数学课堂探究：向量的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一向量在平面几何中的应用用向量的方法证明有关平面图形中平行、垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法:（1)要证两线段AB＝CD，可转化为证明|｜＝||或＝；(2)要证两线段AB∥CD，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ成立；(3）要证两线段AB⊥CD,可转化为证明·＝0;（4）要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ,或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ,μ（其中λ＋μ＝1)，使＝λ＋μ．【例1】如图，若点D是△ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2,求证：AD⊥BC．分析：借助向量的减法分别表示出向量，然后代入已知条件证明．证明:设＝c，＝b,＝m,则＝－＝m－c，＝－＝m－b．因为AB2＋CD2＝AC2＋BD2，所以c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，所以2m·(c－b)＝0，2·（－)＝0．所以·＝0，所以AD⊥BC．反思基本思路就是将已知条件AB2＋CD2＝AC2＋BD2转化为与的关系，而又可表示为－,所以就变成了讨论和，的关系，因此可设这三个向量，再用它们来表示和,就能得到结论．探究二向量在解析几何中的应用1．利用向量的方法来解决解析几何中有关直线平行、垂直等问题．2．要掌握向量用坐标表示的常用知识:①共线；②垂直；③模；④夹角;⑤向量相等，则对应坐标相等．【例2】过点A（－2,1）,求:（1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程；（2）与向量b＝（－1,2）垂直的直线方程．分析：在直线上任取一点P(x，y），则＝（x＋2,y－1）．根据∥a和⊥b解题即可．解：设所求直线上任意一点P的坐标为（x,y）．因为A（－2,1)，所以＝(x＋2，y－1)．（1）由题意，知∥a，所以（x＋2)×1－3(y－1）＝0，即x－3y＋5＝0．所以所求直线方程为x－3y＋5＝0．（2)由题意，知⊥b,所以（x＋2)×(－1）＋(y－1)×2＝0,即x－2y＋4＝0，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0．反思已知直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0)，则向量（A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量;向量（－B，A)与l平行,故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0）＝0．探究三向量在物理中的应用用向量方法解决物理问题的步骤：（1)把物理问题中的相关量用向量表示；（2)转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；（3)把结果还原为物理问题．【例3】如图所示，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到的重力为G，两绳受到的拉力分别为F1,F2，夹角为θ．（1）求其中一根绳子受到的拉力｜F1|与G的关系式，用数学观点分析F1的大小与夹角θ的关系；（2)求F1的最小值；（3)如果每根绳子的最大承受拉力为|G｜，求θ的取值范围．解：（1）由力的平衡得F1＋F2＋G＝0，设F1，F2的合力为F,则F＝－G，由F1＋F2＝F且｜F1|＝｜F2｜，｜F|＝|G|，解直角三角形得cos1＝＝，所以｜F1｜＝,∈[0°,90°)，由于函数y＝cosx在x∈[0°，90°)上为减函数，所以逐渐增大时,cos逐渐减小，逐渐增大，所以θ增大时，|F1｜也增大．（2)由（1)可知,当θ＝0°时，|F1｜有最小值为．(3）由题意，≤|F1｜≤|G｜,所以≤≤1，即≤cos≤1．由于y＝cosx在［0°，180°］上为减函数，所以0°≤≤60°．所以θ∈［0°,120°]为所求．探究四易错辨析易错点：混淆向量平行与直线平行【例4】已知点A（0，1)，B（1，0），C（－1,2)，D（2，－1)，问AB与CD平行吗？错解:因为＝（1,－1），＝（3，－3），又因为1×（－3)－(－1）×3＝0，所以∥,即AB∥CD．错因分析：此题混淆了向量的平行与线段(直线）的平行．平行向量是方向相同或相反的向量,所以当A，B,C，D四点共线时,与仍为平行向量，但此时直线AB与CD不平行．正解：证明:因为＝（1，－1）,＝(3