湖北省荆州市沙市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

沙市一中2024年秋季学期高二期中考试数学试卷命题人：邓芳芳审题人：张强一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直线方程，结合斜率与倾斜角关系求倾斜角的大小.【详解】由直线方程为，即斜率为，若倾斜角为，则，故.故选：B2.在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】根据给定条件，利用空间直角坐标系中点坐标公式求解即得.【详解】依题意，点，则线段的中点坐标是.故选：B3.李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，根据独立事件概率乘法公式结合对立事件运算求解.【详解】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，记“3次摸取的颜色不全相同”为事件A，则，所以.故选：B.4.已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据垂直得到，由点斜式可求直线的方程.【详解】直线的方程为，则，根据两直线垂直知所求直线斜率为，又直线过点，所以与直线垂直的线方程为，即.故选：B.5.空间四边形OABC中，，，，点M，N分别为OA，BC中点，则等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由N为BC中点，可得，由M为OA的中点，可得，利用，即可求出结果.【详解】为BC中点，，为OA的中点，，.故选：B6.已知点，点在直线上，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】确定点到直线的距离，即为的最小值，利用点到直线的距离公式即可求得答案.【详解】由题意可知点到直线的距离，即为的最小值，所以的最小值为，故选：B.7.已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】联立两圆方程，求出交点的坐标，得的垂直平分线方程，与直线联立即可求解.【解答】设圆与圆的交点为联立两圆方程，得，解得，或不妨记，，于是的中点为，从而可得AB的垂直平分线方程为，即，联立与，得，解得，即圆心坐标为.故选：D8.如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值.【详解】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值,而点在线段上，直线与互为异面直线，因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离.下面用向量法求异面直线与的距离：以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，,,，，,设异面直线与公垂线的方向向量为，则，即，得，令，则，即，于是异面直线与的距离为，又，所以面积的最小值为.故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.事件A，B的概率分别为：，，则（）A.若A，B为互斥事件，B.C若A，B相互独立，D.若，则A，B相互独立【答案】AD【解析】【分析】利用互斥事件的定义及性质判断A选项；利用和事件的关系判断B选项；利用相互独立事件的定义及性质判断C选项；利用条件概率公式，求解事件A与B的积事件，根据独立事件关系确定A、B的独立性可判断D.【详解】选项A：若A，B为互斥事件，则，所以，故A正确；选项B：，故B错误；选项C：若A，B相互独立，所以，故C错误；选项D：因为，所以，则A，B相互独立，故D正确；故选：AD.【点睛】关键点点睛：通常判断两个事件是否相互独立，常用以下两种方法：1、事件独立性的定义：如果事件A和事件B相互不影响，则称事件A和事件B是相互独立的；2、乘法原理：如果事件A和事件B是相互独立，则它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.10.已知实数，满足方程，则下列说法不正确的是（）A.的最大值为 B.的最大值为C.的最大值为 D.的最大值为【答案】CD【解析】【分析】设，则只需直线与圆有公共点，利用点到直线的距离公式可得不等式求得z的范围，可判断A；同理可判断D；设，利用几何意义求得t的范围判断B；设，则直线和圆有公共点，进而可得不等式求得k的范围判断C.【详解】由题意知方程即表示圆，圆心为，半径为，对于A，设，则只需直线与圆有公共点，则，解得，即的最大值为，A正确；对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，而上的点到原点距离的最大值为，即t的最大值为，故的最大值为，B正确；对于C，设，则，则直线和圆有公共点，则，解得，即的最大值为，C错误；对于D，设，则直线与圆有公共点，则，解得，即的最大值为，D错误；故选：CD11.已知空间四面体OABC，则（）A.当，则点P在平面ABC内B.若该四面体的棱长都为a，则异面直线OA，BC间的距离为C.若M为AB中点，则直线OC上存在点N，使得D.若，，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A：根据四点共面的结论分析判断；对于B：将正四面体嵌套在正方体内，结合正方体的性质分析判断；对于C：分类讨论点N是否与点O重合，结合异面直线的判定定理分析判断；对于D：根据空间向量的数量积运算结合向量垂直分析判断.