3.3 探索与表达规律（5大题型提分练）（解析版）

（北师大版）七年级上册数学《第3章整式及其加减》3.3探索与表达规律知识点一知识点一日历中的规律◆1、在日历中，方框中的9个数之和是最中间数的9倍．如果用a表示正中间的数，这9个数的和等于9a．◆2、任意一行或列的相邻三个数的和等于最中间数的3倍．设最中间的数为a，则任意一行或列的相邻三个数的和为3a．知识点二知识点二数与式的变化规律◆1、数与式的规律问题:从给定的几个数与式入手，观察数与数之间的规律及式子本身存在的规律，分别进行横向、纵向的比较，找出其中的不变部分与变化部分，确定数和式子与序号之间的关系，找出变化规律.●若是一列整数，则可考虑相邻两数的和、差、积、商等方面的规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律；●若是等式，则可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数字之间的关系，从而找出规律；●若是分数，则可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系．知识点三知识点三图形的变化规律◆图形的变化规律问题:观察、分析图形特点，挖掘相邻两个图形间的增减变化关系，有时也可将图形进行分割，从不同角度分析图形的变化特点，从中找出规律，大胆猜想，用恰当的代数式表示规律并加以验证．题型一单项式的系数与次数的变化规律1．（2024•永修县校级模拟）以下是按一定规律排列的单项式：2a，3a2，4a3，5a4，6a5，•••，依此规律，第n个单项式是（）A．nan B．nan﹣1 C．（n+1）an D．（n+1）an﹣1【分析】根据系数与次数两个方面总结可得第n个单项式．【解答】解：按一定规律排列的单项式：2a，3a2，4a3，5a4，6a5，•••，依此规律，第n个单项式是（n+1）an，故选：C．【点评】本题考查单项式的规律探究，发现规律是关键．2．（2024•保山一模）下面是按一定规律排列的式子：a2，3a4，5a6，7a8，…，则第9个单项式是（）A．15a18 B．17a16 C．15a10 D．17a18【分析】根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断．【解答】解：由a2，3a4，5a6，7a8，…可得；系数的排列规律为：1，3，5，7，9，...2n﹣1，指数的排列规律为：2，4，6，8，...2n．故第9个单项式是：17a18．故选：D．【点评】本题考查单项式，正确找到规律是解题关键．3．（2024•广南县模拟）按一定规律排列的单项式：2a2，4a3，6a4，8a5，10a6，…，第n个单项式是（）A．（n+1）an B．（n+1）an+1 C．2nan D．2nan+1【分析】分别从系数，字母的指数两个方面进行找规律．【解答】解：∵2a2＝（2×1）a1+1，4a3＝（2×2）a2+1，6a4＝（2×3）a3+1，…，∴第n个为：2nan+1；故选：D．【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．4．（2024•罗平县模拟）按一定规律排列的单项式：﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是（）A．（﹣2）n﹣1a B．（﹣2）na C．2n﹣1a D．2na【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．【解答】解：∵﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，可记为：（﹣2）1a，（﹣2）2a，（﹣2）3a，（﹣2）4a，（﹣2）5a•••∴第n项为：（﹣2）na．故选：B．【点评】本题考查了数字的变化规律，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．5．（2023昆明一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式是（）A．17a14b2 B．17a8b14 C．15a7b14 D．152a14b2【分析】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可．【解答】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，单项式中a的指数偶数，b的指数不变，所以第8个单项式是：17a14b2．故选：A．【点评】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键．题型二多项式的项与次数的变化规律1．（2024•五华区校级模拟）按一定规律排列的单项式：a﹣b，4a2+b，9a3﹣b，16a4+b，25a5﹣b，⋯第n个单项式是（）A．