数学课堂探究：两角和与差的余弦

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一直接利用两角和与差的余弦公式公式Cα±β是三角恒等式，既可正用,也可逆用,一定要注意公式的结构特征,灵活变换角或名称，同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时,关键在于把待求的角转化成已知角或特殊角(如，30°，45°，60°，90°，120°,150°,…）之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值．【例1】求下列各式的值：(1）cos15°－cos75°;(2)sin70°cos25°－sin20°sin25°;（3)cos15°－sin15°．分析：注意结构形式，将其变形为两角和与差的余弦形式，套用公式．解：(1）cos15°－cos75°＝cos（60°－45°)－cos(45°＋30°)＝×＋×－×＋×＝．（2）sin70°cos25°－sin20°sin25°＝cos20°cos25°－sin20°sin25°＝cos（20°＋25°)＝．（3)cos15°－sin15°＝cos60°cos15°－sin60°sin15°＝cos75°＝cos(45°＋30°)＝×－×＝．探究二给值求值问题给值求值问题的主要技巧有两个，一个是已知角的某一三角函数值，求该角的另一三角函数值时，应注意角的终边所在的象限，从而确定三角函数值的正负．二是注意变角，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到，因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明．常见的角的变换方式：α＝（α＋β）－β＝β－(β－α)＝[(α＋β）＋(α－β）]＝[(α＋β）－(β－α)］，2α＝（α＋β）＋（α－β）＝（α＋β）－(β－α）,4α＝2·2α，α＝2·，α＋2β＝（α＋β)＋β等等．变换的方式很多,需要自己慢慢地体会和探索．【例2】已知sinα＝，α∈，cosβ＝－,β∈,求cos(α＋β）的值．分析：由公式Cα＋β可知，欲求cos（α＋β）的值,应先计算cosα和sinβ的值．解：由α∈及sinα＝,得cosα＝－＝－＝－．又由β∈及cosβ＝－，得sinβ＝－eq\r(1－cos2β）＝－＝－．由余弦的和角公式,得cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(\r(5），3）))×－×＝．探究三给值求角问题先根据已知条件求出角的余弦值，然后根据已知条件求出角的范围，从而确定角的大小．【例3】已知锐角α，β满足sinα＝eq\f(\r(5），5）,cosβ＝eq\f(3\r(10），10),求α＋β．分析：利用两角和的余弦公式求α＋β的余弦值，并结合角α＋β的范围进行求解．解：因为α,β为锐角，且sinα＝eq\f（\r（5）,5)，cosβ＝eq\f（3\r(10）,10)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r（1－\f（1，5）)＝eq\f（2\r(5),5)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\r（1－\f（9,10))＝eq\f(\r（10），10）．所以cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(2\r（5），5）×eq\f（3\r(10）,10）－eq\f（\r（5)，5）×eq\f(\r（10），10）＝eq\f(\r(2),2)．由0<α〈，0〈β〈，得0〈α＋β〈π,又cos(α＋β)〉0，所以α＋β为锐角,所以α＋β＝．探究四易错辨析易错点：角的范围考虑不全致误【例4】已知0≤α＜β＜γ＜2π，且sinα＋sinβ＋sinγ＝0,cosα＋cosβ＋cosγ＝0，求β－α．错解：由已知，得①2＋②2,得2＋2（sinαsinβ＋cosαcosβ）＝1．故cos(β－α)＝－．由0≤α＜β＜γ＜2π，知0＜β－α＜2π，所以β－α＝或β－α＝．错因分析：没有对结果进行检验，其实题目中隐含着条件β－α＜γ－α．正解：由已知，得①2＋②2，得2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ）＝1，故cos(β－α)＝－．由0≤α＜β＜γ＜2π，知0＜β－α＜2π,所以β－α＝π或β－α