2024-2025学年上海市长宁区高二年级上册期中考试数学质量检测试卷（含解析）

2024-2025学年上海市长宁区高二上学期期中考试数学质量检测试卷

一、填空题（本大题共12小题，1〜6每题4分，7〜12每题5分，共54分）

1.已知z=2+i（其中i为虚数单位），则2=.

2.已知/（“）=/,则/"）=.

3.函数JntmZx的最小正周期为.

4已知向量“（，），（，），且。/,贝！I—.

5.已知复数马=1+1,z2=1（其中i为虚数单位），则归Zz|=.

6,若圆柱的轴截面面积为8,则它的侧面积为_____.

7,函数在》=1处的切线方程为.

8.已知圆锥的母线长为4,底面直径48=4,则沿着侧面从点A到点B的距离最小值是.

（n）4

cos---a=——

9.已知<2）5,则cos2a=.

10.已知尸是边长为2的正六边形/BCDE9上或其内部的一点，则Q•方的取值范围为

11.如图，己知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形48C,将剩余部分绕着直径48

所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为_____.

B

42

三——（a+2）—+2a<0

12.已知关于t的不等式e，e*恰有两个正整数解，则实数。的取值范围是

二、选择题（本题满分18分，13、14每小题满分4分，15、16每小题满分5分）

_兀

13.已知复数z=（2smaT）+i”为虚数单位），则“z为纯虚数，，是“0%，，的（）.

A.充分非必要条件B,必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.设加、〃是两条不同的直线，以仅是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（）

A.若加〃a,〃〃a,则加〃〃

B.若加_La,〃_La,则加〃〃

C.若加〃a.m//。,则a〃,

D.若冽_L_L，，则加

15.如图，在直三棱柱45C-4与。］的棱所在的直线中，与直线为异面直线的条数为

A.1B.2C.3D.4

16.已知函数歹二/（x）的导函数/'（X）的图像如图所示，则下列结论中正确的是（）

A.函数V=/（x）在区间（-3,3）内有三个零点

B.函数%=-1是函数y=/（%）的一个极值点

C.曲线丁=/（x）在点G2,次-2）处的切线斜率小于零

D.函数＞=/（X）在区间（-1.1）上是严格减函数

三、解答题（本大题共5题，满分78分）

17.已知向量2=（2,1）,b

（1）若I与否的夹角为135°，求实数加的值；

（2）若万,U-3）,求向量。在向量不上的投影向量坐标.

18.如图，在正四棱柱Z8CD—481G2中，AB=2,AA[=3.

（1）求与底面48c。所成角;

（2）求点/到平面48。的距离.

19.已知V48C的内角4民。的对边分别为见“c,已知a=3,b=2c.

2兀

（1）若/=可，求V/8C的面积；

（2）若2sin5-sinC=1,求sin/.

20.如图，PZ,平面48C,48为圆。的直径，E,尸分别为棱PC,尸8的中点.

（1）证明：所//平面45C；

（2）证明：平面EE4L平面上4C；

（3）若〃=力5=4，AC=2,求二面角E—ZB—C的大小.

21.解答下列问题：

(l)求函数/(%)==(%>0)的极小值；

(2)若，ER,函数〃(x)=xe'-比为R上严格增函数，求实数，的取值范围;

(3)已知g(x)=—+lnxj-三,X6(0,+8)，且尸g(x)只有一个极大值点，求实数。的

取值范围.

2024-2025学年上海市长宁区高二上学期期中考试数学质量检测试卷

一、填空题(本大题共12小题，1〜6每题4分，7〜12每题5分，共54分)

1.已知z=2+i(其中i为虚数单位)，则2=.

【正确答案】2-i##-i+2

【分析】根据已知条件，利用共粗复数的概念，即可求解.

【详解】因z=2+i，所以1=2—3

故2-i

2.已知/(x)=%4，则/'(I)=.

【正确答案】4

【分析】求导代值即可.

【详解】r(x)=4x3,.-./,(1)=4.

故4.

3,函数y=tan2x的最小正周期为.

7T

【正确答案】一

2

71

【分析】利用l求出最小正周期.

JT

【详解】歹二121121的最小正周期为5.

故5

4.己知向量5=(3,4),3=(加,2),且M//B，则加=.

3

【正确答案】-##1.5

2

【分析】根据向量平行的充要条件列方程即可求解.

3

【详解】若向量彳=(3,4),b=(m,2),且方/区，则当且仅当4加=2x3n,"=,.

故答案为.士3

2

5.已知复数？i=l+i,z2=i(其中i为虚数单位)，则归.

【正确答案】V2

【分析】由复数乘法以及模的计算公式即可求解.

