第1章 直角三角形的边角关系 北师大版数学九年级下册单元测试卷(含答案)

第一章直角三角形的边角关系一选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.如图,在△ABC中,∠C=90°,则BCAB=()A.sinA B.sinBC.tanA D.tanB2.(2021·浙江杭州一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC∶BC=1∶2,则cosA的值为()A.255 B.2 C.53.(2020·贵州黔西南州中考)如图,某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置,已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA'=α,则栏杆A端升高的高度为()A.4sinα米 B.4sinα米 C.4cosα(第3题图)(第4题图)4.(2021·浙江温州瑞安一模)如图,在平面直角坐标系中,第一象限内的点P在射线OA上,OP=13,cosα=513,则点P的坐标为()A.(5,13) B.(13,5) C.(12,5) D.(5,12)5.(2020·安徽黄山期中)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且∠B和∠C均为锐角,若c·cosB=b·cosC,则△ABC是()A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形6.(2020·河北遵化一模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=16cm,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD.若cos∠BDC=35,则BD的长是()A.10cm B.6cm C.8cm D.4cm(第6题图)(第7题图)7.(2021·江苏无锡滨湖区一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,点D从点A出发沿AC以1cm/s的速度向点C运动,过点D作DE∥AB交BC于点E,过点E作EF⊥BC交AB于点F.当四边形ADEF为菱形时,点D运动的时间为()A.32s B.52s C.127s8.(2020·四川绵阳游仙区模拟)如图,在300m高的山顶上测得一塔的塔顶D与塔基C的俯角分别为30°和60°,则塔高CD为()A.2003m B.200mC.1003m D.100m(第8题图)(第9题图)9.定义:在等腰三角形中,底边与腰的比值叫做顶角的正对,顶角A的正对记作sadA,即sadA=底边腰.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=4∠B,则cosB·sadA=()A.1 B.32 C.3210.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图(1)所示,点A是栏杆转动的支点,点E是两段栏杆的连接点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图(2)所示的位置,其示意图如图(3)所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2m,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)()图(1)图(2)图(3)ABCD二填空题(共6小题,每小题3分,共18分)11.(2021·上海模拟)一商场内有一座自动扶梯,小明站在自动扶梯上,当他沿着自动扶梯前进了13米时,他在铅垂方向上升高了5米,则自动扶梯的坡度i是.

12.(2021·四川乐山模拟)如图,已知△ABC的三个顶点都在方格图的格点上,则cosC的值为.

13.(2021·浙江绍兴中考改编)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,cosB=14,点D是边BC的中点,以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE,使AB∥DE,连接CE,则ECAD的值为(第13题图)(第14题图)14.(2020·辽宁葫芦岛一模)如图,甲,乙两艘船同时从港口A出发,甲船沿北偏东45°的方向前进,乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进,两船航行2小时分别到达B,C处,此时测得甲船在乙船的正西方向,则甲船每小时行驶海里.(结果精确到个位,参考数据:tan15°≈0.27,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,3≈1.73)

15.图(1)是一个地铁站入口的双翼闸机.如图(2),它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm,双翼的边缘AC=BD=54cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=27°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度约为cm.(参考数据:sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.51)

图(1)图(2)16.[新风向·新定义试题]如果三角形一边上的中线长恰好等于这条边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”.若Rt△ABC是“好玩三角形”,∠C=90°,则tanA=.

