数学课堂探究：二项分布及其应用（第课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一利用条件概率的定义求条件概率利用条件概率的定义求条件概率的步骤：（1）根据题意求P（A)；（2）根据题意求P（AB)；(3)根据条件概率的定义求P(B|A）＝.【典型例题1】盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？思路分析：通过表格将数据关系表示出来，再求取到蓝球是玻璃球的概率．解：由题意得球的分布如下：玻璃木质总计红235蓝4711总计61016设A＝{取得蓝球｝，B＝｛取得蓝色玻璃球｝，则P(A)＝eq\f（11,16），P(AB）＝eq\f（4，16）＝eq\f(1，4)。∴P（B｜A)＝eq\f（PAB，PA)＝eq\f(\f(1,4），\f(11，16））＝eq\f（4,11）.规律总结解决此类问题的关键是清楚谁是条件，求谁的概率．探究二利用基本事件数求条件概率（1）列出基本事件的空间．（2）在基本事件空间内求出事件A发生的事件数n(A）．（3）在基本事件空间内求出事件A，事件B同时发生的事件数n(AB）．（4)根据条件概率的定义求P（B|A）＝.【典型例题2】5个乒乓球，其中3个新的,2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求第一次取到新球的情况下，第二次取到新球的概率．思路分析：列出基本事件空间,利用基本事件数,利用古典概型求解．解：设“第一次取到新球”为事件A，“第二次取到新球”为事件B。因为n(A）＝3×4＝12，n（AB)＝3×2＝6，所以P(B｜A）＝eq\f（nAB，nA）＝eq\f(6,12）＝eq\f(1,2)。规律总结本题的方法是解条件概率常用的方法，特别适用于古典概型下的条件概率．探究三求互斥事件的条件概率当所求的事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个）互不相容的较简单的事件之和，求出这些较简单事件的概率,再利用P(B∪C｜A)＝P（B|A）＋P（C｜A)便可求得所求事件的概率，但应注意这个公式在“B与C互斥"这一前提下才成立．【典型例题3】在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．思路分析：分别求出在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球和黑球的概率．再用互斥事件概率公式求得概率，也可用古典概型求概率．解法1：设“摸出的第一个球为红球”为事件A，“摸出的第二个球为黄球”为事件B，“摸出的第二个球为黑球”为事件C，则P（A）＝eq\f(1，10)，P（AB)＝eq\f（1×2，10×9)＝eq\f(1，45)，P(AC）＝eq\f（1×3,10×9)＝eq\f（1,30)。∴P(B|A）＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1，45），\f（1,10))＝eq\f(10，45）＝eq\f（2，9),P（C｜A)＝eq\f（PAC，PA）＝eq\f（\f(1,30）,\f（1，10))＝eq\f（1,3)。∴P(B∪C|A)＝P（B|A)＋P(C|A)＝eq\f(2,9)＋eq\f（1，3)＝eq\f（5，9)。∴所求的条件概率为eq\f(5，9）.解法2：∵n（A)＝1×Ceq\o\al(1,9)＝9，n[(B∪C)∩A］＝Ceq\o\al（1,2）＋Ceq\o\al（1，3）＝5，∴P(B∪C｜A)＝eq\f（5，9)。∴所求的条件概率为eq\f(5,9).规律总结本题方法的适用范围，必须是同一个事件，且在同一个事件发生的条件下，求两个（或多个)互斥事件发生的概率．探究四易错辨析易错点因把基本事件的空间搞错致误【典型例题4】一个家庭中有两名小孩,假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一名小孩是女孩，问另一名小孩是男孩的概率是多少？错解：解法1：设此家庭有一名小孩是女孩为事件A，另一名小孩是男孩为事件B.则P（A)＝eq\f（1×2,2×2)＝eq\f（1,2),P(AB）＝eq\f（1，2×2）＝eq\f（1,4），∴P(B|A）＝eq\f(PAB，PA）＝eq\f(1，2）.解法2：n(A)＝2,n（AB）＝1，∴P(B｜A)＝eq\f(nAB，nA）＝eq\f（1，2）.错因分析：两种解法都把基本事件空间理解错了．正解：解法1：一个家庭的两名小孩只有4种可能:{两名都是男孩｝，｛第一名是男孩，第二名是女孩}，{第一名是女孩，第二名是男孩｝,{两名都是女孩｝．由题意知这4个事件是等可能的,设基本事件空间为Ω,A＝“其中一名是女孩"，B＝“其中一名是男孩”，则Ω＝｛(男,男)，（男，女），(女，男),(女,女）｝，A＝｛（男，女），（女,男），（女,女）}，B＝｛(男，男),（男，女),(女，男)},AB＝｛（男，女)，(女，男）}．∴P(AB）＝eq\f（2,4）＝eq\f（1，2)，P（A）＝eq\f(3,4)。