平面向量教案

集体备课教案第( )稿集体备课教案第( )稿页脚内容页脚内容教师阎伟清学生上课时间学科高中数学年级教材版本课题平面向量教学重点1、向量的综合应用。2、用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化教学难点1、向量的综合应用。2、用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化教学过程基本知识回顾：.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有一个要素：大小、方向..向量的表示方法：①用有向线段表示----AB(几何表示法)；②用字母a、b等表示(字母表示法)；③平面向量的坐标表示(坐标表示法)：分别取与元轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量之，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数元、y，使得a=xi+yj，(x,y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a=(x,y)，其中X叫做a在X轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0)。lai=xx2+y2；若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x-x,y-y)，\AB\=《x-x”+(y-y”1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.(注：=就是单位向量)|a|.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a//b//c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.集体备课教案第（ ）稿集体备课教案第（ ）稿页脚内容页脚内容九九〉,与a同向-九<,与a反向Ia1=Xb一一一一一一 方向性质：a//b（b丰0）oa=九b（九是唯一）<长度a//b（b丰0）oxy-xy=012 21

（其中a=/yj,b=（ly2））5.相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.兀②垂直向量—两向量的夹角为°=——►►—►—►性质：a，boa，b=0—>—> —> —>a±boxx+yy=0（其中a=（x,y）,b=（x,y））12 12 11 2 26.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法贝I」。平行四边形法则：ac=a+b（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）DB=a-b三角形法则加法DB=a-b三角形法则加法---首尾相连减法---终点相连,方向指向被减数加法法则的推广：AB=AB+BB+•…・・+BTBn 112 n-1n即n个向量a1，a2，……J首尾相连成一个封闭图形，则有a1"+……+公=0②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：ab=a+（b）；差向量的意义：OA=a,OB=b,则BA=ab③平面向量的坐标运算：若a=(x,y),b=(x,y),则a+b=(x+x,y+y),1 1 2 2 12 1 2a-b=(x-x,y-y),九a=(九x,九y)。1 2 1 2④向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)⑤常用结论：1二(1)若AD=-(AB+AC)，则D是AB的中点(2)或G是^ABC的重心，则GA+GB+GC=0.向量的模:1、定义：向量的大小，记为|a|或|AB|2、模的求法:若a=(x,y)，则|a|=若A/y1),B(x2,y2)，则1AB1八心之-")"(y2-y1”3、性质:IaI2=a2； Ia1=b(b>0)nIa12=b2(实数与向量的转化关系)a=bnIaI2=IbI2,反之不然三角不等式：IaI-IbI<Ia土bI<IaI+IbIIabI<IaIIbI （当且仅当a,b共线时取“=”）即当a,b同向时，a^b=IaIIbI； 即当a,b同反向时，a^b=-1aIIbI平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即21aI2+21bI2=Ia+bI2+1a-bI2.实数与向量的积：实数人与向量a的积是一个向量，记作：入a（1）।入a|二|人||a|；（2）入>0时入a与a方向相同；入<0时入a与a方向相反；入=0时入a=；（3）运算定律入（日a）二（入⑴a，（入+日）a=入a+日a，入（a+b）=入a+入b

交换律：a・b=b・a；分配律：（a+b）•c=a^c+be（九a）.b=九（a•b）=a.（九b）；①不满足结合律：即（ab）•c丰a.（bc）②向量没有除法运算。如：ab=cbna=c-n声都是错误的a・b b（4）已知两个非零向量a,b，它们的夹角为0，则a,b=IaIIbIcos0坐标运算：a=（%»）,b=（%,）），则a.b=%%12（5）向量ab=a在轴i上的投影为:IaIcos0, （0为a与n的夹角，n为l的方向向量）a・n其投影的长为AB/=（二为n的单位向量）InI（6）a与b的夹角0和a-b的关系:（1）当0=0时，a与b同向；当0=兀时，a与b反向a人। Ia*b>0 a-工人। …（2）0为锐角时，则有\ ; 0为钝角时，则有Ia,b不共线a,b<0a,b不共线9.向量共线定理:向量b与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使b二入a。10.平面向量基本定理:如果1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数入一入.使a二入.e+xe。1 2 11 22⑴不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;集体备课教案第( )稿集体备课教案第( )稿页脚内容页脚内容⑵基底不惟一，关键是不共线；⑶由定理可将任一向量a在给出基底彳、弓的条件下进行分解；⑷基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a,彳，弓唯一确定的数量。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x,y),则OA=(x,y)；当向量起点不在原点时，向量期坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1)11.向量a和b的数量积：①a•b=|a|•|b|cos。，其中。£[0,n]为a和b的夹角。②|b|cos0称为b在a的方向上的投影。③a-b的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数(可正、可负、也可是零)，而不是向量。ab 一④若="JyJ,=(9y2)，则a•b=%i%2+yJ2⑤运算律：a, b=b ,a,(入a)・ b=a •(入b)=A(a• b), (a+b)•c=a • c+b •c。⑥a和b的夹角公式:a•bcos0= a•b=%1%2/y1y2%22+y2--”：十月-*-->■ —>⑦a•a=a2=|a|2=x2+y2,或|a|=\■'%2+y2=\a2⑧|a•b|W|a|-|b|。12.两个向量平行的充要条件:符号语言：若a〃a,a手a，则a=入a坐标语言为：设a=(x1,y1),8=(x2，y2),则a〃B。仅B丫/二人(x2，y2),即x=Xx1,2，或x1y2-x2y1=0yi=Xy2在这里，实数人是唯一存在的，当a与a同向时，人＞0；当a与a异向时，入＜0。।人|=lai，入的大小由a及a的大小确定。因此，当a，a确定时，入的符号与大小就确定了。这就是实।ai数乘向量中人的几何意义。13.两个向量垂直的充要条件：符号语言：才±EO才,E=0坐标语言：设a=(x1,y1),E=(x2,y2)，则a±Box1x2+y1y2=0例题讲解例1、已知^ABC中，A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为人口，求点D和向量AD坐标。例2、求与向量a=(-不,-1)和a=(1,；3)夹角相等，且模为,，2的向量a的坐标。例3、在4OAB的边OA、OB上分别取点M、N,使|OM|：|(5t|=1：3,|GN|：|OB|=1：4,设线段AN与BM交于点P,记GA=a,OB=a，用才，a表示向量OF。TOC\o"1-5"\h\z例4、直角坐标系xOy中，i,j分别是与x,y轴正方向同向的单位向量.在直角三角形ABC中，若] —►-► ] —► ―►AB=2i+j,AC=3i+左j,则k的可能值个数是()A.1 B.2 C.3 D.4例5、如图，平面内有三个向量OA、OB、OC淇中与OA与OB的夹角为120°,OA与oC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=2V3,若OC=入OA+口OB(入，U£R),则入+口的值为. 'O^A例6、设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2)，则(a+2b)•c=( )A.(—15,12) B.0 C.-3 D.-11例7、已知平面向量a=(1,2),b=(—2,m),且a〃b，则2a+3b=()A. (-2, -4) B. (-3, -6)C. (-4, -8)D. (-5, -10)例8、已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),九a+b与a垂直，则九是()A.-1B.1C.-2D.2

