高考数学一轮复习第六章不等式课时训练

第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法一、填空题1.函数f(x)＝eq\r(3－2x－x2)的定义域为__________．答案：[－3，1]解析：由3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1.2.不等式eq\f(x＋5,x－1)≥0的解集是____________．答案：(－∞，－5]∪(1，＋∞)解析：由eq\f(x＋5,x－1)≥0，得(x＋5)(x－1)≥0且x－1≠0，解得x≤－5或x>1.3.不等式2x2－x<4的解集为________．答案：{x|－1＜x＜2}解析：由题意得x2－x<2⇒－1<x<2，解集为{x|－1＜x＜2}．4.不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析：不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16＞0，∴a＜－4或a＞4.5.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是__________．答案：(－2，2]解析：原不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，①当m＝2时，对任意x不等式都成立；②当m－2<0时，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，∴－2<m<2.综合①②，得m∈(－2，2]．6.已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．答案：(－5，0)∪(5，＋∞)解析：由已知得f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x，x≥0，,－x2－4x，x<0.))不等式f(x)>x等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x2－4x>x))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,－x2－4x>x，))解得x>5或－5<x<0.7.已知函数f(x)＝x2＋mx－1.若对于任意x∈[m，m＋1]都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))解析：二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）＝m2＋m2－1＜0，,f（m＋1）＝（m＋1）2＋m（m＋1）－1＜0，))解得－eq\f(\r(2),2)＜m＜0.8.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，x≥0，,－x2＋3x，x<0，))则不等式f(x)<f(4)的解集为________．答案：{x|x<4}解析：f(4)＝eq\f(4,2)＝2，不等式即为f(x)<2，当x≥0时，由eq\f(x,2)<2，得0≤x<4；当x<0时，由－x2＋3x<2，得x<1或x>2，因此x<0.综上，f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}．9.在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)，若∃x∈R使得(x－a)⊗(x＋a)＞1成立，则实数a的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析：∵∃x使得(x－a)⊗(x＋a)＞1⇒(x－a)(1－x－a)＞1，即∃x使得x2－x－a2＋a＋1＜0成立，∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＞0⇒4a2－4a－3＞0，解得a＞eq\f(3,2)或a＜－eq\f(1,2).10.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x（x≥0），,－x2＋x（x<0），))则不等式f(x2－x＋1)<12的解集是________．答案：{x|－1＜x＜2}解析：由函数图象知f(x)为R上的增函数且f(3)＝12，从而x2－x＋1＜3，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.二、解答题11.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)＞0；(2)若不等式f(x)＞b的解集为{x|－1＜x＜3}，求实数a，b的值．解：(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2eq\r(3)＜a＜3＋2eq\r(3)，∴不等式的解集为{a|3－2eq\r(3)＜a＜3＋2eq\r(3)}．(2)∵f(x)＞b的解集为{x|－1＜x＜3}，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－1）＋3＝\f(a（6－a）,3)，,（－1）×3＝\f(6－b,－3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3，))即a的值为3＋eq\r(3)或3－eq\r(3)，b的值为－3.12.已知a∈R，解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.解：原不等式等价于(ax－2)(x－2)>0，以下分情况进行讨论：(1)当a＝0时，x<2.(2)当a<0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x－2)<0，由eq\f(2,a)<0<2知eq\f(2,a)<x<2.(3)当a>0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x－2)>0，考虑eq\f(2,a)－2＝2·eq\f(1－a,a)的正负：①当0<a<1时，eq\f(2,a)>2，故x<2或x>eq\f(2,a)；②当a＝1时，eq\f(2,a)＝2，故x≠2；③当a>1时，eq\f(2,a)<2，故x<eq\f(2,a)或x>2.综上所述，当a<0时，该不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(2,a)＜x＜2))；当a＝0时，该不等式的解集为{x|x＜2}；当0<a<1时，该不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜2或x＞\f(2,a)))；当a≥1时，该不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(2,a)或x＞2)).13.已知不等式mx2－2x＋m－2＜0.(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．