数学课堂探究：22直接证明与间接证明（第2课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一用反证法证明否定式命题对于“否定”型命题，从正面证明需要证明的情况太多，不但过程烦琐而且容易遗漏，故可用反证法,一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”“不存在”等词语时，宜采用反证法证明．【典型例题1】已知a，b,c，d∈R,且ad－bc＝1，求证a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1。思路分析：本题要证的结论是以否定形式给出的，并且从正面入手不太好处理,因此使用反证法证明．证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1。∵ad－bc＝1，∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝ad－bc.∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0.∴2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2cd＋2bc－2ad＝0。∴(a＋b)2＋(b＋c）2＋(c＋d)2＋（a－d)2＝0.∴a＋b＝0，b＋c＝0，c＋d＝0，a－d＝0.∴a＝b＝c＝d＝0，∴ad－bc＝0，这与ad－bc＝1矛盾,从而假设不成立，原命题成立,即a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1成立．规律小结反证法的具体步骤是:（1)提出假设：作出与求证的结论相反的假设，否定结论；（2)推出矛盾:由假设出发，推出与公理、定义、已知定理或题设相矛盾的结果；（3)肯定结论：出现矛盾是因为“否定结论”所致，由此得出原命题成立．探究二用反证法证明“至多"“至少”型命题“至多”“至少”问题,直接证明比较复杂,可用反证法证明,体现了“正难则反”的思想方法．【典型例题2】已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．思路分析:eq\x（假设三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点)→eq\x(演绎推理，利用Δ≤0得出矛盾)→eq\x(原命题得证)证明:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．由y＝ax2＋2bx＋c,y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝（2c）2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0。同向不等式求和得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.∴（a－b）2＋（b－c)2＋（a－c)2≤0。∴a＝b＝c。这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立，从而命题得证．温馨提示反证法常用的否定形式如下表所示：原语句是都是＞＜至多有一个至少有一个否定形式不是不都是≤≥至少有两个一个都没有原语句对任意x都成立存在某个x成立至少有n个成立至多有n个成立p或qp且q否定形式存在某个x不成立对任意x都不成立至多有（n－1)个成立至少有（n＋1）个成立非p且非q非p或非q探究三用反证法证明“唯一”型命题证明“唯一性"问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个"，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个"，推出它就是“已知那一个”)证明,而用反证法有时比用同一法更方便．【典型例题3】证明方程2x＝3有且只有一个根．证明：∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．假设方程2x＝3有两个根b1，b2（b1≠b2)，则＝3,＝3。两式相除,得。如果b1－b2＞0，则＞1，这与相矛盾；如果b1－b2＜0，则＜1,这也与相矛盾．因此b1－b2＝0，则b1＝b2,这就同b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于两个,同样可推出矛盾．故2x＝3有且只有一个根．注意“有且只有”表示“存在且唯一”．因此,在证明此类问题时要分别从存在性和唯一性两方面来考虑，而证明唯一性时，通常使用反证法．探究四易错辨析易错点漏用假设的结论致错【典型例题4】已知实数p满足不等式(2p＋1）（p＋2)＜0,用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．错解：假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根．由已知实数p满足不等式（2p＋1)（p＋2）＜0，解得－2＜p＜－eq\f（1,2）。又关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0的根的判别式Δ＝4(p2－4)，∵－2＜p＜－eq\f(1,2)，∴Δ＜0。即关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．错因分析：反证法证明问题的步骤为假设结论不成立，经过推理得出矛盾，否定假设,肯定结论，而此解法没有用到假设的结论，不是反证法．正解：假设方程x2－2x＋5