三解答题(共6小题,共52分)17.(共2小题,每小题4分,共8分)计算:(1)(2021·北京石景山区期末)sin60°·tan30°+cos60°(2)(2021·安徽合肥期末)(tan6018.(8分)如图,射线OA放置在3×5的正方形网格中,现请你在图中找出格点(即每个小正方形的顶点)B,并连接OB,AB,使△AOB为直角三角形,且(1)使tan∠AOB的值为1;(2)使tan∠AOB的值为12图(1)图(2)19.(8分)(2021·湖南永州中考)已知锐角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,边角总满足关系式:asinA=bsin(1)如图(1),若a=6,∠B=45°,∠C=75°,求b的值;(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD[如图(2)所示],若CD⊥AB,AC=14米,AB=10米,sin∠ACB=5314,求景观桥CD图(1)图(2)20.(9分)小明在课外活动中观察吊车的工作过程,绘制了如图所示的平面图形,已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO'=1.5米,吊臂OA的长度为6米,当吊臂顶端由A点抬升至A'点(吊臂长度不变)时,地面B处的重物(大小忽略不计)被吊至B'处,并且从O点观测到点A的仰角为45°,从O点观测到点A'的仰角为60°.(1)求此重物在水平方向移动的距离BC;(2)求此重物在竖直方向移动的距离B'C.21.(9分)(2020·河南郑州模拟)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,并完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,该小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如表(尚不完整).课题测量旗杆的高度成员组长:×××组员:×××,×××测量工具测量角度的仪器,皮尺等测量示意图说明:线段GH表示学校旗杆,测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5m,测点A,B与H在同一条水平直线上,A,B之间的距离可以直接测得,且点G,H,A,B,C,都在同一竖直平面内,点C,D,E在同一条直线上,点E在GH上.测量数据测量项目第一次第二次平均值∠GCE的度数26.4°26.6°26.5°∠GDE的度数32.7°33.3°33°A,B之间的距离5.9m6.1m……任务一:两次测量A,B之间的距离的平均值是m.

任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度.(参考数据:sin26.5°≈0.45,cos26.5°≈0.89,tan26.5°≈0.50,sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65)22.(10分)(2021·湖北荆门中考)某海域有一小岛P,在以P为圆心,半径R为10(3+3)海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行,它在A处测得小岛P位于其北偏东60°的方向上,当海监船行驶202海里后到达B处,此时测得小岛P位于B处北偏东45°的方向上.(1)求A,P之间的距离AP.(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险?请说明理由.如果有触礁危险,那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域?第一章直角三角形的边角关系1.A2.C设AC为x,则BC=2x,由勾股定理得AB=AC2+BC2=5x,∴cosA=3.B如图,过点A'作A'C⊥AB于点C.由题意知A'O=AO=4米,∴sinα=A'CA'O,∴A'C=4sinα(第3题图)(第4题图)4.D如图,过点P作PE⊥x轴于点E.设点P的坐标为(x,y),则OE=x,PE=y.在Rt△OPE中,∵cosα=513=OEOP,OP=13,∴OE=5,∴PE=132-52=12,5.C过点A作AD⊥BC于点D,则cosB=BDc,cosC=CDb,∴BD=c·cosB,CD=b∵c·cosB=b·cosC,∴BD=CD,∴AD是线段BC的垂直平分线,∴b=c,即AC=AB,∴△ABC是等腰三角形.故选C.6.A∵cos∠BDC=CDBD=35,∴设DC=3xcm,BD=5xcm.∵MN是线段AB∴AD=BD=5xcm.∵AC=16cm,∴3x+5x=16,解得x=2,∴BD=10cm.7.D设经过ts后,四边形ADEF是菱形,则AD=DE=t,CD=3-t,∠ABC=∠DEC.∵∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB=AC2+BC2=32+42=∴DCDE=ACAB,∴3-tt=38.B如图,延长CD交过A的水平线于点E.∵在300m高的山顶上测得一塔的塔基C的俯角为60°,∴∠CAB=30°,AB=300m,∴BC=AB·tan30°=1003(m).易得AE=1003m,CE=AB=300m.∵在300m高的山顶上测得一塔的塔顶D的俯角为30°,∴DE=AE·tan30°=100(m),∴CD=CE-DE=200m.9.C∵在△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°且∠A=4∠B,∴6∠B=180°,解得∠B=30°,∴cosB=32.如图,过点A作AD⊥BC于点D,设AD=a,则AB=2a,BD=3∵BC=2BD=23a,∴sad∠BAC=BCAB=23a2a=3,∴cosB·sad∠BAC=32×3（第9题图）（第10题图）10.A如图,过点A作BC的平行线AG,过点E作EH⊥AG于点H,则∠AHE=∠EHG=∠HEF=90°.因为∠AEF=143°,所以∠AEH=∠AEF-∠HEF=53°,所以∠EAH=37°.在Rt△EAH中,EH=AE×sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72(m),所以AB+EH=1.2+0.72=1.92(m).故选A.11.1∶2.4设此时水平距离为x米,根据勾股定理,得x2+52=132,解得x=12(负值已舍去),故坡度i=5∶12=1∶2.4.12.31010在CB的延长线上取格点D,令∠ADC=90°,如图,在Rt△ADCAC=AD2+CD2=22+62=210(第12题图)(第13题图)13.2如图,设DE交AC于点T,过点E作EH⊥CD于点H.∵AB∥DE,∴∠DTC=∠BAC=90°.∵DT∥AB,BD=DC,∴AT=TC,∴EA=EC=ED,∴∠EDC=∠ECD.∵EH⊥CD,∴CH=DH.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B,∴∠ECD=∠B,∴cos∠ECH=cosB=14即CHEC=14,∴ECAD=ECCD=14.11设甲船每小时行驶x海里,则AB=2x海里,过点B作BD⊥AC于点D.由题意得,∠BAD=30°,∠C=15°,AC=60海里,∴AD=AB·cos30°=3x≈1.73x(海里),BD=AB·sin30°=x(海里),DC=BDtan15°=xtan15°≈x0.27(海里).∵AD+DC=AC,∴解得x≈11.【一题多解】设甲船每小时行驶x海里,则AB=2x海里,如图,过点B作BD⊥AC于点D,在AC上取点E,使BE=CE,根据题意知,∠BAD=30°,∠C=15°,∴∠BED=30°,∴DE=AD=AB·cos30°=3x(海里),CE=BE=AB=2x海里,∴AD+DE+CE=60海里,即3x+3x+2x=60,解得x=15(3-1)≈11.