【详解】对于A：若，且，所以四点共面，即点P在平面ABC内，故A正确；对于B：若该四面体的棱长都为a，可知四面体OABC为正四面体，将其嵌套在正方体内，如图所示：可知正方体的棱长为，异面直线OA，BC间的距离即为正方体的棱长，故B正确；对于C：因点N在直线OC上，若点N与点O重合，则，不满足；若点N与点O不重合，则平面OBC，平面，，可知为异面直线，不满足；综上所述：直线OC上不存在点N，使得，故C错误；对于D：若，，则即，即∴，可得，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则__________.【答案】.【解析】【分析】本道题关键抓住，代入向量的坐标，计算，即可．【详解】，即可．【点睛】本道题考查了向量的坐标运算，考查了向量的加减法，难度较容易．13.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.故答案为：.解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率故答案为：14.过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为______.【答案】##【解析】【分析】由得出点在以为直径的圆上是关键，通过两圆方程相减得到直线的方程，从而求出面积的表达式，运用函数思想求解即得.【详解】如图，设点，因,故点在以为直径的圆上，因圆心，半径为，故圆的方程为：，又圆：，将两式左右分别相减，整理得直线的方程为：，于是，点到直线的距离为：，，故的面积为：，不妨设则，且，故，因在上单调递增，故，此时，即时，点时，面积的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，.（1）求证：是平面的法向量；（2）求平行四边形的面积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【详解】试题分析：(1)由题意结合空间向量数量积的运算法则计算可得，.则，，结合线面垂直的判断定理可得平面，即是平面的法向量.(2)利用平面向量的坐标计算可得，，，则，，.试题解析：（1）∵，.∴，，又，∴平面，∴是平面的法向量.（2）∵，，∴，∴，故，.16.已知点、、，点是线段的中点，，垂足为.（1）求直线的方程；（2）求点的坐标；（3）求的面积.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出线段的中点的坐标，利用两点式可得出直线的方程；（2）求出直线的方程，将直线、的方程联立，即可解得点的坐标；（3）求出、，由可得结果.【小问1详解】解：因为、，所以的中点为，所以直线的方程为，即.【小问2详解】解：由（1）知，因为，所以，所以直线方程为，即.联立，解得，所以点的坐标为.【小问3详解】解：因为，，所以.17.某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛.决赛阶段进行线上答题.题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立.选择题答对得5分，否则得0分；填空题答对得4分，否则得0分，将得分逐题累加.（1）若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为45，，23.求他得分不低于10（2）规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止.已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为.小红依次做一道选择题两道填空题，求小红通过考试的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】由相互独立事件的概率乘法公式求解即可【小问1详解】记“他得分不低于10分”为事件，则，即得分不低于10分的概率；【小问2详解】记“小红通过考试”为事件，则，即小红通过考试的概率为.18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，边长是，侧棱底面，，是的中点，作交于点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求平面与平面的夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）连接，利用中位线可证线线平行，进而可证线面平行；（2）根据线面垂直及正方形可证平面，即，再由，可得证；（3）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，进而可得面面角.【小问1详解】连接，设，连接，则为中点，又是的中点，，又平面，平面，平面；【小问2详解】底面，底面，，又是正方形，，又，平面，且，平面，平面，，，，，平面，，平面，平面，，，且，，平面，平面；【小问3详解】由（2）得平面，则平面，所以可以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，即，，，设平面法向量，则，令，则，设平面的法向量，则，令，则，所以，即平面与平面夹角余弦值为，所以平面与平面夹角为.19.已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点.（1）当时，求AB的长；（2）是否存在弦AB被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；（3）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.并计算出定值.【答案】（1）（2）存在，（3）证明见解析，【解析】【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可；（2）假设存在，求出弦心距，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解；（3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明.【小问1详解】因为，所以，直线的方程为，圆的圆心为，半