2

【详解】|zIZ2|=|(1+i)i|=|-1+i|=l)+1=.

故答案为.近

6.若圆柱的轴截面面积为8,则它的侧面积为.

【正确答案】871

【分析】设圆柱的底面半径为厂，母线为/,由于圆柱的轴截面面积计算即可.

【详解】设圆柱的底面半径为，，母线为/,

由于圆柱的轴截面面积为8,所以2〃=8,

所以它的侧面积为2兀〃=8兀,

故8兀

7.函数/(x)=/在x=l处的切线方程为.

【正确答案】V=ex

【分析】先求得导函数及切点坐标，由点斜式方程的求法即可得切线方程.

【详解】f(x]=ex,当x=l时切点为(l,e),

且/'(x)=y,则由导数几何意义可知k=f'(l)=e

由点斜式可得＞=e(x—l)+e,即^=以，

故答案为.N=ex

本题考查了导数的几何意义，曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.

8.已知圆锥的母线长为4,底面直径AB=4,则沿着侧面从点A到点B的距离最小值是

【正确答案】4A/2.

【分析】将其侧面展开，通过计算得到侧面展开图为半圆，根据图形可得最短距离.

【详解】考虑圆锥的侧面展开图，

由题意可知圆锥的母线长为4,底面直径为4,则半径厂=2,

所以底面圆的周长为4兀，

471

所以圆锥的侧面展开图是半径为4,圆心角为——二兀的扇形，即半径为4的半圆，

4

如图所示：

在直角三角形尸45中，AP=BP=A,所以48=40，

所以沿着侧面从点A到点B的距离最小值为40.

故答案为.4亚

9.已知,则cos2。=.

7

【正确答案】——##-0.28

25

【分析】利用诱导公式求出sin。的值，再利用二倍角的余弦公式可求得结果.

4

【详解】cos=sina,因止匕,cos2a=l-2sin2(z=-—

25

故答案为'7

25

10.已知尸是边长为2的正六边形45CD斯上或其内部的一点，则下.万的取值范围为

【正确答案】[-2,6]

【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出点尸的坐标，利用数量积的坐标运算求

解.

【详解】在正六边形45CDE/中，以点A为原点，AB、/£所在直线分别为x轴、y轴，建

立平面直角坐标系，如图，

因为/8=2,则2(0,0),8(2,0),43,6),£»(2,26),£(0,24),歹(-1,6),

设P(x,y),由题意可知，—lVx<3,0Wy<26,

所以方=(x,y),方=(2,0),贝UQ.乐=2xe[—2,6]，

故[-2,6]

11.如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形4BC,将剩余部分绕着直径4B

所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为.

【正确答案】一

3

【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结

果.

【详解】由题，VN8C为等腰直角三角形，作于点O,如图，

则VABC绕着直径AB所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥AO和BO,

B

由半径为2可得圆锥底面圆半径为。0=2,圆锥的高为2,

则圆锥49的体积为匕=—7rx22x2=—7r,

33

432

半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为匕兀x23二三-兀，

因此剩余部分所形成的几何体的体积为『=2匕=牛兀.

故答案为.--71

3

4

12.已知关于x的不等式与-(<7+2)—+2tz<0恰有两个正整数解，则实数。的取值范围是

「19、

【正确答案】

LeeJ

【分析】令/=/（x）=0，利用导数求出函数/（x）的单调区间，则不等式变为关于/的不

等式»—（a+2"+2a<0,再分a=2,a>2和a<2三种情况讨论，结合函数/卜）=0

的单调性即可得出答案.

【详解】令/=/（》）=£，则/（x）=x（2：x）,

ee

当x<0或x>2时，/r（x）<0,当0<x<2时，/r（x）>0,

所以函数/（x）在（-巩。）和（2,+8）上递减，在（0,2）上递增，

4

/（0）=0,/（2）=-

V）

当Xf-00时，—+8,当Xf+oo时，/（X）—0,

不等式变为关于t的不等式»—（a+2"+2a<0,

若a=2,则不等式无解，

V2

若。〉2时，则即2<—<a，

QX

此时x<0,与题意矛盾，

V2

若a<2时，则Q</<2,即a<—<2,

ex

Y24

因为％为正整数，且当x>0时，—<4,

e"e2

Y2

所以土<2恒成立，

ex

则关于X的不等式a<—恰有两个正整数解，

ex

2

由函数/（x）=-在（2,+8）上递减，在（0,2）上递增，

ex

且/（1）=:/（3）弓〉/（1）,/（4）=詈/（1）,

可得/（l）«a</（3）,

nn「19、

即a£一，二•

Lee；

火田、।「19、

故答案为.——

Le?e；

本题考查了利用导数解决不等式问题，考查了分类讨论思想和转化思想，有一定的难度.