例9、在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC=aTOC\o"1-5"\h\zBD二b，则AF二( )17 2-1rA.—a+-b b.-a+-bd.-ad.-a+2b

3 3例10、已知向量a=(v'3sinx,cosx),b=(cosx,cosx)，函数f(x)=2a-b-1兀兀⑴求f(x)的最小正周期;⑵当xe[6,2]时，若f(x)=1，求x的值•, - 3 3二 x.x 兀例11、已知向量a=(cos—x,sin—x),b=(-cos—，sin—),且x£[0,—].2 2 2 2 2(1)求a+b(2)设函数f(x)=a+b+a.b,

求函数f(x)的最值及相应的x的值。提高练习一一、选择题1下列命题中正确的是(aOa-OB=ABc0-AB=0

)BAB+BA=0DAB+BC+CD=AD2设点A(2,0),B(4,2)，若点P在直线AB上，且|AB|=2|AP1则点P的坐标为( )A (3,1) B (1,-1)C (3,1)或(1,-1) D无数多个3若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180o,且Ib1=3V5,则b=()A (-3,6) b(3,-6)c(6,-3)d (-6,3)向量a=(2,3)，b=(-1,2)，若ma+b与a-2b平行，则m等于TOC\o"1-5"\h\z1 1A -2 B2c-D-2 2一 ，3.、1一」设a=(—,sina)，b=(c0sa,—)，且a//b，则锐角a为()乙 JA3OA3Oob6Oo c75od45o二、填空题1若IaI=1,IbI=2,c=a+b，且cIa，则向量a与b的夹角为.已知向量日=(1,2)，b=(-2,3)，C=(4,1)，若用a和芯表示不，则c=3若a=1,b=2，a与b的夹角为600，若(3a+5b)1(ma-b)，则m的值为4若菱形ABCD的边长为2，则|AB-CB+CD|=5若b=(2,3)，b=(-4,7)，则b在b上的投影为三、解答题 ► ►已知a=(cosa,sina)，b=(cosp,sinp)，其中0＜a＜。＜兀⑴求证：a+b与a-b互相垂直；⑵若k+b与b-kb的长度相等，求p-a的值(k为非零的常数)1.设点P(3,-6),Q(-5,2),R的纵坐标为-9,且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为()。A、-9 B、-6C、9D、62.已知丘=(2,3),b=(-4,7),则以在b上的投影为()。A、B、C、D、3.设点A(1,2),B(3,5),将向量食日按向量也=(-1,-1)平移后得向量良'日为A、(2,3)B、(1,2)C、(3,4)D、(4,7)4.若(3+5+08+^3)=35^且sinA=sinBcosC,那么AABC是()。A、直角三角形 B、等边三角形C、等腰三角形 D、等腰直角三角形)。5.已知|起|=4,|b|=3,此与b的夹角为60°,则|Q+b|等于()。A、713B、C、D、.柘6.已知向量a=3#),求向量b，使|b|=2|①|,并且必与b的夹角为3课后作业一、选择题1.2.3.4.在^ABC中，一定成立的是A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB C.asinB=bsinA△ABC中，sin2A=sin2B+sin20则^ABC为A.直角三角形 B.等腰直角三角形C.等边三角形在^ABC中A.15°在^ABC中D.acosB=bcosAD.等腰三角形较短的两边为a=2<2,b=2<3,且A=45°,则角C的大小是B.75C.120°D.60°已知|AB|=4,|AC|=1,S =J3，则AB•AC等于AABC集体备课教案第（ ）稿集体备课教案第（ ）稿页脚内容页脚内容TOC\o"1-5"\h\zA.—2 B.2 C.±2 D.±4a—1.设A是^ABC中的最小角，且cosA= ，则实数a的取值范围是