专题13 导数的应用-函数的极值问题-2025年高考数学二轮复习考点突破(原卷)

高中数学精编资源2/2专题13导数的应用--函数的极值问题5题型分类1、函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．（一）函数极值、极值点的辨识解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．题型1：函数极值、极值点的辨识1-1．（2024·辽宁）设函数满足则时，A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值1-2．（2024高三·全国·专题练习）已知e为自然对数的底数,设函数,则．A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值1-3．（2024·陕西）设函数f（x）=+lnx，则（）A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点C．x=2为f(x)的极大值点 D．x=2为f(x)的极小值点题型2：函数(导函数)的图象与极值(点)关系2-1．（2024·重庆）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值2-2．（2024高二下·黑龙江鹤岗·期中）函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内极小值点的个数是（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2-3．（2024高二上·陕西汉中·期末）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．函数在区间上单调递增B．函数在区间上单调递减C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极大值2-4．（2024高三上·四川自贡·阶段练习）已知函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内的极小值有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（二）求已知函数的极值、极值点1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．注：（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．题型3：求已知函数的极值、极值点3-1．（2024·重庆）设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数极值．3-2．（2024高二下·重庆巫溪·期中）已知函数．(1)若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；(2)求函数的极值．3-3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.求的极值；3-4．（2024·广西南宁·一模）设函数，，为的导函数．(1)当时，过点作曲线的切线，求切点坐标；(2)若，，且和的零点均在集合中，求的极小值．3-5．（2024·河北·模拟预测）已知函数．(1)证明：当时，有唯一的极值点为，并求取最大值时的值；(2)当时，讨论极值点的个数．（三）根据函数的极值、极值点求参数根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.题型4：根据函数的极值求参数4-1．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数．(1)若在上存在单调减区间，求实数的取值范围；(2)若在区间上有极小值，求实数的取值范围．4-2．（2024·湖南·模拟预测）已知函数在处取得极大值4，则（

）A．8 B． C．2 D．4-3．（2024高三下·贵州·阶段练习）已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．4-4．（2024·陕西商洛·三模）若函数无极值，则的取值范围为（

）A． B．C． D．4-5．（2024高三下·湖南长沙·阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5题型5：根据函数的极值点求参数5-1．（2024高三上·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数为实数．(1)时，求的极小值点；(2)若是的极小值点，求的取值范围．5-2．（2024高三上·河南洛阳·开学考试）已知函数(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若是的极大值点，求的取值范围.5-3．（2024高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数存在唯一的极值点，求实数a的取值范围．5-4．（2024高二下·江苏南通·期末）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．5-5．（2024高三下·江苏南京·开学考试）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（

）A． B．C． D．一、单选题1．（2024·全国）若是函数的极值点，则的极小值为．A． B． C． D．2．（2024高二下·安徽亳州·期末）设函数一定正确的是（）A． B．C． D．3．（2024高三上·全国·单元测试）设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．4．（2024高三·全国·课后作业）已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)5．（2024·吉林通化·模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（

）A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值6．（2024高二下·河北秦皇岛·期末）已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则极值点的个数为（

）

A．1 B．2 C．3 D．47．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（

）A．是函数的极小值点B．是函数的极大值点C．函数在上单调递增D．函数在处的切线斜率小于零8．（2024·陕西）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A．是的零点 B．1是的极值点C．3是的极值 D．点在曲线上9．（2024高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数，则的极小值为（

）A． B． C． D．10．（2024高三·全国·专题练习）函数的大致图像如图所示，，是函数的两个极值点，则等于（

）

A． B． C． D．11．（2024高二下·吉林长春·阶段练习）已知实数成等比数列，且曲线的极大值点为，极大值为，则等于（

）A．2 B． C． D．112．（2024高二下·新疆昌吉·期末）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①x=-2是函数的极值点；②x=1是函数的极值点；③的图象在处切线的斜率小于零；④函数在区间上单调递增．则正确命题的序号是（

）A．①② B．②④ C．②③ D．①④13．（2024高二下·全国·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A．是的极小值点 B．是的极小值点C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零14．（2024高三上·湖北武汉·阶段练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（

）个单调区间.A．3 B．4 C．5 D．615．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（

）A．B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D．函数的最小值为16．（2024·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、多选题17．（2024·全国·模拟预测）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）

A．有两个极值点 B．为函数的极大值C．有两个极小值 D．为的极小值18．（2024·全国）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点19．（2024·全国）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A． B． C． D．20．（江西省丰城中学2024届高三上学期入学考试数学试题）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（

）

A．的单调递增区间是B．是的极小值点C．在区间上是减函数，在区间上是增函数D．是的极小值点21．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数和的图像都是上连续不断的曲线，如果，当且仅当时，那么下列情形可能出现的是（

）A．1是的极大值，也是的极大值 B．1是的极大值，也是的极小值C．1是的极小值，也是的极小值 D．1是的极小值，也是的极大值22．（2024高二下·福建厦门·期末）函数的导函数的图象如图所示，则（

）

A．在区间上单调递减B．在处取得极大值C．在区间上有2个极大值点D．在处取得最大值23．（2024高三上·广西百色·阶段练习）函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．24．（2024·全国）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线25．（2024高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．在上有两个极值点 B．在处取得最小值C．在处取得极小值 D．函数在上有三个不同的零点26．（2024高三上·福建福州·阶段练习）函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A．为函数的零点 B．为函数的极小值点C．函数在上单调递减 D．是函数的最大值三、填空题27．（2024高三·全国·专题练习）函数的极大值点和极大值分别为，28．（2024·全国）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是．29．（2024高三·全国·专题练习）函数的极大值为；极小值为.30．（2024高二下·陕西渭南·期末）已知函数，在时有极大值，则的极大值为31．（2024高三上·贵州遵义·阶段练习）函数的极值点的个数为.32．（安徽省池州市贵池区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题）已知函数在时有极值为0，则.33．（2024高三上·新疆伊犁·阶段练习）已知函数有两个极值点，则的取值范围为.四、解答题34．（2024·北京）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．35．（2024高二下·福建龙岩·期中）设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数（1）求b、c的值．（2）求g（x）的单调区间与极值．36．（2007·安徽）设函数，其中．将的最小值记为．(1)求的表达式；(2)讨论在区间内的单调性并求极值．37．（2024·山东）设函数，其中．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．38．（2024·福建）已知函数的图象过点，且函数的图象关于轴对称.(1)求的值及函数的单调区间；(2)若，求函数在区间内的极值.39．（2024高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数，.(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；(2)求函数的极值.40．（2024高二下·湖南长沙·期中）设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1，（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)的极值．41．（2024·全国）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.42．（2024·北京）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.43．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，.(1)当时，求在上的值域；(2)若的极大值为4，求实数的值.44．（2024·北京）设函数=[]．（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；（2）若在处取得极小值，求的取值范围．45．（2024高三上·湖南·开学考试）已知函数，．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若存在极值点，且，求的值