/DEF=45°；

(3)解：如图，作DPI.CD交AC于点P,

同理(2)可证，ADP^BZ)C(ASA),

/.DP=DC,△CDP是等腰直角三角形,

第24页共64页

■:DGA-CP,

・・・G是CP的中点,

,••0SCDP-—乙7”VCDG，

**SABD_SABC=(SAOD+SABO)—(SBOC-SABO)

_s

=°qAOD°BOC

=(SAOD+SCDO)—(SBOC—SCDO)

一

—0Q,ACD-力VBCD

~0,ACD°ADP

=SCDP

=2S,CDG,

・SABD-SABC_2

SCDG

...S"々-S"BC的值不发生改变,值为2.

'△CDG

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线与面积，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定

理等知识.熟练掌握等腰三角形的判定与性质，中线与面积，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定

理是解题的关键.

9.（23-24八年级上•江苏南通・阶段练习）已知等腰VABC和等腰VAPE中，AB^AC,AD=AE.

图(1)图(2)图(3)

⑴如图（1）,①若AB=7,AD=3,在等腰VADE可绕点A旋转过程中，线段CD的最大值为；

②若NB4C=NZME=40。，当8、。、E三点共线时，则NAEC的度数为；

（2）如图（2）,若AC=AD,且C与。重合，ZBAC=60°.当NZME的大小在0。〜90。范围内之间任意改变,

/8EC的度数是否随之改变？请说明理由；

第25页共64页

⑶在(2)的条件下，尸是EC延长线上一点，S.BF=EF,连接AF,如图3,试探究取,q,FC之间的关系，

并证明.

【答案】(1)①10;②110°或70°

(2)/BEC的度数不变，理由见解析

O)FA=FB+FC,理由见解析

【分析】

(1)①连接CD,由CD<AC+AD,AB=AC=7,AD=3,得CDW10,则线段CD的最大值为10,于是得

到问题的答案；②分两种情况讨论，一是8、。、E三点共线，且点。在线段BE上，设的交AC于点尸，

由AB=AC,AD=AE,NS4c=NZME=40°,得NBAD=NCAE,ZAED=70°,可证明△BAD四△C4E,

得ZABD=ZACE,所以ZAPE-ZABD=ZAPE-ZACE,则NBAE=NBEC=40。,即可求得

ZAEC=ZAED+ZBEC=110°；二是3、D、E三点共线，且点E在线段3D上，设CE交A于点R,则

ZCAE=ABAD=40°+ABAE,40=44£0=：乂(180。-40。)=70。,可证明AACE^AABD,得

ZAEC=ND=70°,于是得到问题的答案；

(2)由AB=AC=AE,得ZAEC=NACE=:(180。-/CAE),NA£B=NABE=；(180。一ZBAE),则

NBEC=1(180°-ZC4£)-1(180°-ZBAE)=|ABAC=30°,所以/BEC的度数不变.

(3)在线段AF上截取尸。=尸3,连接BQ,可证明VABC是等边三角形，得AS=CB,ZABC=60°,由

BF=EF,得NEBF=NBEC=30。,则ZBFE=120°,再证明AF垂直平分8E,则

ZBFQ=ZEFA=|ZBFE=60°,所以。防是等边三角形，则=NQBb=60。，可推导出

ZABQ=NCBF,即可证明ABQCBF,得QA=FC,所以AF=尸Q+QA=EB+PC.

【解析】(1)解：①如图(1),连接C。，

AB=AC=7,AD=3,

AC+AD=7+3=10,

CD<AC+AD,

:.CD<\0,

线段CO的最大值为10,

故答案为：10.

②如图(1)①，B、D、E三点共线，且点。在线段BE上，设砥交AC于点P,

第26页共64页

A

AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=40°,

/.ZBAD=ZCAE=40°-ACAD,ZAED=；x(180。-40°)=70°,

在_84。和..C钻中，

AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

BAD^C4E(SAS),

:.ZABD=ZACE,

,\ZAPE-ZABD=ZAPE-ZACEf

ABAC=ZAPE-ZABD,ZBEC=ZAPE-ZACE,

:.ZBAE=ZBEC=40°f

ZAEC=ZAED+NBEC=110°；

如图(1)②，3、D、E三点共线，且点E在线段3。上，设CE交48于点H,

图⑴②

AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=40°f

ZCAE=/BAD=40°+/BAE,ZD=NAED=|x(180°-40°)=70°,

在/VICE1和中，

第27页共64页

AC=AB

<NCAE=/BAD,

AE=AD

.aACE咨ABD(SAS),

:.ZAEC=ZD=10°,

故答案为：110。或70。.

(2)/班。的度数不变，

理由：AB=AC,AD=AE,AC=AD,且。与。重合，

/.AB=AC=AE,

/.NAEC=ZACE=1(180°-NCAE),ZAEB=/ABE=1(180°-NBAE),

QZBAC=60°,

/./BEC=ZAEC-ZAEB=；(180°-ZCAE)-1(180°-/BAE)=gABAC30°,

的度数不变.

(3)FA=FB+FC,

证明：如图(3),在线段AF上截取世=用，连接5Q,

AB=AC,ZBAC=6^0,

、ABC是等边三角形，

.AB=CB,ZABC=60°,

BF=EF,

./EBF=ZBEC=30。,

./BFE=180。—/EBF—/BEC=120。,

BF=EF,AB=AE,

.点尸、点A都在跖的垂直平分线上,

第28页共64页

垂直平分BE,

NBFQ=ZEFA=；NBFE=60°,

••-Q8尸是等边三角形，

:.QB=FB,ZQBF=60°,

NABQ=NCBF=60°-ZCBQ,

在.A3。和VCBP中，

AB=CB

<ZABQ=ZCBF,

QB=FB

ABQZ.C幽SAS),

:.QA=FC,

.■.AF=FQ+QA=FB+FC.

【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系、三角形内角和定理、全等三角形的判定与

性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试

压轴题.

模块3：全等三角形、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线综合(题型7：角平分线中作垂线)

10.(24-25八年级上•江苏扬州•阶段练习)在VABC中，AB=5,AC=3.若点。在，3AC的平分线所在

的直线上.

图1