平面向量的数量积(原卷版)

考点36平面向量的数量积

在考点详解【命题解读】平面向量是高考考查的重点、热点往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题.【基础知识回顾】TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".向量的夹角 ..(1)定义：已知两个非零向量a和b,如图所示，作OA=a,OB=b，贝U ；JZAOB=e(0°WeW180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a,b〉. l.(2)范围：夹角e的范围是[0,n].当e=0时，两向量a,b共线且同向；当e=2时，两向量a,b相互垂直，记作a，b；当e=n时，两向量a,b共线但反向..平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b,我们把数量间|b|cose叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab即a-b=|a||b|-cose,其中e是a与b的夹角.规定：零向量与任一向量的数量积为零..平面向量数量积的几何意义一个向量在另一个向量方向上的投影设e是a,b的夹角，则|b|cose叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cose叫做向量a在向量b的方向上的投影.(2)a-b的几何意义数量积a-b等于a的长度间与b在a的方向上的投影|b|cose的乘积..向量数量积的运算律(1)交换律：a•b=b•a.(2)数乘结合律:(.a)-b=丸(a•b)=a•(彳b).(3)分配律：(a+b>c=a-c+b-c向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a・b)-c不一定等于a-(b・c),这是由于(a^>c表示一'个与c共线的向量，aqbc)表示一'个与a共线的向量，而c与a不一'定共线..平面向量数量积的性质e是与b同向的单位向量，ee是与b同向的单位向量，e是a与e的夹角，则(1)e-a=a-e=|a|cos3.(2)aXbOa•b=0.(3)当@与6同向时，@・6=忖|必|；当a与b反向时，a•b=—|a||b|.特别地，a•a=|a1或|a|=\'aa.0_L(4)C0S3-Ia||b「(5)|a•b|W|a||b|..平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a=（xjy1）,b=（x2,y2）,3为a与b的夹角，则,xx2+y1y252+y2小2+y2.(1)|a|=，2+,xx2+y1y252+y2小2+y2.(3)a±bOx1x2+y1y2=0;_(4)cos3—心热.训练TOC\o"1-5"\h\z1、已知貌—（2,3）,AC=（3,t）,|BC|=1,则成•BC等于（ ）A・—3B・—2C.2D,3.已知非零向量a,b的夹角为60°,且|b|=1,|2a—b|=1,则|a|=（ ）A.1 B.1 C.--'2 D.23、（2021•山东泰安市•高三其他模拟）已知向量a=（九,1）,a—b=（0,4）,a±b,则a—b在a方向上的投影为（）A.22 B.2 C.<3 D.<54、（2021•山东济宁市•高三二模）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点M（，工一1）和点N（0,1）.若点P在NMON的角平分线上，且|Op|=4,则OP.MN=（ ）A.-2 B.-6 C・2 D.65、（多选题）设a,b是两个非零向量.则下列命题为假命题的是（ ）A.若|a+b|=|a|一|b|,则Ua口bB,若a口b,则|a+b|=|a|一|b|C若|a+b|=|a|—|b|,则存在实数C使得b=2aD.若存在实数C使得b=Ca,则|a+b|=|a|—|b|6、（多选题）设a,b,c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是（ ）（a-b）c—（c-a）b=0|a|—|b|V|a—b|（b•c）a—（a•c）b不与c垂直（3a+2b>（3a—2b）=9|a|2一4|b|27、已知i,j为互相垂直的单位向量，a=i—2j,b=i+才，且a与b的夹角为锐角，则实数A的取值范围为8、已知点A,B,C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB•BC+BC•CA+CA加的值是建典,剖析考向一平面向量的数量积的运算例1、（1）在等腰梯形ABCD中，已知AB〃DC,AB=2,BC=1,ZABC=60。，点E和F分别在线段BC和DC上，且BE=3BC,DF=6DC，则AE•#的值为.（2）.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则DE•CB的值为；DE•DC的最大值为.变式1、如图，在梯形ABCD中，AB//CD,CD=2,/BAD=今若AB•AC=2AB'AD，则AD'AC=.变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）已知向量Z,b满足〃=3,b=2,a+b=4，则a-b变式3、在4ABC中，已知AB=1，AC=2，NA=60°，若点P满足AP=AB+九AC，且B>-CP=1，则实数九的值为方法总结：1.求向量的模的方法：（1）公式法，利用|a|=\aa及（a±b）2=|a|2±2a-b+|b⑵把向量的模的运算转化为数量积运算；（2）几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值（范围）的方法：（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.考向二 平面向量的夹角问题例2、（2020例2、（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量a，b满足〃=1T3,则a与b的夹角为（）兀A.一6兀B.一3兀A.一6兀B.一32兀C.—3变式1、（2021•山东日照市•高三二模）已知a兀A.—6兀B.42兀C,T，向量a与b的夹角为（5兀D.—变式2、（2021•山东济南市•高三一模）已知单位向量a,b,C，满足a+b+c=0，贝IJa与b的夹角为（兀A.—6兀兀A.—6兀B.32兀C,T5兀D.—6变式3、（2019春•泉州期末）AABC中，AB=c,BC=d,CA=b，在下列命题中，是真命题的有（A．若最b>,，则AA．若最b>,，则AABC为锐角三角形B．若石“=0.则AABC为直角三角形C．若孱。=鼻。，则AABC为等腰三角形D．若(a+c-by(5+Z?-c)=0，则AABCD．变式4、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若|a|=1,1b|=#且|a-2b=77，则向量a与向量bQa+b)1b，则a与b的夹角的大小是变式5、（2020•Qa+b)1b，则a与b的夹角为变式6、已知同=4,|〃|=3,(2a—3b)・(2a+b)=61.（1）求a与b的夹角出(2)求|a+b|；(3)若AB=a,BC=b，求^ABC的面积.方法总结：求向量的夹角，有两种方法：⑴定义法：当a,b是非坐标形式时，求a与b的夹角什，需求出a・b及|a|,|b|或得出它们之间的关

