高考数学（文）培优增分一轮全国经典版培优讲义选修4－4　坐标系与参数方程第2讲参数方程

第2讲参数方程板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))(*)，如果对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数．考点2直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2－t))(t≥1)表示的曲线为直线．()(2)直线y＝x与曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosα，,y＝3sinα))(α为参数)的交点个数为1.()(3)直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋tcos30°，,y＝1＋tsin150°))(t为参数)的倾斜角α为30°.()(4)参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝5sinθ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ为参数且θ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))表示的曲线为椭圆．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．已知圆的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3ρcosα－4ρsinα－9＝0，则直线与圆的位置关系是()A．相切 B．相离C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心答案D解析圆的普通方程为x2＋y2＝4，直线的直角坐标方程为3x－4y－9＝0.圆心(0,0)到直线的距离d＝eq\f(|3×0－4×0－9|,\r(32＋－42))＝eq\f(9,5)<2，所以直线与圆相交．显然直线不过原点(0,0)，故选D.3．[2018·安徽模拟]以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝t－3))(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.eq\r(14)B．2eq\r(14)C.eq\r(2)D．2eq\r(2)答案D解析由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝eq\r(2)，故弦长＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).4．[2018·湖南模拟]在平面直角坐标系xOy中，若直线l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t－a))(t为参数)过椭圆C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ，,y＝2sinφ))(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．答案3解析由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为y＝x－a，椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a，所以a＝3.5．[2018·天津模拟]已知抛物线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.答案2解析由参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数)，p>0，可得曲线方程为y2＝2px(p>0)．∵|EF|＝|MF|，且|MF|＝|ME|(抛物线定义)，∴△MEF为等边三角形，E的横坐标为－eq\f(p,2)，M的横坐标为3.∴EM中点的横坐标为eq\f(3－\f(p,2),2)，与F的横坐标eq\f(p,2)相同．∴eq\f(3－\f(p,2),2)＝eq\f(p,2)，∴p＝2.6．[2015·湖北高考]在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t－\f(1,t)，,y＝t＋\f(1,t)))(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.答案2eq\r(5)解析因为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y＝3x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t－\f(1,t)，,y＝t＋\f(1,t)，))消去t得y2－x2＝4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x，,y2－x2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(3\r(2),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2)，,y＝－\f(3\r(2),2)，))不妨令Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(3\r(2),2)))，由两点间的距离公式得|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)＋\f(3\r(2),2)))2)＝2eq\r(5).板块二典例探究·考向突破考向参数方程与普通方程的互化例1[2017·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为eq\r(17)，求a.解(1)曲线C的普通方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(21,25)，,y＝\f(24,25).))从而C与l的交点坐标为(3,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,25)，\f(24,25))).(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝eq\f(|3cosθ＋4sinθ－a－4|,\r(17))＝eq\f(|5sinθ＋φ－a－4|,\r(17))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(3,4)))，当a≥－4时，d的最大值为eq\f(a＋9,\r(17)).由题设得eq\f(a＋9,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝8；当a＜－4时，d的最大值为eq\f(－a＋1,\r(17)).由题设得eq\f(－a＋1,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.触类旁通将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．【变式训练1】[2018·湖南长郡中学模拟]已知曲线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint))(t为参数)，C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝eq\f(π,2)，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t))(t为参数)距离的最小值．解(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1，C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝eq\f(π,2)时，P(－4,4)，又Q(8cosθ，3sinθ)，故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋4cosθ，2＋\f(3,2)sinθ))，又C3的普通方程为x－2y－7＝0，则M到C3的距离d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ－3sinθ－13|＝eq\f(\r(5),5)·|3sinθ－4cosθ＋13|＝eq\f(\r(5),5)|5sin(θ－φ)＋13|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中φ满足tanφ＝\f(4,3)))，所以d的最小值为eq\f(8\r(5),5).考向直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化例2[2018·宝鸡模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的eq\r(2)和2倍后得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝4.(1)试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．解(1)把C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，消去参数化为普通方程为x2＋y2＝1，故曲线C1的极坐标方程为ρ＝1.再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(2))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＝1，即eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1.故曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)．(2)直线l：ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝4，即eq\r(2)x＋y－4＝0，设点P(eq\r(2)cosθ，2sinθ)，则点P到直线的距离为d＝eq\f(|2cosθ＋2sinθ－4|,\r(2＋1))＝eq\f(2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－2)),\r(3))，故当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1时，d取得最小值，此时，θ＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，点P(1，eq\r(2))，故曲线C2上有一点P(1，eq\r(2))满足到直线l的距离的最小值为eq\f(4\r(3),3)－eq\f(2\r(6),3).触类旁通参数方程和直角坐标方程及极坐标方程之间的相互转化(1)把C1消去参数化为普通方程为x2＋y2＝1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程，再化为参数方程．(2)先求得直线l的直角坐标方程，设点P(eq\r(2)cosθ，2sinθ)，求得点P到直线的距离为d＝eq\f(2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－2)),\r(3))，故当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1时，即θ＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z时，点P到直线l的距离最小，从而求得P的坐标以及此最小值．【变式训练2】[2018·宜春模拟]在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosφ，,y＝2sinφ))(φ为参数)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝1＋sinφ))(φ为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C1和C2的极坐标方程；(2)射线OM：θ＝α与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|·|OQ|的最大值．解(1)圆C1eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosφ，,y＝2sinφ))(φ为参数)，转化成直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，转化成极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ，即ρ＝4cosθ圆C2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝1＋sinφ))(φ为参数)，转化成直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0转化成极坐标方程为ρ2＝2ρsinθ，即ρ＝2sinθ.(2)射线OM：θ＝α与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，设P，Q对应的极径分别为ρ1，ρ2，则|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4|sin2α|.∵(|sin2α|)max＝1，∴|OP|·|OQ|的最大值为4.考向直线的参数方程例3[2018·泉州模拟]已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－t，,y＝2＋t))(t是参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线C的极坐标方程为ρ＝4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设点P的直角坐标为(1,2)，直线l与曲线C的交点为A，B，试求|AB|及|PA|·|PB|的值．解(1)直线l的普通方程为x＋y－3＝0.ρ＝4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝4sinθ＋4cosθ，所以ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0(或写成(x－2)2＋(y－2)2＝8)．(2)直线l的参数方程可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)t′，,y＝2＋\f(\r(2),2)t′))(t′是参数)，把直线l的参数方程代入x2＋y2－4x－4y＝0得，t′2＋eq\r(2)t′－7＝0.设A，B对应的参数分别为t1′，t2′，则t1′＋t2′＝－eq\r(2)，t1′t2′＝－7，点P(1,2)显然在直线l上，故|AB|＝|t1′－t2′|＝eq\r(t1′＋t2′2－4t1′t2′)＝eq\r(30)，故|PA|·|PB|＝|t1′t2′|＝7.触类旁通直线的参数方程的标准形式过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即|t|＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为eq\f(1,2)(t1＋t2)．【变式训练3】[2018·哈尔滨模拟]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosφ，,y＝\r(3)＋tsinφ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t为参数，φ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))))，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，半径为2，直线l与圆C交于M，N两点．(1)求圆C的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．解(1)由已知，得圆心C的直角坐标为(1，eq\r(3))，半径为2，∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4，即x2＋y2－2x－2eq\r(3)y＝0，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴ρ2－2ρcosθ－2eq\r(3)ρsinθ＝0，故圆C的极坐标方程为ρ＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ)).(2)由(1)知，圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2eq\r(3)y＝0，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2＋tcosφ)2＋(eq\r(3)＋tsinφ)2－2(2＋tcosφ)－2eq\r(3)(eq\r(3)＋tsinφ)＝0，整理得，t2＋2tcosφ－3＝0，设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－2cosφ，t1·t2＝－3，∴|MN|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1·t2)＝eq\r(4cos2φ＋12)，∵φ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∴cosφ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∴|MN|∈[eq\r(13)，4]．考向极坐标、参数方程的综合应用例4[2018·盐城模拟]已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝eq\f(2,\r(1＋3cos2θ)).(1)直接写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)过曲线C上任意一点P作与直线l夹角为eq\f(π,3)的直线m，设直线m与直线l的交点为A，求|PA|的最大值．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t为参数)，得l的普通方程为2x＋y－6＝0，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ－6＝0，由曲线C的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos2θ＝4，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由(1)，知直线l的普通方程为2x＋y－6＝0，设曲线C上任意一点P(cosα，2sinα)，点P到直线l的距离d＝eq\f(|2cosα＋2sinα－6|,\r(5)).由题意得|PA|＝eq\f(d,sin60°)＝eq\f(4\r(15)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－3)),15)，∴当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为eq\f(4\r(15)3＋\r(2),15).触类旁通极坐标与参数方程综合应用中注意的问题(1)在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．