15.58.6过点A作AE⊥CP于点E,过点B作BF⊥DQ于点F,则Rt△ACE中,AE=AC·sin27°≈54×0.45=24.3(cm),同理可得,BF≈24.3cm,∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过双翼闸机的物体的最大宽度约为24.3+10+24.3=58.6(cm).16.32或233由题意得,只能是直角边上的中线①如图(1),BD是AC边上的中线,BD=AC.设AD=DC=k(k>0),则BD=AC=2k.在Rt△BCD中,∠C=90°,∴BC=BD2-CD2=3k,∴tanA=②如图(2),AD是BC边上的中线,AD=BC.设BD=DC=m(m>0),则AD=BC=2m.在Rt△ACD中,∠C=90°,∴AC=AD2-CD2=3m,∴tan∠CAB=BCAC=2m3m=图(1)图(2)17.【参考答案】(1)原式=32×33+12÷1(2=12+12(3分=1.(4分)(2)原式=3-1+1-32-2×1×12(3分=32-1.(4分)18.【解题思路】根据tan∠AOB的值分别为1,12,构造直角三角形进而画出△(1)如图(1)所示.(4分)(2)如图(2)所示.(8分)图(1)图(2)19.【参考答案】∵∠B=45°,∠C=75°,∴∠A=180°-45°-75°=60°.∵asinA=bsinB,∴∴b=26.(4分)(2)∵ABsin∠ACB=ACsinB,∴105314=14sinB,∴sinB=3∴tanB=CDBD=3,∴BD=3∵AC2=CD2+AD2,∴142=CD2+(10-33CD)2,∴CD=83,CD=-33(舍去∴景观桥CD的长为83米.(8分)20.【解题思路】(1)过点O作OD⊥AB于点D,交A'C于点E,则EC=DB=OO'=1.5米,ED=BC,解直角三角形AOD和A'OE得出OD与OE,从而求出BC;(2)先解直角三角形A'OE,得出A'E,然后求出B'C.(1)【参考答案】过点O作OD⊥AB于点D,交A'C于点E.根据题意可知,EC=DB=OO'=1.5米,ED=BC,∠A=45°,∠A'=30°,∠A'ED=∠ADO=90°.(2分)在Rt△AOD中,∵cosA=ADOA,OA=6米,∴AD=OD=32米在Rt△A'OE中,∵sinA'=OEOA',OA'=6米,∴OE=3∴BC=ED=OD-OE=(32-3)(米),故此重物在水平方向移动的距离BC是(32-3)米.(5分)(2)在Rt△A'OE中,A'E=OA'·cosA'=33(米).∴B'C=A'C-A'B'=A'E+CE-AB=A'E+CE-(AD+BD)=33+1.5-(