《1 平行四边形的性质》（同步训练）初中数学八年级下册-北师大版-2024-2025学年

《1平行四边形的性质》同步训练(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、在平行四边形ABCD中，如果∠B的度数是60°，那么∠A的度数是：A.120°B.60°C.30°D.90°2、如果平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AC的长度是BD的两倍，那么下列哪个选项是正确的？A.AB=CDB.AB=ADC.AC=BDD.AB=BC3、在平行四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交于点O，已知OA=6cm，OB=4cm，那么AB的长度可能是以下哪个值？A.10cmB.8cmC.5cmD.12cm4、在平行四边形EFGH中，如果∠E=50°，那么∠G的度数是以下哪个值？A.130°B.50°C.80°D.40°5、在下列图形中，不属于平行四边形的是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.三角形6、下列关于平行四边形性质的描述，错误的是（）A.对边平行B.对角相等C.邻角互补D.对角线互相平分7、已知在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=70°，那么∠C的度数是：A.70°B.110°C.120°D.50°8、在平行四边形ABCD中，若AB=CD，那么下列哪个结论一定成立？A.∠A=∠CB.∠B=∠DC.∠A=∠DD.∠B=∠C9、在下列四边形中，一定是平行四边形的是（）A.对边相等的四边形B.对角相等的四边形C.对角线互相平分的四边形D.四边相等的四边形10、在平行四边形ABCD中，已知AB=10cm，AD=8cm，对角线AC与BD相交于点O。如果三角形AOB的面积为30cm²，那么三角形COD的面积是多少？A.20cm²B.24cm²C.30cm²D.40cm²二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：在平行四边形ABCD中，已知AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=60°，求对角线AC的长度。第二题：在平行四边形ABCD中，已知AD=BC=8cm，AB=CD=6cm，角DAB=60°。求平行四边形ABCD的对角线AC的长度。第三题：在平行四边形ABCD中，已知AD=BC=8cm，AB=CD=10cm，∠DAB=60°。求对角线BD和AC的长度。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知平行四边形ABCD，点E是AD的延长线上，且AE=CD，BE是平行于CD的直线，交AD的延长线于点F。求证：四边形ABEF是平行四边形。第二题：已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是边AD的延长线上的一点，使得BF=2FD。求证：EF平行于AB。第三题：已知平行四边形ABCD中，∠ABC=70°，E是AD的延长线上一点，使得BE平行于CD。求证：∠ABE=70°。因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，∠ABC=∠C。由于BE∥CD，根据同位角相等，可得∠ABC=∠EBD。已知∠ABC=70°，所以∠EBD也等于70°。在三角形ABE中，内角和为180°，所以∠ABE=180°-∠ABC-∠EBD。将∠ABC和∠EBD的值代入上式，得∠ABE=180°-70°-70°=40°。解析：本题考查了平行四边形的性质和同位角的性质。首先利用平行四边形的对边平行且相等的性质，得出∠ABC=∠C。然后利用BE∥CD，得出∠ABC=∠EBD。最后利用三角形内角和定理，计算出∠ABE的度数。然而，这里给出的答案是错误的，正确的计算应该是：∠ABE=180°-70°-70°=40°。因此，∠ABE的度数应为40°，而不是70°。题目中的答案有误。正确的答案应该是：第四题：已知平行四边形ABCD，E、F分别是AD、BC上的点，且BE=CF，∠DAB=60°，∠ABC=80°。求证：四边形BEFC是菱形。第五题：已知平行四边形ABCD，E是CD的中点，F是BC的中点。求证：BE=AF。第六题：已知平行四边形ABCD，其中AB=CD，AD=BC。点E在AD上，点F在BC上，且BE=DF。求证：四边形BEFC是平行四边形。第七题：在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是AD的中点。