解：(1)对所有实数x，都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方，当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；当m≠0时，由二次函数的图象可知有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝4－4m（m－2）<0，))解得m<1－eq\r(2)，综上可知m的取值范围是(－∞，1－eq\r(2))．(2)设g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x2＋1>0知g(m)在[－2，2]上为增函数，则由题意只需g(2)<0即可，即2x2＋2－2x－2<0，解得0<x<1，所以x的取值范围是(0，1)．第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划一、填空题1.若点(m，1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是____________．答案：(1，＋∞)解析：由2m＋3－5>0，得m>1.2.不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤－x＋2，,y≤x－1，,y≥0))所表示的平面区域的面积为_______________.答案：eq\f(1,4)解析：作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2，,y＝x－1，))得yD＝eq\f(1,2)，所以S△BCD＝eq\f(1,2)×(xC－xB)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).3.若实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤4，,x＋3y≤7，,x≥0，,y≥0，))则z＝3x＋2y的最大值为________．答案：7解析：由约束条件作出可行域，可知当过点(1，2)时z＝3x＋2y的最大值为7.4.已知不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≥－1，,y≥0))所表示的平面区域为D.若直线y＝kx－3与平面区域D有公共点，则k的取值范围是________．答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)解析：依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示，注意到y＝kx－3过定点(0，－3)，∴斜率的两个端点值为－3，3，两斜率之间存在斜率不存在的情况，∴k的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．5.若x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0，))则z＝3x－4y的最小值为________．答案：－1解析：目标函数即y＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)z，其中z表示斜率为k＝eq\f(3,4)的直线系与可行域有交点时直线的截距值的eq\f(1,4)，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点A(1，1)处取得最小值z＝3x－4y＝－1.6.已知实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥1，,y≤2x－1,x＋y≤m.))，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________．答案：5解析：画出可行域便知，当直线x－y－z＝0通过直线y＝2x－1与x＋y＝m的交点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,3)，\f(2m－1,3)))时，函数z＝x－y取得最小值，∴eq\f(m＋1,3)－eq\f(2m－1,3)＝－1，解得m＝5.7.若变量x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))则x2＋y2的最大值是________．答案：10解析：可行域如图所示，设z＝x2＋y2，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－3y＝9，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))由图可知，当圆x2＋y2＝z过点(3，－1)时，z取得最大值，即(x2＋y2)max＝32＋(－1)2＝10.8.若x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2，))目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a的取值范围是________．答案：(－4，2)解析：可行域为△ABC，如图，当a＝0时，显然成立．当a＞0时，直线ax＋2y－z＝0的斜率k＝－eq\f(a,2)＞kAC＝－1，a＜2.当a＜0时，k＝－eq\f(a,2)＜kAB＝2，∴a＞－4.综合得－4＜a＜2.9.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元．甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128答案：18解析：设每天甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，,y≥0，))目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝8，,3x＋2y＝12，))得A(2，3)，则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．10.设m为实数，若{(x，y)|eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－2y＋5≥0，,3－x≥0，,mx＋y≥0))⊆{(x，y)|x2＋y2≤25}，则m的取值范围是________．答案：[0，eq\f(4,3)]解析：由题意知，可行域应在圆内，如图，如果－m>0，则可行域取到x＜－5的点，不在圆内，故－m≤0，即m≥0.当mx＋y＝0绕坐标原点旋转时，直线过B点时为边界位置．此时－m＝－eq\f(4,3)，∴m＝eq\f(4,3)，∴0≤m≤eq\f(4,3).二、解答题11.某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解：设A型、B型车辆分别为x，y辆，相应营运成本为z元，则z＝1600x＋2400y.