(2)解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径．【变式训练4】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4t，,y＝4t2))(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＋2ρsinθ＋4＝0(ρ≥0)．(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)若A是曲线C1上的任意一点，B是曲线C2上的任意一点，求线段AB的最小值．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4t，,y＝4t2，))消去参数t，得曲线C1的普通方程为x2＝4y.将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入到ρcosθ＋2ρsinθ＋4＝0(ρ≥0)中，得x＋2y＋4＝0，即曲线C2的直角坐标方程为x＋2y＋4＝0.(2)解法一：因为A是曲线C1上的任意一点，B是曲线C2上的任意一点，所以线段AB的最小值，即与曲线C2平行的直线与曲线C1相切时，切点到曲线C2的距离，设切线的方程为x＋2y＋m＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,x＋2y＋m＝0，))消去y得x2＋2x＋2m＝0，所以Δ＝22－4×1×2m＝0，得m＝eq\f(1,2)，因此切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,4)))，其到直线C2的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1＋2×\f(1,4)＋4)),\r(12＋22))＝eq\f(7\r(5),10)，即|AB|min＝eq\f(7\r(5),10).解法二：因为A是曲线C1上的任意一点，B是曲线C2上的任意一点，所以可设点A(4t,4t2)，线段AB的最小值即点A到直线C2的距离d的最小值，所以d＝eq\f(|4t＋2×4t2＋4|,\r(12＋22))＝eq\f(4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,4)))2＋\f(7,8))),\r(5))，当t＝－eq\f(1,4)时，dmin＝eq\f(7\r(5),10)，即|AB|min＝eq\f(7\r(5),10).核心规律参数方程与普通方程互化的方法(1)参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法．(2)普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．满分策略参数方程应用中的注意事项(1)参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．(2)普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．(3)常见曲线的参数方程中的参数都有几何意义，注意利用几何意义常能够给解题带来方便.板块三模拟演练·提能增分[基础能力达标]1．[2017·江苏高考]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－8＋t，,y＝\f(t,2)))(t为参数)，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2s2，,y＝2\r(2)s))(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．解直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2eq\r(2)s)，从而点P到直线l的距离d＝eq\f(|2s2－4\r(2)s＋8|,\r(12＋－22))＝eq\f(2s－\r(2)2＋4,\r(5)).当s＝eq\r(2)时，dmin＝eq\f(4\r(5),5).因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值eq\f(4\r(5),5).2．[2017·全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝kt))(t为参数)，直线l2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋m，,y＝\f(m,k)))(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－eq\r(2)＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝eq\f(1,k)(x＋2)．设P(x，y)，由题设得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y＝\f(1,k)x＋2，))消去k得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2cos2θ－sin2θ＝4，,ρcosθ＋sinθ－\r(2)＝0))得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－eq\f(1,3)，从而cos2θ＝eq\f(9,10)，sin2θ＝eq\f(1,10).代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为eq\r(5).3．[2018·安阳模拟]已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标系方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋t，,y＝t))(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝eq\f(3π,4).(1)求圆C和直线l的极坐标方程；(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解(1)∵圆C的直角坐标系方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，∴圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ＝0，化简得ρ＋2cosθ－2sinθ＝0，即ρ＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))).∵直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋t，,y＝t))(t为参数)，消参得：x－y＋1＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋1＝0，即ρ＝eq\f(1,sinθ－cosθ).(2)当θ＝eq\f(3π,4)时，|OP|＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－\f(π,4)))＝2eq\r(2)，故点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(3π,4)))，|OQ|＝eq\f(1,sin\f(3π,4)－cos\f(3π,4))＝eq\f(1,\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2)，故点Q的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3π,4)))，|PQ|＝|OP|－|OQ|＝2eq\r(2)－eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3\r(2),2)故线段PQ的长为eq\f(3\r(2),2).4．[2018·长沙模拟]以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tsinφ，,y＝1＋tcosφ))(t为参数，0<φ<π)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tsinφ，,y＝1＋tcosφ))(t为参数，0<φ<π)，消去t，得xcosφ－ysinφ＋sinφ＝0，所以直线l的普通方程为xcosφ－ysinφ＋sinφ＝0.由ρcos2θ＝4sinθ，得(ρcosθ)2＝4ρsinθ，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得x2＝4y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.(2)将直线l的参数方程代入x2＝4y，得t2sin2φ－4tcosφ－4＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝eq\f(4cosφ,sin2φ)，t1t2＝－eq\f(4,sin2φ)，所以|AB|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝eq\r(\f(16cos2φ,sin4φ)＋\f(16,sin2φ))＝eq\f(4,sin2φ).当φ＝eq\f(π,2)时，|AB|取得最小值，最小值为4.5．[2018·榆林模拟]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acost，,y＝2sint))(t为参数，a>0)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－2eq\r(2).(1)设P是曲线C上的一个动点，当a＝2时，求点P到直线l的距离的最小值；(2)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．解