n2an+（﹣1）n+1b B．n2an+（﹣1）nb C．n2an+1+（﹣1）n﹣1b D．（n+1）2an+（﹣1）nb【分析】通过观察多项式中的第一个单项式的系数发现：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，则第n个单项式的系数为n2；由a1，a2，a3，a4，a5，a6，发现第几个单项式的次数解是a的几次幂，得第n个为an，且第二个单项式的字母都为b，指数都为1，而字母前的符号是奇数项为负，偶数项为正，从而可求解．【解答】解：∵a﹣b＝12a1+（﹣1）1b，4a2+b＝22a2+（﹣1）2b，9a3﹣b＝32a3+（﹣1）3b，16a4+b＝42a4+（﹣1）4b，25a5﹣b＝52a5+（﹣1）5b，⋯，∴第n个单项式是：n2an+（﹣1）nb．故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，解题的关键是根据各个单项式找到规律．2．（2024•红河州二模）以下是一组按一定规律排列的多项式：a+b，a2+2b，a3+3b，a4+4b，a5+5b，…，则第n个多项式是（）A．an+（n﹣1）b B．an+nb C．an+（n+1）b D．an+1+nb【分析】根据题意，把原来多项式拆成两个单项式，分别找出每组单项式的规律即可．【解答】解：将排列的多项式：a+b，a2+2b，a3+3b，a4+4b，a5+5b，…，拆成两组单项式为：a，a2，a3，a4，a5，⋯⋯，b，2b，3b，4b，5b，••••••，第n个单项式为an和nb，∴第n个多项式是an+nb．故选：B．【点评】本题考查多项式排列中的规律，发现规律是关键．3．（2024•巧家县二模）按一定规律排列的多项式：a+b2，a2+4b3，a3+9b4，a4+16b5，a5+25b6，…．第n个多项式是（）A．an+n2bn+1 B．an+nnbn+1 C．an+nbn+1 D．an+2nbn+1【分析】根据题意可得第n个多项式是an+n2bn+1，即可得出结果．【解答】解：根据题意可知，按一定规律排列的多项式：a+b2，a2+4b3，a3+9b4，a4+16b5，a5+25b6，…，∴第n个多项式是an+n2bn+1，故选：A．【点评】本题考查的是多项式和数字的变化规律，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．4．有一个多项式为a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是．【分析】由多项式的特点可知，该多项式是加减替换，a从最高次方向最低次方递减，b从最低次方到最高次方递增．由此可知第六项是﹣a3b5．【解答】解：因为a的指数第一项为8，第二项为7，第三项为6…所以第六项为1；又由于两个字母指数的和为8，偶数项为负，所以第6项为﹣a3b5．故答案为：﹣a3b5．【点评】此题考查的是对多项式的规律，通过对多项式的观察可得出答案．5．观察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…按此规律写出第n个式子是．【分析】根据所给式子发现规律，即可解答．【解答】解：x+1＝x+12，x2+4＝x2+22，x3+9＝x3+32，x4+16＝x4+42，x5+25＝x5+52，…第n个式子是xn+n2．故答案为：xn+n2．【点评】本题考查了多项式，解决本题的关键是根据所给式子发现规律．题型三数与式的变化规律1．（2024•新都区校级开学）有这样一组数：40.1、40.2、40.3、40.4、40.5…，其中第n个数用含有字母的式子表示是（）A．（n﹣1）+40 B．（n+1）+40 C．40+n D．40+n÷10【分析】观察给出的式子可得第n个数用含有字母的式子表示40.1+（n﹣1）×0.1，进而可以解决问题．【解答】解：第n个数用含有字母的式子表示为40.1+（n﹣1）×0.1＝40.1+0.1n﹣0.1＝40+0.1n＝40+n÷10，故选：D．【点评】本题主要考查了规律型：数字的变化类，列代数式，解决本题的关键是找到规律．2．（2024•温江区校级开学）下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律m＝（）A．38 B．52 C．74 D．86【分析】根据所给正方形，观察其中四个数字，发现规律即可解决问题．【解答】解：由所给正方形可知，2＝0+2，4＝2+2，6＝4+2，所以正方形左下角的数字等于左上角的数字加2；4＝0+4，6＝2+4，8＝4+4，所以正方形右上角的数字等于左上角的数字加4；8＝2×4+0，26＝4×6+2，52＝6×8+4，所以正方形右下角的数字等于左下角与右上角的数字之积，再加上左上角的数字，所以6+2＝8，6+4＝10，则m＝8×10+6＝86．故选：D．