若BE=6cm，AD=10cm，求AF的长度。《1平行四边形的性质》同步训练及答案解析一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、在平行四边形ABCD中，如果∠B的度数是60°，那么∠A的度数是：A.120°B.60°C.30°D.90°答案：A解析：在平行四边形中，对角相等。因此，∠A=∠C。由于平行四边形的内角和为360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°。因为∠B=60°，所以∠A=360°-60°-60°=240°，但是由于∠A和∠C是对角，它们应该相等，所以∠A=180°-60°=120°。2、如果平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AC的长度是BD的两倍，那么下列哪个选项是正确的？A.AB=CDB.AB=ADC.AC=BDD.AB=BC答案：C解析：在平行四边形中，对角线互相平分。因此，如果AC的长度是BD的两倍，那么OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD。由于AC=2BD，那么OA=OC=BD，因此AC=BD。选项C正确。其他选项描述的是平行四边形的一些性质，但与题目中对角线长度的关系无关。3、在平行四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交于点O，已知OA=6cm，OB=4cm，那么AB的长度可能是以下哪个值？A.10cmB.8cmC.5cmD.12cm答案：B解析：在平行四边形中，对角线互相平分。因此，OA=OC，OB=OD。由于OA=6cm，OB=4cm，所以OC=6cm，OD=4cm。根据平行四边形的性质，AB和CD是平行且等长的，所以AB的长度等于CD的长度。因为CD的长度是OC和OD的和，即CD=OC+OD=6cm+4cm=10cm。所以，AB的长度可能是10cm，选项B正确。其他选项都不符合平行四边形对边相等的性质。4、在平行四边形EFGH中，如果∠E=50°，那么∠G的度数是以下哪个值？A.130°B.50°C.80°D.40°答案：B解析：在平行四边形中，对角相等。因此，如果∠E=50°，那么对角∠G也等于50°。所以，选项B正确。其他选项都不符合平行四边形对角相等的性质。5、在下列图形中，不属于平行四边形的是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.三角形答案：D解析：根据平行四边形的定义，它是一种四边形，且对边平行且相等。正方形、菱形和矩形都符合这个定义，而三角形只有三条边，不满足四边形的条件，因此不属于平行四边形。6、下列关于平行四边形性质的描述，错误的是（）A.对边平行B.对角相等C.邻角互补D.对角线互相平分答案：C解析：平行四边形的性质包括对边平行、对角相等、对角线互相平分等。邻角互补是错误的描述，因为在平行四边形中，邻角是互补的，而不是互补角。互补角是指两角的和为180度，而邻角指的是相邻的两个角。7、已知在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=70°，那么∠C的度数是：A.70°B.110°C.120°D.50°答案：B解析：因为ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，根据平行四边形对角相等的性质，∠A=∠C。又因为∠A=70°，所以∠C也等于70°，选项B正确。8、在平行四边形ABCD中，若AB=CD，那么下列哪个结论一定成立？A.∠A=∠CB.∠B=∠DC.∠A=∠DD.∠B=∠C答案：A解析：因为ABCD是平行四边形，所以AB=CD，根据平行四边形对边相等的性质，∠A=∠C，选项A正确。其他选项没有足够的信息来确定角度的大小关系。9、在下列四边形中，一定是平行四边形的是（）A.对边相等的四边形B.对角相等的四边形C.对角线互相平分的四边形D.四边相等的四边形答案：C解析：平行四边形的判定定理之一是对角线互相平分的四边形是平行四边形。选项A、B、D虽然描述了一些四边形的性质，但并不足以判定它们是平行四边形。因此，正确答案是C。10、在平行四边形ABCD中，已知AB=10cm，AD=8cm，对角线AC与BD相交于点O。如果三角形AOB的面积为30cm²，那么三角形COD的面积是多少？A.20cm²B.24cm²C.30cm²D.40cm²答案：A解析：在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD互相平分，因此三角形AOB和三角形COD是全等的。由于三角形AOB的面积为30cm²，三角形COD的面积也必须是30cm²。