二、选择题（本题满分18分，13、14每小题满分4分，15、16每小题满分5分）

13.已知复数z=（2sina-l）+i（i为虚数单位），贝U“z为纯虚数”是“a=巴”的（）.

A.充分非必要条件B,必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【正确答案】B

【分析】由复数z=（2sina-l）+i为纯虚数，求出a,判断即可.

【详解】复数z=（2sina—l）+i为纯虚数，则2sina—1=0,

TT5兀

解得a=一+2左兀，左£Z,或a=---\-2kTi,kGZ,

66

TTTT

所以若2为纯虚数不一定得到。二:，但是由a二:一定能得到z为纯虚数，

66

JT

故"Z为纯虚数”是“a=一”的必要非充分条件，

6

故选：B

14.设加、〃是两条不同的直线，以万是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（）

A.若加〃见〃〃a,则加〃〃

B.若加_La,〃_La,则掰〃〃

C.若加〃a,加〃尸，则all/3

D,若加_La,a_L夕，则加||万

【正确答案】B

【分析】在正方体中取直线和平面可排除ACD,由线面垂直的性质可得B正确.

［详解】在正方体ABCD-EFGH中，记底面ABCD为a,EF为m,EH为n,显然A不正

确；记底面48CD为EF为m,平面CO8G为万，故排除C；记底面48CD为BF为

m,平面4BFE为0,可排除D；由线面垂直的性质可知B正确.

15.如图，在直三棱柱4BC-4四G的棱所在的直线中，与直线30为异面直线的条数为

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】C

【分析】根据异面直线的概念分析即可求出所有符合条件的棱，进而得到结果.

【详解】与直线3。成异面直线的有4片,2。,44「共3条，

故选：c.

16.已知函数歹=/(x)的导函数/'(x)的图像如图所示，则下列结论中正确的是()

A.函数＞=/(x)在区间G3,3)内有三个零点

B.函数％=-1是函数y=/(x)的一个极值点

C.曲线＞=/(x)在点G2,X-2)处的切线斜率小于零

D.函数y=/(x)在区间GI,1)上是严格减函数

【正确答案】D

【分析】根据导函数的图象，可判断原函数的单调性，进而可逐一求解.

【详解】/(X)在(-3,-2)单调递增，在(-2,3)单调递减，故/(X)在区间(-3,3)内至多有两

个零点，A错误;

在x=-l的左右两侧/'(x)<o,故x=-1不是极值点，故B错误；

根据/'(X)图像可知/'(-2尸0,故y=/(x)在点(-2,〃-2))处的切线斜率等于零，c错误;

/'(x)<0在(一1,1)恒成立，故/(x)在区间(-1,1)上是严格减函数，故D正确.

故选：D

三、解答题(本大题共5题，满分78分)

17,已知向量5=(2,1),b=(-1,/n).

(1)若d与彼的夹角为135°，求实数机的值；

(2)若(1-3),求向量方在向量行上的投影向量坐标.

【正确答案】(1)—3或1；

3

【分析】(1)根据数量积的定义和坐标运算即可求得加；

(2)根据2,0-拉求得加=7,再根据投影向量的定义即可求得.

【小问1详解】

因为1=(—1,加)，则晨6=加一2,,W=&+加~,

若Z与B的夹角为135°，则由限B=|a||^|cosl350,

_____51

可得：m-2=V5X^J1+m2X(----)(加<2)，解的：加=-3或加

2J

则实数加的取值为-3或工.

3

【小问2详解】

a-b-(3,1-m),因为aJ_(〃一)),则一•(2-3)=2x3+1-加=0,

则加=7,可得：b-(—1,7)，a-b=1-2=5f|=V1+72=5y[2,

a-b-1-17

则z在右方向上的投影向量为.铲"=伍'=(一而，而)

18.如图，在正四棱柱48CD—48CQ1中，AB=2,AAl=3.

(1)求与底面48c。所成角;

(2)求点/到平面/RD的距离.

3

【正确答案】(1)arctan-

2

⑵源

11

【分析】(1)由线面角的定义可知即为所求，在氏〃4A4中利用三角函数进行求解.

(2)在三棱锥4-48。中，利用等体积法求点/到平面48。的距离.

【小问1详解】

由题意得，48与底面/BCD所成角为』4山，在氏〃4A4中，

AA33

tanZABA=——L=—,二.ZABA=arctan—,

1AB212

3

故A[B与底面ABCD所成角为arctan-.

【小问2详解】

•••四棱柱ABCD-ZHCQi为正四棱柱，

AB—AD—2,

227

AXB=AXD=A/2+3=V13，BD=VF+2=272-

设点/到平面A{BD的距离为d,则；•SAABDZ4=gS“-d,

即L223J2"疝工4解得：d=3叵,

2211

所以点N到平面4Ao的距离为豆12.