【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给正方形中的数字，发现它们之间的关系是解题的关键．3．（2023秋•梁园区校级月考）已知整数a1，a2，a3，a4，⋯，满足下列条件：a1＝2，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+1|，a4＝﹣|a3+1|，以此类推，则a2023的值为（）A．﹣1 B．0 C．﹣3 D．2【分析】根据题意找出规律为从第四项起，以﹣1、0、﹣1、0的循环出现，根据（2023﹣3）÷2＝1010进而可求解．【解答】解：依题意得：a1＝2，a2＝﹣|a1+1|＝﹣|2+1|＝﹣3，a3＝﹣|a2+1|＝﹣|﹣3+1|＝﹣2，a4＝﹣|a3+1|＝﹣|﹣2+1|＝﹣1，a5＝﹣|a4+1|＝﹣|﹣1+1|＝0，a6＝﹣|a5+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，⋯⋯，∴从第四项起，以﹣1、0、﹣1、0的循环的出现，∵（2023﹣3）÷2＝1010，∴a2023＝0，故选：B．【点评】本题考查了数字类规律探索问题，准确找出规律是解题的关键．4．（2023秋•鹤城区校级期末）a是不为2的有理数，我们把22-a称为a的“哈利数”．例如：3的“哈利数”是22-3=-2，﹣2的“哈利数”是22-(-2)=12，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4A．3 B．﹣2 C．12 D．【分析】由题意可得：a1＝3，a2＝﹣2，a3=12，a4=43，a5＝【解答】解：∵a1＝3，∴a2=22-3=-2，a同理可求得：a3=12，a4=43，a由此可知该组数按照3，﹣2，12，43，3，﹣2，12，4∵2024÷4＝505……4，∴a2024=4故选：D．【点评】本题主要考查数字规律问题，解题的关键是理解“哈利数“．5．（2023秋•光山县校级期末）如图所示在一个电子青蛙游戏程序中，电子青蛙只能在标有五个数字点的圆周上跳动．游戏规则：若电子青蛙停在奇数点上，则它下次沿顺时针方向跳两个点；若电子青蛙停在偶数点上，则它下次沿逆时针方向跳一个点．现在电子青蛙若从3这点开始跳，则经过2023次后它停的点对应的数为（）A．5 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意依次求出每次青蛙跳动后停的点对应的数，根据发现的规律即可解决问题．【解答】解：由题知，因为青蛙从3这点开始跳，所以经过1次后它停的点对应的数为5；经过2次后它停的点对应的数为2；经过3次后它停的点对应的数为1；经过4次后它停的点对应的数为3；经过5次后它停的点对应的数为5；…，由此可见，青蛙停的点对应的数字按5，2，1，3循环出现，又因为2023÷4＝505余3，所以经过2023次后它停的点对应的数为1；故选：D．【点评】本题考查数字变化的规律，发现规律是关键．6．（2024春•莘县期末）我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，不仅如此，这个“三角形”第n+1行中的数竟与（a+b）（n是正整数）展开式各项的系数完全吻合，如图所示：根据“贾宪三角形”请计算（a+b）8的展开式中从左起第五项的系数为（）A．84 B．56 C．28 D．70【分析】据图形中的规律即可求出（a+b）8的展开式中从左起第五项的系数．【解答】解：找规律发现（a+b）4的第三项系数为1；（a+b）5的第三项系数为5＝4+1；（a+b）6的第三项系数为15＝10+5；（a+b）7的第三项系数为35＝20+15；∴（a+b）8第三项系数为35+35＝70．故选：D．【点评】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是关键．7．（2023秋•白银区期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2023次输出的结果为（）A．1 B．5 C．25 D．125【分析】分别求出第一次输出的结果为25，第二次输出的结果为5，第三次输出的结果为1，第四次输出的结果为5，第五次输出的结果为1，第六次输出的结果为5…．，由此得出规律，计算结果即可．【解答】解：根据题意得：第一次输出的结果：15第二次输出的结果：15第三次输出的结果：15第四次输出的结果：1+4＝5，第五次输出的结果：15第六次输出的结果：1+4＝5，第七次输出的结果：15第八次输出的结果：1+4＝5，第九次输出的结果：15由此得到规律，从第二次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5，∴第2023次输出结果为1．故选：A．【点评】本题考查数字的变化规律，总结归纳出从第二次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5是解题的关键．