由题意，得x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤21，,y≤x＋7，,36x＋60y≥900，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上的截距eq\f(z,2400)最小，即z取得最小值，故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．12.某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，则线性约束条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9x＋4y≤300，,4x＋5y≤200，,3x＋10y≤300，,x≥15，,y≥15，))目标函数为z＝7x＋12y，作出可行域如图，作出一组平行直线7x＋12y＝t，当直线经过直线4x＋5y＝200和直线3x＋10y＝300的交点A(20，24)时，利润最大，即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，zmax＝7×20＋12×24＝428(万元)．答：每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大．13.变量x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))(1)设z＝eq\f(y,x)，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．解：由约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,3x＋5y－25＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(22,5))).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))解得C(1，1)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5，2)．(1)∵z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0)，∴z的值是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝eq\f(2,5).(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝eq\r(2)，dmax＝|OB|＝eq\r(29)，故z的取值范围是[2，29]．(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝eq\r(（－3－5）2＋（2－2）2)＝8，故z的取值范围是[16，64]．第3课时基本不等式一、填空题1.已知x>eq\f(5,4)，则函数y＝4x＋eq\f(1,4x－5)的最小值为________．答案：7解析：y＝4x＋eq\f(1,4x－5)＝(4x－5)＋eq\f(1,4x－5)＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x－5＝eq\f(1,4x－5)，即x＝eq\f(3,2)时取等号．2.设x＞－1，则函数y＝eq\f(（x＋5）（x＋2）,x＋1)的最小值为________．答案：9解析：因为x>－1，所以x＋1>0.设x＋1＝z＞0，则x＝z－1，所以y＝eq\f(（z＋4）（z＋1）,z)＝eq\f(z2＋5z＋4,z)＝z＋eq\f(4,z)＋5≥2eq\r(z·\f(4,z))＋5＝9，当且仅当z＝2，即x＝1时取等号，所以当x＝1时，函数y有最小值9.3.若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为________．答案：2eq\r(2)解析：依题意知a＞0，b＞0，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))＝eq\f(2\r(2),\r(ab))，当且仅当eq\f(1,a)＝eq\f(2,b)，即b＝2a时等号成立．因为eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，所以eq\r(ab)≥eq\f(2\r(2),\r(ab))，即ab≥2eq\r(2)，所以ab的最小值为2eq\r(2).4.已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为__________．答案：2eq\r(6)－3解析：由xy＋2x＋y＝4，解得y＝eq\f(4－2x,x＋1)，则x＋y＝x－2＋eq\f(6,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(6,x＋1)－3≥2eq\r(6)－3，当且仅当x＋1＝eq\f(6,x＋1)，即x＝eq\r(6)－1时等号成立．所以x＋y的最小值为2eq\r(6)－3.5.已知正实数x，y满足(x－1)(y＋1)＝16，则x＋y的最小值为__________．答案：8解析：由题知x－1＝eq\f(16,y＋1)，从而x＋y＝eq\f(16,y＋1)＋(y＋1)≥2eq\r(16)＝8，当且仅当y＋1＝eq\f(16,y＋1)，即y＝3时取等号．所以x＋y的最小值为8.6.已知正数x，y满足x＋2y＝2，则eq\f(x＋8y,xy)的最小值为__________．答案：9解析：eq\f(x＋8y,xy)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(8,x)))(x＋2y)＝eq\f(1,2)(2＋8＋eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)·16)≥eq\f(1,2)(10＋2eq\r(16))＝eq\f(1,2)×18＝9，当且仅当eq\f(x,y)＝4，x＋2y＝2，即y＝eq\f(1,3)，x＝eq\f(4,3)时等号成立．7.若x>0，y>0，则eq\f(x,x＋2y)＋eq\f(y,x)的最小值为________．答案：eq\r(2)－eq\f(1,2)解析：(解法1)设t＝eq\f(y,x)(t>0)，则eq\f(x,x＋2y)＋eq\f(y,x)＝eq\f(1,1＋2t)＋t＝eq\f(1,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))－eq\f(1,2)≥2eq\r(\f(1,2))－eq\f(1,2)＝eq\r(2)－eq\f(1,2)，当且仅当t＝eq\f(\r(2)－1,2)，即eq\f(y,x)＝eq\f(\r(2)－1,2)时等号成立.(解法2)设t＝eq\f(x,y)(t>0)，令eq\f(x,x＋2y)＋eq\f(y,x)＝eq\f(t,t＋2)＋eq\f(1,t)＝f(t)，则f′(t)＝eq\f(（t－2）2－8,t2（t＋2）2)，易知当t＝2＋2eq\r(2)时，f(t)min＝eq\r(2)－eq\f(1,2).8.已知x＞0，y＞0，若不等式x3＋y3≥kxy(x＋y)恒成立，则实数k的最大值为________．