但是，选项中并没有30cm²，我们需要注意到题目中的“如果”条件，实际上是在暗示我们需要计算而不是直接给出面积。由于三角形AOB和COD全等，它们的边长比例相同，因此面积比例也是相同的。由于AB=CD=10cm，AD=BC=8cm，三角形AOB和COD的边长比例是10:8，即5:4。因此，三角形COD的面积是三角形AOB面积的4/5，即30cm²*4/5=24cm²。但是，这里给出的选项中没有24cm²，所以我们需要重新审视题目。实际上，由于三角形AOB和COD全等，它们的面积应该相同，因此正确答案是A，即三角形COD的面积也是30cm²。这是因为在平行四边形中，对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形。二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：在平行四边形ABCD中，已知AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=60°，求对角线AC的长度。答案：AC≈10.39cm解析：因为ABCD是平行四边形，所以对边相等，即AD=BC=8cm，AB=CD=6cm。在三角形ABC中，由于∠ABC=60°，且AB=6cm，BC=8cm，我们可以使用余弦定理来求AC的长度。余弦定理公式为：c²=a²+b²-2ab*cos(C)其中，a和b是三角形的两边，C是这两边夹角的角度。代入已知数值，得到AC²=AB²+BC²-2ABBC*cos(∠ABC)AC²=6²+8²-268*cos(60°)AC²=36+64-96*(1/2)AC²=100-48AC²=52解得AC≈√52≈7.21cm。注意：这里给出的答案10.39cm可能是由于四舍五入或者计算过程中的误差。正确的答案应该是AC≈7.21cm。第二题：在平行四边形ABCD中，已知AD=BC=8cm，AB=CD=6cm，角DAB=60°。求平行四边形ABCD的对角线AC的长度。答案：AC=10cm解析：首先，由于ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，我们知道对边相等，即AD=BC，AB=CD。由于AD=BC=8cm，AB=CD=6cm，我们可以确定平行四边形ABCD的边长。接下来，我们注意到角DAB=60°，并且由于ABCD是平行四边形，所以对角相等，即角ABC=60°。在三角形ABC中，由于AB=BC，且角ABC=60°，根据等边三角形的性质，我们可以得出三角形ABC是等边三角形。因此，AC=AB=6cm。但是，我们需要求的是对角线AC的长度，而AC不仅包含三角形ABC的边长，还包括由AD和BC组成的对角线的一部分。由于AD=BC=8cm，且三角形ABC是等边三角形，我们可以使用勾股定理来求出对角线AC的长度。在三角形ACD中，我们有：AC²=AD²+CD²-2*AD*CD*cos(∠ADC)由于∠ADC是平行四边形对角线的夹角，它等于∠ABC，即60°。代入已知数值：AC²=8²+8²-2*8*8*cos(60°)AC²=64+64-128*0.5AC²=128-64AC²=64取平方根得到AC的长度：AC=√64AC=10cm因此，平行四边形ABCD的对角线AC的长度为10cm。第三题：在平行四边形ABCD中，已知AD=BC=8cm，AB=CD=10cm，∠DAB=60°。求对角线BD和AC的长度。答案：BD=6cm，AC=10√3cm解析：因为ABCD是平行四边形，所以AD平行于BC，AB平行于CD。由于∠DAB=60°，且AD=AB，因此三角形ADB是等边三角形，所以AD=BD=8cm。根据平行四边形的性质，对角线BD将平行四边形ABCD分成两个相等的三角形ABD和BCD，因此BD=CD=10cm。在三角形ABC中，由于∠DAB=60°，且AD=AB，所以三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°。根据余弦定理，在三角形ABC中，AC²=AB²+BC²-2×AB×BC×cos∠BAC代入已知数据，得AC²=10²+8²-2×10×8×cos120°AC²=100+64-2×10×8×(-0.5)AC²=164+80AC²=244取平方根得AC的长度，AC=√244≈10√3cm因此，对角线BD的长度为10cm，对角线AC的长度为10√3cm。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知平行四边形ABCD，点E是AD的延长线上，且AE=CD，BE是平行于CD的直线，交AD的延长线于点F。求证：四边形ABEF是平行四边形。答案：证明：因为ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AB=CD。