8．（2024•清江浦区校级开学）将整数1，2，3，…，按如图的方式排列．这样第1次转弯的是2，第2次转弯的是3，第3次转弯的是5，第4次转弯的是7，…．则第20次转弯的是．【分析】第一次转弯2＝1+1．第二次转弯3＝1+1+1，第三次转弯5＝1+1+1+2，第四次转弯7＝1+1+1+2+2，第五次转弯10＝1+1+1+2+2+3，第六次转弯13＝1+1+1+2+2+3+3，…，据此可求第20次转弯．【解答】解：第一次转弯2＝1+1，第二次转弯3＝1+1+1，第三次转弯5＝1+1+1+2，第四次转弯7＝1+1+1+2+2，第五次转弯10＝1+1+1+2+2+3，第六次转弯13＝1+1+1+2+2+3+3，…，第20次转弯：1+1+1+2+2+3+3+…+10+10＝1+2（1+2+3+…+10）＝111．故答案为：111．【点评】本题考查了数字的变化规律，解答的关键是根据数字找到相应的变化规律．9．（2024•衡阳开学）如图，萍萍同学将自然数按照一定的规律填写在方格中（图①），图②是从图①中截取的一部分．根据图①中数的规律，我们可以计算出图②中4个数的和是．【分析】根据图①的规律可知，a+b＝480+533﹣1＝1012，即可得出结果．【解答】解：根据图①的规律可知，a+b＝480+533﹣1＝1012，∴图②中4个数的和是480+533+1012＝2025，故答案为：2025．【点评】本题考查了数字的变化类，正确得出a+b＝480+533﹣1＝1012是解题的关键．10．（2023秋•秦安县校级期末）有一个数值转换器，原理如图，若开始输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…．请你探索第2023次输出的结果是1．【分析】根据题意，可以写出前几个输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，从而可以求得第2023次输出的结果．【解答】解：第一次输出：5+3＝8，第二次输出：12第三次输出：12第四次输出：12第五次输出：1+3＝4，第六次输出：12……，从第二次开始，每3次为一循环，按照4，2，1的顺序进行循环，∵（2023﹣1）÷3＝674，∴第2023次输出的结果是第674组的第3个数，∴第2023次输出的结果是1，故答案为：1．【点评】本题考查数字的变化类，流程图，有理数的混合运算，熟练掌握找规律是关键．题型四图形的变化规律1．（2023秋•钢城区期末）化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，如图是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，第2个结构式中有2个C和6个H，第3个结构式中有3个C和8个H，…，按照此规律，则第49个结构式中有（）个H．A．97 B．98 C．99 D．100【分析】观察图形可得规律第n个结构式中有n个C和（2n+2）个H，据此求解即可．【解答】解：第1个结构式中有1个C和2×1+2＝4个H，第2个结构式中有2个C和2×2+2＝6个H，第3个结构式中有3个C和2×3+2＝8个H，……，以此类推，第n个结构式中有n个C和（2n+2）个H，∴第49个结构式中有49个C和2×49+2＝100个H，故选：D．【点评】本题主要考查了图形类的规律探索，正确找出规律是解题关键．2．（2024•香坊区模拟）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2023个图案中涂有阴影的小正方形个数是（）A．8092 B．8093 C．4046 D．4047【分析】先数出三个图形中阴影小正方形的个数，再总结规律并推广至一般情形，从而求出第2022个图案中涂有阴影的小正方形个数．【解答】解：第一个图案有5个：5＝1×4+1，第二个图案有9个：9＝2×4+1，第三个图案有13个：13＝3×4+1，…，则第n个图形有：4⋅n+1＝（4n+1）个，故第2023个图案中有4×2023+1＝8093（个）．故选：B．【点评】本题考查图案的变化规律问题，解决本题的关键是找到正确的变化规律即可．3．（2023秋•大冶市期末）卡塔尔卢赛尔体育场是由中国铁建国际集团承建，球场外立面的设计灵感源于阿拉伯吊灯的光影交错的典型图案．该图案是由一些完全相同的小三角形依照规律排列组成，图形（1）由2个小三角形组成，图形（2）由8个小三角形组成，图形（3）由18个小三角形组成，…．依此规律，图形（10）由（）个小三角形组成．A．100 B．160 C．200 D．300【分析】由题意可得：图形（1）中的小三角形的个数为：2＝2×1＝2×12，图形（2）中的小三角形的个数为：8＝2×4＝2×22，…，据此可求得第（n）个图形中小三角形的个数，从而可求解．