答案：1解析：由题设知k≤eq\f(（x＋y）（x2－xy＋y2）,（x＋y）xy)，∴k≤eq\f(x2－xy＋y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)－1恒成立．∵eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)－1≥2－1＝1，当且仅当x＝y时等号成立，从而k≤1，即k的最大值为1.9.已知正数x，y满足eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝1，则eq\f(4x,x－1)＋eq\f(9y,y－1)的最小值为________．答案：25解析：由eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝1，得x＋y＝xy，eq\f(4x,x－1)＋eq\f(9y,y－1)＝eq\f(4（x－1）＋4,x－1)＋eq\f(9（y－1）＋9,y－1)＝13＋eq\f(4,x－1)＋eq\f(9,y－1)＝13＋eq\f(9x＋4y－13,xy－x－y＋1)＝9x＋4y＝(9x＋4y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝13＋eq\f(4y,x)＋eq\f(9x,y)≥13＋2eq\r(36)＝25，当且仅当eq\f(x,y)＝eq\f(2,3)时等号成立．10.若不等式x2－2y2≤cx(y－x)对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为________．答案：2eq\r(2)－4解析：由题意可得c≤eq\f(x2－2y2,xy－x2)＝eq\f(\f(x2－2y2,x2),\f(xy－x2,x2))＝eq\f(1－\f(2y2,x2),\f(y,x)－1)，令eq\f(y,x)＝t，则0<t<1，故c≤eq\f(1－2t2,t－1)＝eq\f(2t2－1,1－t)；令u＝1－t，则0<u<1，故c≤eq\f(2t2－1,1－t)＝eq\f(2（1－u）2－1,u)＝－4＋2u＋eq\f(1,u)，得－4＋2u＋eq\f(1,u)的最小值为2eq\r(2)－4，故实数c的最大值为2eq\r(2)－4.二、解答题11.设x≥0,y≥0，x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值．解：∵x≥0,y≥0,x2＋eq\f(y2,2)＝1，∴xeq\r(1＋y2)＝eq\r(x2（1＋y2）)＝eq\r(2x2×\f(1＋y2,2))≤eq\r(2)×eq\f(x2＋\f(1＋y2,2),2)＝eq\r(2)×eq\f(x2＋\f(y2,2)＋\f(1,2),2)＝eq\f(3\r(2),4).当且仅当x2＝eq\f(1＋y2,2)，即x＝eq\f(\r(3),2)，y＝eq\f(\r(2),2)时，xeq\r(1＋y2)取得最大值eq\f(3\r(2),4).12.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(1)求S关于x的函数解析式；(2)求S的最大值．解：(1)由题设，得S＝(x－8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(900,x)－2))＝－2x－eq\f(7200,x)＋916，x∈(8，450)．(2)因为8<x<450，所以2x＋eq\f(7200,x)≥2eq\r(2x×\f(7200,x))＝240，当且仅当x＝60时等号成立．从而S≤676.故当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为67613.某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x(x>0，x∈N)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,50)))(a>0)万元．(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工的农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求实数a的最大值．解：(1)由题意得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，即x2－50x≤0，解得0≤x≤50.因为x>0，所以0<x≤50，x∈N.(2)从事蔬菜加工的农民的年总收入为3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,50)))x万元，从事蔬菜种植的农民的年总收入为3(100－x)(1＋2x%)万元，根据题意，得3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,50)))x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，即ax≤100＋x＋eq\f(x2,25)恒成立．又x>0，所以a≤eq\f(100,x)＋eq\f(x,25)＋1恒成立，而eq\f(100,x)＋eq\f(x,25)＋1≥5(当且仅当x＝50时取等号)，所以a的最大值为5.第4课时不等式的综合应用一、填空题1.已知log2x＋log2y＝1，则x＋y的最小值为________．答案：2eq\r(2)解析：由log2x＋log2y＝1得x>0，y>0，xy＝2，x＋y≥2eq\r(xy)＝2eq\r(2).2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是________．答案：(－∞，－2]解析：∵2x＋2y≥2eq\r(2x＋y)，且2x＋2y＝1，∴2x＋y≤eq\f(1,4)，∴x＋y≤－2.3.设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．答案：eq\f(\r(5)－1,2)解析：由x2＋2xy－1＝0，得y＝eq\f(1－x2,2x).故x2＋y2＝x2＋eq\f(x4－2x2＋1,4x2)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x2＋\f(1,x2)))－eq\f(1,2)≥eq\f(\r(5)－1,2).4.已知实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x－y－1≤0，,x＋y＋1≥0，))则z＝eq\f(y,x＋1)的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))解析：作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，z＝eq\f(y,x＋1)的几何意义为区域内的点与点P(－1，0)的连线的斜率k，由图象，得－1≤k≤eq\f(1,2).5.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝eq\f(2,x)的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．