数学课堂探究：2排列与组合（第2课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一组合概念的理解与应用区别排列与组合的关键是看取出元素之后，在安排这些元素时，是否与顺序有关，与顺序有关的则为排列,与顺序无关的则为组合．【典型例题1】判断下列问题是排列问题，还是组合问题．（1)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？（2)从1，2,3，…，9这九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)从a，b,c，d这四名学生中选2名学生，去完成同一件工作有多少种不同的选法？(4)规定每两个人相互通话一次，5个人共通了多少次电话？（5）5个人相互各写一封信，共写了多少封信？思路分析:观察取出的元素与顺序有关还是无关，从而确定是排列问题，还是组合问题．解：（1)取出3个数字后，如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三位数,此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．（2）取出3个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．（3）2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．（4)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别,为组合问题．（5）发信人与收信人是有区别的，是排列问题．规律总结区分排列与组合的办法是首先弄清楚条件是什么,区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．探究二借助图表列出所有组合对于给出的组合问题，要求写出所有组合,一般是将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示或图表的方法逐个地将各个组合表示出来．这样做直观、明了、清楚，可避免重复和遗漏．【典型例题2】（1)已知a,b,c,d这4个元素，写出每次取出2个元素的所有组合；（2)已知A,B,C，D，E这5个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．思路分析：先将元素按一定顺序写出，然后按照顺序用图示的方法逐步写出各个组合即可．解：（1）可按a→b→c→d顺序写出，即所以，所有组合为ab,ac，ad,bc，bd，cd。(2）可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即所以，所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE。探究三组合数公式（1）组合数公式的选取：涉及具体数字的可以用展开式计算,涉及字母的可以用阶乘式计算．（2)性质1：Ceq\o\al(m，n)＝Ceq\o\al(n－m，n）,主要应用于简化运算．性质2：Ceq\o\al(m，n＋1)＝Ceq\o\al（m,n）＋Ceq\o\al(m－1，n）,从右到左两个组合数合为一个，实现了由繁到简的化简过程，主要应用于组合数的化简．【典型例题3】（1）计算：①3Ceq\o\al（3,8)－2Ceq\o\al（2,5)＋Ceq\o\al(8，8);②Ceq\o\al(98，100）＋Ceq\o\al(199,200）；③Ceq\o\al（1，6）＋Ceq\o\al(2，6)＋Ceq\o\al(3，7)。（2)证明:mCeq\o\al（m，n）＝nCeq\o\al（m－1,n－1）.思路分析:（1）先考虑利用组合数的性质对原式进行化简，然后利用组合数公式展开计算．(2)式子中涉及字母，可以用阶乘式证明．（1）解：①3Ceq\o\al（3，8)－2Ceq\o\al(2，5）＋Ceq\o\al(8,8)＝3×eq\f（8×7×6，3×2×1)－2×eq\f（5×4，2×1）＋1＝149.②Ceq\o\al（98,100)＋Ceq\o\al（199,200）＝Ceq\o\al(2，100）＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2×1）＋200＝5150.③Ceq\o\al（1,6）＋Ceq\o\al（2，6)＋Ceq\o\al（3，7）＝Ceq\o\al（2，7)＋Ceq\o\al(3,7）＝Ceq\o\al（3，8)＝eq\f(8×7×6，3×2×1)＝56.（2)证明：∵左边＝m·eq\f（n！,m！n－m！）＝eq\f（n·n－1！,m－1!n－m!）＝neq\f（n－1！，m－1!n－m!)＝nCeq\o\al（m－1,n－1）＝右边，∴mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al（m－1,n－1).规律总结应用组合数公式时应注意以下几个方面:(1）准确展开:应用组合数公式展开时要注意展开式的项数要准确．（2)应用两个性质可以简化运算,起到事半功倍的效果．探究四常见的组合问题解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题,取出元素只是组成一组,与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意无重复或遗漏．【典型例题4】现有10名教师,其中男教师6名，女教师4名．（1）现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习,有多少种不同的选法？(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？思路分析:首先确定是否是组合问题,再确定完成事情是分步,还是分类．解：(1）从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有Ceq\o\al(2,10)＝eq\f（10×9,2×1）＝45种不同的选法．（2）可把问题分两类：第1类，选出2名男教师有Ceq\o\al（2,6）种方法;第2类，选出2名女教师有Ceq\o\al（2,4）种方法,即共有Ceq\o\al（2，6）＋Ceq\o\al(2,4）＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有Ceq\o\al(2，6）种，从4名女教师中选2名的选法有Ceq\o\al（2,4)种，根据分步乘法计数原理，共有Ceq\o\al(2，6）×Ceq\o\al（2，4）＝eq\f(6×5，2×1）×eq\f(4×3，2×1）＝90种不同的选法．探究五易错辨析易错点考虑问题不全面重复计数或漏解【典型例题5】有编号分别为1,2,3,4的四个盒子和四个小球,把小球全部放入盒子．恰有一个空盒,有多少种放法？错解一：将3个小球放入4个盒子中，有Aeq\o\al(3,4）种放法，再把余下的1个小球放到3个盒子中的一个,有Ceq\o\al（1，3）种放法．所以有Aeq\o\al(3，4)×Ceq\o\al（1,3）＝72种放法．错解二：从4个小球中任取3个，有Ceq\o\al(3，4）种取法，从4个盒子中任取3个，有Ceq\o\al(3,4)种取法．将3个小球放到取出的3个盒子中,有Aeq\o\al(3,3）种放法,再把余下的小球放到3个盒子中的一个，有3种放法，所以放法共有Ceq\o\al(3，4）×Ceq\o\al（3，4)×Aeq\o\al(3,4)×3＝288种．错因分析：错解一属于遗漏计数问题．从四个小球中取出3个(不妨设为1号、2号、3号）放入三个盒中，则把4号小球放入三个盒中的一个时,只有1号和4号;2号和4号；3号和4号三种情况,漏掉了1号和2号；1号和3号；2号和3号的情况．错解二属于重复计数问题．若取出的3个小球为1号，2号,3号，则4号小球放入盒中时，其中一种方式为eq\x(1,4）eq\x（2)eq\x(3)；若取出的3个小球为2号,3号，4号，则1号小球放入盒中时,其中也有一种方式为eq\x(2)eq