【解答】解：∵图形（1）中的小三角形的个数为：2＝2×1＝2×12，图形（2）中的小三角形的个数为：8＝2×4＝2×22，图形（3）中的小三角形的个数为：18＝2×9＝2×32，…，∴图形（n）中的小三角形的个数为：2×n2，∴图形（10）中的小三角形的个数为：2×102＝200（个）．故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形分析出存在的规律．4．（2024•牡丹江）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形…按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【分析】根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三角形的个数．【解答】解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1，第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1，第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1，…，按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形，则第674个图案中三角形的个数为：3×674+1＝2023（个）．故选：B．【点评】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．5．（2023秋•丰都县期末）用围棋子按下面的规律摆放图形，则摆放第2023个图形需要围棋子的枚数是（）A．4047 B．6069 C．6070 D．6071【分析】根据题目中的图形，可以发现棋子的变化规律，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，第一个图形棋子的个数为：2+3×1＝5，第二个图形棋子的个数为：2+3×2＝8，第二个图形棋子的个数为：2+3×3＝11，……，∴第2023个图形需要围棋子的枚数是：2+3×2023＝6071，故选：D．【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律．6．（2023秋•铜梁区期末）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为（）A．24 B．27 C．30 D．33【分析】根据图形的变化规律可知，每个图形都比前一个多三个小圆圈，总结出第n个图的表达式即可．【解答】解：由题知，第①个图形中一共有2×3＝6个小圆圈，第②个图形中一共有3×3＝9个小圆圈，第③个图形中一共有4×3＝12个小圆圈，…，∴第n个图形中一共有（n+1）×3个小圆圈，∴第⑧个图形中小圆圈的个数为9×3＝27（个），故选：B．【点评】本题主要考查图形的变化规律，总结出图形的变化规律是解题的关键．7．（2024•管城区开学）观察如图所示点阵图的规律，根据规律填一填．（1）按照规律在第四幅图中应该画个圆点．（2）按照这个规律还可以知道第n个图形的点阵中，一共应画个圆点．【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题．（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．【解答】解：（1）由所给图形可知，第一幅图中圆点的个数为：6＝1×3+3；第二幅图中圆点的个数为：9＝2×3+3；第三幅图中圆点的个数为：12＝3×3+3；…，所以第n幅图中圆点的个数为（3n+3）个，当n＝4时，3n+3＝15（个），即第四幅图中圆点的个数为15个．故答案为：15．（2）由（1）知，第n个图形的点阵中，一共应画（3n+3）个圆点．故答案为：（3n+3）．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现圆点的个数依次增加3是解题的关键．8．（2024•韩城市二模）某民族服饰的花边均是由若干个的基础图形组成的有规律的图案，如图，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成，第3个图案由10个组成，…，按此规律排列下去，第2024个图案中的个数为个．【分析】根据前三个图形中基础图形的个数得出第n个图案中基础图形的个数即可．【解答】解：观察图形，可知第1个图案由4个基础图形组成，即4＝1×3+1，第2个图案由7个基础图形组成，即7＝2×3+1，第3个图案由10个基础图形组成，即10＝3×3+1，……第n个图案的基础图形的个数为：3n+1．所以第2024个图案的基础图形的个数为：3×2024+1＝6073．故答案为：6073．【点评】此题考查了图形的规律探究，解题的关键是观察图形的变化寻找规律．