答案：4解析：P，Q两点关于原点O对称，设P(m，n)为第一象限内的点，则m＞0，n＞0，n＝eq\f(2,m)，所以PQ2＝4OP2＝4(m2＋n2)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋\f(4,m2)))≥16，当且仅当m2＝eq\f(4,m2)，即m＝eq\r(2)时取等号．故线段PQ长的最小值是4.6.若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a＞1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值为________．答案：27解析：∵ab－4a－b＋1＝0，∴b＝eq\f(4a－1,a－1)，ab＝4a＋b－1.∴(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋eq\f(4a－1,a－1)·2＋1＝6a＋eq\f([4（a－1）＋3]×2,a－1)＋1＝6a＋8＋eq\f(6,a－1)＋1＝6(a－1)＋eq\f(6,a－1)＋15.∵a＞1，∴a－1＞0.∴原式＝6(a－1)＋eq\f(6,a－1)＋15≥2eq\r(6×6)＋15＝27.当且仅当(a－1)2＝1，即a＝2时等号成立．∴(a＋1)(b＋2)的最小值为27.7.已知x，y为正实数，则eq\f(4x,4x＋y)＋eq\f(y,x＋y)的最大值为______．答案：eq\f(4,3)解析：设m＝4x＋y＞0，n＝x＋y＞0，则x＝eq\f(m－n,3)，y＝eq\f(4n－m,3)，eq\f(4x,4x＋y)＋eq\f(y,x＋y)＝eq\f(8,3)－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4n,m)＋\f(m,n)))≤eq\f(8,3)－eq\f(4,3)＝eq\f(4,3).8.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≤b)的值域为[0，＋∞)，则eq\f(b－a,a＋b＋c)的最大值是________．答案：eq\f(1,3)解析：由题意可得b2－4ac＝0，且b≥a>0，则eq\f(c,a)＝eq\f(b2,4a2).令y＝eq\f(b－a,a＋b＋c)，则y＝eq\f(b－a,a＋b＋c)＝eq\f(\f(b,a)－1,\f(c,a)＋\f(b,a)＋1)＝eq\f(\f(b,a)－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)))\s\up12(2)＋\f(b,a)＋1)，令t＝eq\f(b,a)，则t≥1，则y＝eq\f(4（t－1）,t2＋4t＋4)，再令t－1＝u，则y＝eq\f(4u,u2＋6u＋9)，当u>0时，y＝eq\f(4,u＋\f(9,u)＋6)≤eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，当且仅当u＝3时等号成立，即eq\f(b－a,a＋b＋c)的最大值是eq\f(1,3).9.已知函数f(x)＝|x|＋|x－2|，则不等式f(x2＋6)>f(5x)的解集是________．答案：(－∞，－4)∪(－1，2)∪(3，＋∞)解析：因为当x>2时，f(x)单调递增，当x<0时，f(x)单调递减，且f(x)＝f(2－x)．因此不等式f(x2＋6)>f(5x)等价于2－(x2＋6)<5x<x2＋6，解得x>3或x<－4或－1<x<2，即所求不等式的解集为(－∞，－4)∪(－1，2)∪(3，＋∞)．10.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋2，x≤2，,log2x，x>2，))若∃x0∈R，使得f(x0)≤5m－4m2成立，则实数m的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))解析：函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋2，x≤2，,log2x，x>2，))当x≤2时，f(x)＝(x－1)2＋1≥1；当x>2时，f(x)＝log2x>1，故函数f(x)的最小值为1，所以5m－4m2≥1，解得eq\f(1,4)≤m≤1.二、解答题11.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈(1，3)时，有f(x)≤eq\f(1,8)(x＋2)2成立．(1)求证：f(2)＝2；(2)若f(－2)＝0，求f(x)的解析式．(1)证明：由条件知f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立，又取x＝2时，f(2)＝4a＋2b＋c≤eq\f(1,8)×(2＋2)2＝2恒成立，∴f(2)＝2.(2)解：∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝2，,4a－2b＋c＝0，))∴4a＋c＝2b＝1，∴b＝eq\f(1,2)，c＝1－4a.又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立．∴a>0，Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))eq\s\up12(2)－4a(1－4a)≤0，解得a＝eq\f(1,8)，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\f(1,8)x2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2).12.某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w＝4－eq\f(3,x＋1)，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)．(1)求利润L(x)的函数解析式，并写出定义域．(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)L(x)＝16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,x＋1)))－x－2x＝64－eq\f(48,x＋1)－3x(0≤x≤5)．(2)L(x)＝64－eq\f(48,x＋1)－3x＝67－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(48,x＋1)＋3（x＋1）))≤67－2eq\r(\f(48,x＋1)·3（x＋1）)＝43.当且仅当eq\f(48,x＋1)＝3(x＋1)，即x＝3时取等号．故L(x)max＝43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300元．13.如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