系，由cos什=向西求得・TOC\o"1-5"\h\z⑵公式法：若已知a=(X1, y1)与 b=(X2, y2),则cos〈a, b〉= 乂/2+y1y2 ,〈a,b)e[0, n].11 \x1+y"x2十y2考向三、平面向量中的垂直例1、(2021•山东日照市•高三其他模拟)已知向量a=⑵D,b=(0,m),c=(2,4),且(a—b)1C,则实数m的值为( )A.4 B.3 C.2 D.1变式1、(2019秋•南通期末)在AABC中，AB=(2,3),AC=(1,k),若AABC是直角三角形，则k的值可以是()A.-1变式2、(2019•黑龙江省齐齐哈尔市一中模拟A.-1变式2、(2019•黑龙江省齐齐哈尔市一中模拟)已知向量|—才|=32|—百|=2,—2=m—%+nO,若—才与—才的夹角为60°,且—2±―2,则实数m的值为()TOC\o"1-5"\h\z1A.6 B.4C.6 D.4变式3、[2018•连云港期中]已知向量a=(1，2sin。)，b=(sin(0+n^)，1)，。£R.(1)若a±b，求tan。的值；(2)若a〃b，且0£(0，9)，求0的值乙方法总结：平面向量的垂直问题,有两个类型：(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可。(2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值。/优化提升・实战演练A．C．31——351735B．D．19——3519352、【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量。A．C．31——351735B．D．19——3519352、【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量。,b满足IaI=2IbI，且（a—b）1b，则。与b的夹角为A.—6C23、【2019年高考全国II卷理数】已知AB=(2,3),AC=(3,t),BC=1,则通•BC=A．-3B．-24、C．2D．3【2018年高考全国II卷理数】已知向量a,b满足IaI=1,a•b=-1,则a•（2a-b）=A．4B．3C．2D．05、【2018年高考浙江卷】已知a,b,e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为3，向量b满足b2-4e•b+3=0,贝Ija-bI的最小值是A,<3-1 B.<3+1C,2 D,2-<36、【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD中，AB1BC,AD1CD，/BAD=120。，AB=AD=1,若点E为边CD上的动点，则荏•BE的最小值为A,2116B,C,2516D,3a•b=-6，贝Ucos：a,a+b.=1、【2020年高考全国III卷理数】已知向量。,b满足।a•b=-6，贝Ucos