由于AE=CD，所以BE=AD（因为AE和CD是相等的对边）。又因为BE∥CD，所以BE∥AD。根据平行四边形的性质，对边平行且相等的四边形是平行四边形。因此，四边形ABEF的对边AB和EF平行且相等，对边BE和AD平行且相等。所以，四边形ABEF是平行四边形。解析：本题主要考查平行四边形的性质。通过证明对边平行且相等，可以得出四边形ABEF是平行四边形。解题过程中，利用了平行四边形的性质和对边相等的性质，通过逻辑推理得出结论。第二题：已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是边AD的延长线上的一点，使得BF=2FD。求证：EF平行于AB。答案：证明：因为ABCD是平行四边形，所以AD平行于BC，且AB=CD。由于E是BC的中点，根据平行四边形对边中点连线定理，AE平行于CD，且AE=1/2BC。又因为BF=2FD，所以F是AD的延长线上，且DF=1/3AD，BF=2/3AD。在三角形ADF和三角形CBE中，有：∠ADF=∠CBE（对应角相等，因为AD平行于BC）∠DAF=∠CBE（三角形内角和为180度，两三角形中对应角相等）DF=1/3AD，BE=1/2BC=1/2CD=1/2(2/3AD)=1/3AD（比例关系）根据SAS（边-角-边）全等准则，三角形ADF全等于三角形CBE。因此，AF平行于BE（对应边平行）。由于EF在AD的延长线上，所以EF平行于AB。解析：本题通过运用平行四边形的性质和三角形全等的判定方法，证明了EF平行于AB。首先，利用平行四边形的对边平行且相等以及中点的性质，构造了两个全等三角形。然后，根据全等三角形的性质，得出对应边平行，从而证明EF平行于AB。第三题：已知平行四边形ABCD中，∠ABC=70°，E是AD的延长线上一点，使得BE平行于CD。求证：∠ABE=70°。答案：证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，∠ABC=∠C。由于BE∥CD，根据同位角相等，可得∠ABC=∠EBD。已知∠ABC=70°，所以∠EBD也等于70°。在三角形ABE中，内角和为180°，所以∠ABE=180°-∠ABC-∠EBD。将∠ABC和∠EBD的值代入上式，得∠ABE=180°-70°-70°=40°。解析：本题考查了平行四边形的性质和同位角的性质。首先利用平行四边形的对边平行且相等的性质，得出∠ABC=∠C。然后利用BE∥CD，得出∠ABC=∠EBD。最后利用三角形内角和定理，计算出∠ABE的度数。然而，这里给出的答案是错误的，正确的计算应该是：∠ABE=180°-70°-70°=40°。因此，∠ABE的度数应为40°，而不是70°。题目中的答案有误。正确的答案应该是：答案：40°解析：本题考查了平行四边形的性质和同位角的性质。首先利用平行四边形的对边平行且相等的性质，得出∠ABC=∠C。然后利用BE∥CD，得出∠ABC=∠EBD。最后利用三角形内角和定理，计算出∠ABE的度数。根据计算，∠ABE的度数应为40°。第四题：已知平行四边形ABCD，E、F分别是AD、BC上的点，且BE=CF，∠DAB=60°，∠ABC=80°。求证：四边形BEFC是菱形。答案：证明：因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC。由于∠DAB=60°，∠ABC=80°，所以∠D=180°-60°=120°，∠A=180°-80°=100°。因为AD∥BC，所以∠F=∠A=100°，∠E=180°-∠F=80°。由于BE=CF，且∠F=∠E，所以四边形BEFC是平行四边形。在平行四边形BEFC中，由于∠F=∠E，所以∠FBC=∠EBC=80°。因为ABCD是平行四边形，所以∠ABC=∠DCB=80°。所以∠FBC=∠DCB，从而BC=CF。由于BE=CF且BC=CF，所以BE=BC。因此，四边形BEFC的邻边相等，所以四边形BEFC是菱形。解析：本题考查了平行四边形、菱形的性质及判定方法。首先根据平行四边形的性质，得出四边形ABCD的两组对边分别平行，然后利用三角形内角和定理求出∠D和∠A的度数。接下来，利用平行线对应角相等的性质，求出∠F和∠E的度数。最后，根据菱形的定义和性质，得出四边形BEFC是菱形。第五题：已知平行四边形ABCD，E是CD的中点，F是BC的中点。求证：BE=AF。答案：证明：因为ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AB∥CD。又因为E是CD的中点，F是BC的中点，所以CE=ED，BF=FC。在三角形ABE和三角形ACF中，有：AB=AC（平行四边形对边相等）BE=CF（三角形的中位线等于第三边的一半）∠ABE=∠ACF（平行线内错角相等）根据SAS（边-角-边）全等条件，三角形ABE≌三角形