2025版高考数学一轮复习核心考点精准研析6.1不等式的性质及一元二次不等式文含解析北师大版

PAGE8-不等式的性质及一元二次不等式核心考点·精准研析考点一比较大小与不等式的性质

1.(2024·泉州模拟)若a>b>c,ac<0,则下列不等式肯定成立的是 ()A.ab>0 B.bc<0C.ab>ac D.b(a-c)>02.若a=20192022×20222019,b=20192019×20242022,则ab(用“>,<”填空).

3.设m=e43+1e44+1,n=e42+1e43+1,【解析】1.选C.因为a>b>c,ac<0,所以a>0,c<0,b的符号不确定,故A,B,D不正确,C中,a>0,故ab>ac,正确.2.ab=20192答案:<3.m-n=e43+1e44+1-e答案:<1.用同向不等式求差范围的技巧a<x<b这种方法在三角函数中求角的范围时常常用到.2.比较大小的三种常用方法(1)作差法:干脆作差推断正负即可.(2)作商法:干脆作商与1的大小比较,留意两式的符号.(3)函数的单调性法:把比较的两个数看成一个函数的两个值,依据函数的单调性比较.【秒杀绝技】1.特别值解除法解T1,取条件范围内的特别值代入解除不成立的选项,即可得出正确选项.2.转化法解T3,比较大小时可以结合函数的单调性,依据不等式的特点构造函数f(x)=ex+1考点二一元二次不等式的解法

【典例】1.(2024·牡丹江模拟)不等式x(2-x)<0的解集是 ()A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)2.若不等式ax2+2x+c<0的解集是-∞,-13∪12,+∞,则不等式cxA.-12,C.[-2,3] D.[-3,2]3.设a>1,则关于x的不等式(1-a)(x-a)x-1a<0的解集是【解题导思】序号联想解题1由不等式想到x的系数变为正数后解不等式2由不等式的解集想到对应方程的根、根与系数的关系求系数3由不等式想到不等式变形、求根、根的大小写解集【解析】1.选D.因为x(2-x)<0,所以x(x-2)>0,所以x>2或x<0,所以不等式的解集为(-∞,0)∪(2,+∞).2.选C.不等式的解集是-∞,-13∪所以-13和12是方程ax2+2x+c=0由-13+故不等式cx2-2x+a≤0,即2x2-2x-12≤0,即x2-x-6≤0,解得-2≤x≤3,所以所求不等式的解集是[-2,3].3.因为a>1时,1-a<0,且a>1a则关于x的不等式可化为(x-a)x-解得x<1a或所以不等式的解集为-∞,1a答案:-∞,1a1.解不含参数的一元二次不等式首先将二次项的系数变为正数,若对应的方程有根,求根后依据图像写解集;若无根,干脆依据图像写解集.2.解含参数的一元二次不等式(1)先探讨二次项系数为0的状况,二次项系数为零时不等式变为一次不等式或常数不等式,易得不等式的解集;(2)再探讨二次项系数不为0的状况,利用“Δ”或“十字相乘法”求根,若有根,则探讨根的大小后依据图像写解集;若无根,则依据图像写解集.1.(2024·西安模拟)不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1),则不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0的解集为()A.-B.-C.-∞,-43D.(-∞,-1)∪4【解析】选B.因为不等式的解集为(-4,1),则不等式对应方程的实数根为-4和1,且a<0;由根与系数的关系知,-4+1=-ba所以不等式化为3a(x2+1)-a(x+3)-4a>0,化为3(x2+1)-(x+3)-4<0,即3x2-x-4<0,解得-1<x<43所以该不等式的解集为-12.(2024·抚州模拟)设m=log0.30.6,n=12log20.6,A.m-n>mn>m+n B.m-n>m+n>mnC.mn>m-n>m+n D.m+n>m-n>mn【解析】选B.因为m=log0.30.6>log0.31=0,n=12log20.6<12log2因为-1n=-2log0.62=log0.60.25>0,1m=log而log0.60.25>log0.60.3,所以-1n>1m>0,因为(m-n)-(m+n)=-2n>0,所以m-n>m+n,所以m-n>m+n>mn.考点三一元二次不等式恒成立问题

命题精解读1.考什么:(1)求恒成立问题中的参数范围.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养,以及数形结合、分类与整合等数学思想.2.怎么考:与基本初等函数、导数结合考查一元二次不等式与其对应的函数、方程的关系问题.学霸好方法1.恒成立问题的解题思路(1)利用等价条件干脆求范围(2)分别参数后转化为最值问题(3)转化为相应的函数,利用函数的图像解题(4)转换变元,利用转化后对应函数的性质解题2.交汇问题:与基本初等函数的定义域、值域交汇时,借助函数的性质解题.在R上的恒成立问题【典例】若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(-∞,+∞),则实数a的取值范围为. 世纪金榜导学号

【解析】设f(x)=x2-ax-a,则关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(-∞,+∞)⇔f(x)>0在(-∞,+∞)上恒成立⇔Δ=(-a)2-4×1×(-a)=a2+4a<0,解得-4<a<0.答案:(-4,0)在R上的恒成立问题列不等式组的依据是什么?提示:在R上的恒成立,可以依据对应的二次函数的图像,列出等价条件求解.给定区间上的恒成立问题【典例】若不等式x2≥m+4x在[0,1]上恒成立,则实数m的取值范围是 世纪金榜导学号()A.(-∞,-3]∪[0,+∞) B.[-3,+∞)C.[-3,0] D.(-∞,-3]【解析】选D.因为不等式x2≥m+4x,x∈[0,1]恒成立,所以只需m≤(x2-4x)min,x∈[0,1],令f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,x∈[0,1],所以f(x)min=f(1)=-3,所以m≤-3.定区间上的恒成立问题如何解?提示:将参数分别出来后,转化为求另一侧函数的最值,是求参数范围的常用方法.给定参数范围的恒成立问题【典例】(2024·六安模拟)若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是 ()世纪金榜导学号A.[-1,3] B.(-∞,-1]C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)【解析】选D.方法一:特别值法:当x=-1时,由x2+px>4x+p-3,得p<4,故x=-1不符合条件,解除A,B;当x=3时,由x2+px>4x+p-3,得p>0,故x=3不符合条件,解除C;方法二:转换变元法:不等式变为x-1p+x2-4x+3>0,当0≤p≤4所以x2-4解得x<-1或x>3.1.在R上定义运算a※b=(a+1)b,若存在x∈[1,2]使不等式(m-x)※(m+x)<4成立,则实数m的取值范围为 ()A.(-3,2) B.(-1,2)C.(-2,2) D.(1,2)2.已知关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是.

【解析】1.选A.由题意知,不等式(m-x)※(m+x)<4化为(m-x+1)(m+x)<4,即m2+m-4<x2-x;设f(x)=x2-x,x∈[1,2],则f(x)的最大值是f(2)=4-2=2;令m2+m-4<2,即m2+m-6<0,解得-3<m<2,所以实数m的取值范围是(-3,2).2.关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,所以二次函数的图像与x轴最多有一个交点,所以判别式Δ=(-1)2-4(a-1)≤0,解得a≥54,所以a的取值范围为5答案:51.关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在区间[-2,0]上恒成立,则实数a的取值范围是.

【解析】由题得a≥x2+3x因为-2≤x≤0,所以-3≤x-1≤-1,所以(x-1)+4x=-1-x+41当x=-1时得到等号.所以a≥-2