9．（2024春•凤阳县期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推…（1）第n个图案有个正方形，个等边三角形．（2）现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？【分析】（1）根据所给图形，依次求出正方形和等边三角形的个数，发现规律即可解决问题．（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．【解答】解：（1）由所给图形可知，第1个图案中正方形的个数为：1，等边三角形的个数为：4＝1×3+1；第2个图案中正方形的个数为：2，等边三角形的个数为：7＝2×3+1；第3个图案中正方形的个数为：3，等边三角形的个数为：10＝3×3+1；第4个图案中正方形的个数为：4，等边三角形的个数为：13＝4×3+1；…，所以第n个图案中正方形的个数为n个，等边三角形的个数为（3n+1）个．故答案为：n，（3n+1）．（2）因为（2024﹣1）÷3＝674余1，所以当n＝674时，3n+1＝2023，2024﹣2023＝1，此时等边三角形剩余最少为1，则需要的正方形个数为674．所以按此规律镶嵌图案，等边三角形剩余最少1块，这时需要正方形674个．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现正方形及等边三角形个数变化的规律是解题的关键．10．（2024•凤台县三模）如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题：（1）第4个图案中，三角形有个，正方形有个；（2）若用字母a、b分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式4a+b，8a+4b，则第5个图案可表示为多项式；（3）在（2）的条件下，若第5个图案所表示的多项式值为90，且a＝2，求b的值．【分析】（1）观察图形可知第1个图案中，三角形有4个，正方形有1个；第2个图案中，三角形有8个，正方形有4个；第3个图案中，三角形有12个，正方形有9个；以此类推，第4个图案中，三角形有16个，正方形有16个，得到结论；（2）根据第1、2个图案可表示多项式4a+b、8a+4b，则第5个图案可表示为多项式20a+25b；（3）根据20a+25b＝90，a＝2，即可求出b的值．【解答】解：（1）观察图形可知：第1个图案中，三角形有1×4＝4个，正方形有12＝1个；第2个图案中，三角形有2×4＝8个，正方形有22＝4个；第3个图案中，三角形有3×4＝12个，正方形有32＝9个；以此类推，第4个图案中，三角形有4×4＝16个，正方形有452＝16个；故答案为：16、16；（2）由第1、2个图案可表示多项式4a+b、8a+4b，则第5个图案可表示为多项式20a+25b；故答案为：（20a+25b）；（3）∵20a+25b＝90，a＝2，∴b＝2．答：b的值为2．【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．11．（2024•埇桥区校级二模）【观察思考】【规律发现】（1）请用含n的式子填空：上述是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“★”或“▲”．第1个图案中“★”有4×1个；“▲”有1+3×1个；第2个图案中“★”有4×2个；“▲”有1+3×2个；第3个图案中“★”有4×3个；“▲”有1+3×3个；第4个图案中“★”有4×4个；“▲”有1+3×4个；……第n个图案中“★”有个，“▲”有个；【规律应用】（2）在第2024个图案中，求“★”的数量比“▲”的数量多多少个？【分析】（1）根据题中的规律进行解答即可；（2）利用（1）中的规律分别求出“★”的数量和“▲”的数量，作差即可得到答案．【解答】解：（1）第1个图案中“★”有4×1个；“▲”有1+3×1个；第2个图案中“★”有4×2个；“▲”有1+3×2个；第3个图案中“★”有4×3个；“▲”有1+3×3个；第4个图案中“★”有4×4个；“▲”有1+3×4个；……，第n个图案中“★”有4n个，“▲”有1+3n个；故答案为：4n，1+3n．（2）第2024个图案中，“★”的数量为：4×2024＝8096（个），“▲”的数量为：1+3×2024＝6073（个），8096﹣6073＝2023（个），答：在第2024个图案中，“★”的数量比“▲”的数量多2023个．【点评】此题考查了图形个数规律题，发现正确的规律是解题的关键．题型五日历中的规律1．（2023秋•中牟县期中）如图是某月的日历，现用一方框在日历中任意框出九个数，请观察图形解答下列问题：（1）日历图中方框框住的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？