11

19.己知VZ8C的内角48,C的对边分别为a,"c,已知a=3,b=2c.

2冗

(1)若4=不，求V48C的面积；

(2)若2sinB-sinC=1,求sin/.

【正确答案】(1)2叵

14

(2)拽上立或拽二立

99

【分析】(1)利用余弦定理解得C?的值，代入三角形面积公式即可的结果.

(2)由正弦定理得到sin民sinC的关系，解出sin民sinC的值，分类讨论角8是否为锐角,

利用和差角公式计算出sin/的值.

【小问1详解】

b2+c2-a2

cosA=

2bc2

9

7

-S"

27214

【小问2详解】

b=2c,由正弦定理可得sinB=2sinC

1.2

*/2sin5-sinC=1,sinC=j,sm5=j,

,/b=2c,8可能为锐角可能为钝角，C为锐角,

cosC=Jl-sin2c=2V2

亍

当3为锐角,cosB=Vl-sin2B=

3

smCc°s5+c°sCsm5」x区谑/J"石

sinA=sin[兀一(C+B)]=sin(C+B)=

33339

当B为钝角，cosB--Vl-sin2B二一Y5

3

2V221V54V2-V5

sin4=sin［兀-(C+B)J=sin(C+B)=sinCcosB+cosCsinB=------x--------x-----=---------------

33339

・•.sm/=4亚+2/或4行-指

99

20.如图，尸2，平面48。，48为圆。的直径，E,尸分别为棱尸C,P2的中点.

(1)证明：•//平面Z8C；

(2)证明：平面EE4L平面R4C；

(3)若PA=AB=4,AC=2,求二面角£—48—C的大小.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析(3)arccos-----

19

【分析】(1)利用中位线定理得到所//BC,利用线面平行的判定定理即可得证；

(2)由Z8为圆。的直径，得到8CLZC,再利用线面垂直得到8CL尸4从而平面

R4C,结合(1)中EF“BC,所以所，平面0ZC,得到面面垂直.

(3)构建空间直角坐标系，根据空间向量求解二面角大小.

【小问1详解】

因为E,F分别为棱PC,P8的中点，所以EF//BC,

因为石尸①平面48C,3Cu平面48C,

所以所//平面N8C;

【小问2详解】

因为48为圆。的直径，所以8CLZC,

因为平面4BC,5Cu平面4BC,所以尸4

又R4口ZC=Z,尸4ZCu平面PZC,所以BC±平面PAC,

由(1)知EFIIBC,所以EEL平面尸NC,又EEu平面)4

所以平面EE4，平面P/C.

【小问3详解】

以A为坐标原点，如图所示构建空间直角坐标系，

因为〃=拔=4，AC=2,

所以4(0,0,0),5(0,4,0),尸(0,0,4),。卜也,1,0卜

(省1'

尸C中点E即为E----,2,

I22J

设面E48的法向量为〃1=(x,y,z),

n,4•/£=()f-V3x+y+4z=0

则〈，一，可得〈,，

nx-AB=Q=0

令x=4,则y=0,z=y/3,"1=^4,0,-\/3j,

又面4BC的法向量可表示为鼠=(0,0,1),

二面角E-AB-C的大小为arccos.

19

21.解答下列问题:

ex

(1)求函数/(x)=二(X〉0)的极小值;

⑵若/eR,函数〃(x)=xe'Tx为R上严格增函数，求实数/的取值范围;

(3)已知g(x)=+三，XG(0,+OO),且〉=g(x)只有一个极大值点，求实数a

x

的取值范围.

2

【正确答案】(1)—e；

4

(2)(一*-士|；

e

【分析】(1)利用导数求解即可；

(2)由题意可知〃'(％)=。+1)3-/20在R上恒成立，即/V(x+l)eX在R上恒成立，设

9(x)=(x+l)e*,xeR,利用导数求出函数。(对的最小值即可；

,2x

(3)求导得g(x)=(尸3)伍：2-吟，久e(0,+8),分/一/4o恒成立，及ax-e=0

JC

有两实数根，分别求解即可.

【小问1详解】

因为/(x)=S(x>o),所以广3=生咨，

XJC

所以当xe(0,2)时，f'Q)<0,/(X)单调递减；

当xe(2,+s)时，/(X)>0,/(X)单调递增，

2

所以当x=2时，函数取得极小值为/(2)=,e，

2

所以函数的极小值为je；

4

【小问2详解】

因为函数〃(x)=xe*-比为R上严格增函数，

所以//'(x)=(x+l)e*T»0在R上恒成立，

即