（2）这个关系对其他这样的方框成立吗？请用代数式表示这个关系．（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？（4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？请写出一种．【分析】（1）根据题意列代数式求解；（2）设正中间是数是a，列代数式表示；（3）设正中间是数是a，列代数式表示；（4）观察表格，找规律．【解答】解：（1）日历图中框出的9个数之和为：2+3+4+9+10+11+16+17+18＝90，该方框正中间的数是10，90＝9×10，所以这9个数的和是该方框正中间的数的9倍；（2）成立；如果用a表示正中间的数，这9个数的和等于9a；（3）成立；因为这9个数可以表示为：所以这9个数之和等于9a；（4）能．如每一横行的数相差1或每一竖列的数相差7等等．【点评】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．2．（2023春•碑林区校级月考）日历是生活的好助手，仔细观察我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图所示的是某月的日历，若用一个水平放置的方框任意平移框住其中4个日期数．（1）若设方框内左上角的数为a，则其他三个数分别用a表示为，，．（2）若将方框中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：＝xy﹣mz．结果会随方框位置移动而变化吗？若会，请说明理由；若不会，请求出运算结果．【分析】（1）根据日历表的排列规律即可得出答案；（2）设方框内左上角的数为a，则其他三个数分别用a表示为：a+1，a+7，a+8，由题意得出算式：a（a+8）﹣（a+1）（a+7）计算后即可得出答案．【解答】解：（1）根据日历表的排列规律左右相邻两数相差1，上下两数相差7，若设方框内左上角的数为a，则其他三个数分别用a表示为：a+1，a+7，a+8，故答案为：a+1，a+7，a+8；（2）不会，设方框内左上角的数为a，则其他三个数分别用a表示为：a+1，a+7，a+8，由题意得：a（a+8）﹣（a+1）（a+7）＝a2+8a﹣（a2+7a+a+7）＝a2+8a﹣a2﹣7a﹣a﹣7＝﹣7，∴结果不会随方框位置移动而变化，运算的结果都是﹣7．【点评】本题考查了整式的混合运算，根据日历表的排列规律正确列出算式是解决问题的关键．3．（2023秋•如皋市期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2022年1月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是7，例如：4×10﹣3×11＝7，14×20﹣13×21＝7．（1）如图，设日历中所示的方框左上角数字为x，则上面发现的规律用含x的式子可表示为；（2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．【分析】（1）根据题意用含x的式子表示其余三个数，表达规律即可；（2）根据整式乘法公式，把（x+1）（x+7）﹣x（x+8）化简，即可证明．【解答】（1）解：设日历中所示的方框左上角数字为x，则其余三个数从小到大依次是：x+1，x+7，x+8，∴规律用含x的式子可表示为（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7；故答案为：（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7；（2）证明：（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝（x2+7x+x+7）﹣（x2+8x）＝x2+7x+x+7﹣x2﹣8x＝7．【点评】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．4．（2023秋•甘井子区期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图1是2021年1月份的日历，任意选择图中所示的方框，每个框四个角上的数交叉相乘后求和，再与中间的数的平方的2倍作差，例如：3×19+5×17﹣2×112＝﹣100，14×30+16×28﹣2×222＝﹣100，不难发现，结果都是﹣100．（1）如图2，设日历中所示图形中间的数字为x，请用含x的式子表示发现的规律；（2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．【分析】（1）根据图中的数据和题意，可以写出这一规律；（2）根据整式的乘法和合并同类项的方法可以证明（1）中的这一规律成立．【解答】解：（1）由图可得，这一规律是：（x+8）（x﹣8）+（x﹣6）（x+6）﹣2x2＝﹣1