数学课堂探究：　数学归纳法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式的三个关键点(1）验证是基础．数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0（n0≥1,n∈N＊)，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点,奠基要稳”是第一个关键点．（2)递推是关键．数学归纳法的实质在于递推，所以从“k"到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．（3)利用假设是核心．在第二步证明n＝k＋1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“n＝k时命题成立"作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f（k＋1)时,一定要把包含f(k）的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．【典型例题1】用数学归纳法证明:1＋3＋5＋…＋(2n－3）＋（2n－1）＋(2n－3）＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．思路分析：第一步先验证等式成立的第一个值n0;第二步在n＝k时等式成立的基础上,等式左边加上n＝k＋1时新增的项，整理出等式右边的项．证明：(1）当n＝1时，左边＝1,右边＝2×12－2×1＋1＝1,等式成立．（2）假设当n＝k(k∈N＊)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋（2k－3)＋（2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1。则n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－3）＋(2k－1)＋(2k＋1）＋(2k－1）＋（2k－3）＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1＋（2k＋1)＋(2k－1)＝2k2＋2k＋1＝2(k＋1）2－2(k＋1）＋1，即当n＝k＋1时，等式成立，由（1）（2)知，等式对任意n∈N*都成立．探究二用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式的四个关键点：1．验证第1个n的取值时，要注意n0不一定为1，若条件为n＞k,则n0＝k＋1.2．证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中,一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推"．3．应用归纳假设后，若证明方法不明确，可采用分析法证明n＝k＋1时也成立，这样既易于找到证明的突破口，又完整表达了证明过程．4．证明n＝k＋1成立时，应加强目标意识，即明确要证明的不等式是什么,目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放的过大"或“缩的过小”．【典型例题2】用数学归纳法证明1＋eq\f(1，\r（2))＋eq\f(1，\r（3）)＋…＋eq\f（1，\r（n））＞eq\r（n)(其中n∈N*，n＞1）．思路分析：按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由n＝k证n＝k＋1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论．证明:①当n＝2时,左边＝1＋eq\f（1，\r(2）），右边＝eq\r(2)，eq\b\lc\(\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（1＋\f(1,\r（2)）））－eq\r(2）＝1－eq\f(\r(2）,2)＞0,所以左边＞右边,即不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N＊）时，不等式成立,即1＋eq\f(1,\r（2））＋eq\f（1，\r(3）)＋…＋eq\f(1,\r(k))＞eq\r(k),则当n＝k＋1时,1＋eq\f(1,\r(2）)＋eq\f(1，\r（3））＋…＋eq\f（1，\r（k）)＋eq\f(1,\r（k＋1）)＞eq\r（k）＋eq\f(1，\r(k＋1))。（方法1）由于eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（\r(k)＋\f（1,\r（k＋1））））－eq\r（k＋1）＝eq\f(\r（k2＋k)＋1－（k＋1)，\r(k＋1))＝eq\f（\r（k2＋k）－k,\r（k＋1））＝eq\f（k,\r(k＋1）（\r(k2＋k）＋k））＞0，所以eq\r(k)＋eq\f(1,\r（k＋1）)＞eq\r(k＋1),即1＋eq\f(1，\r（2)）＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f（1，\r（k））＋eq\f（1，\r（k＋1））＞eq\r（k＋1).(方法2）由于eq\r(k）＋eq\f(1,\r（k＋1))＝eq\f(\r(k2＋k)＋1,\r（k＋1））＞eq\f(\r(k2）＋1,\r(k＋1）)＝eq\f(k＋1,\r(k＋1)）＝eq\r(k＋1),所以1＋eq\f(1,\r(2）)＋eq\f(1,\r（3)）＋…＋eq\f（1,\r(k)）＋eq\f（1,\r（k＋1））＞eq\r(k＋1).即当n＝k＋1时原不等式也成立，由①②知原不等式成立．探究三归纳—猜想—证明数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．因此归纳-猜想—证明能更好地体现数学归纳法递推的本质,在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点：①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功;【典型例题3】数列｛an}中，a1＝1，a2＝eq\f(1,4)，且an＋1＝eq\f(（n－1)an，n－an）（n≥2）,求a3,a4，猜想an的表达式，并加以证明．③如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明．思路分析:本题考查数列中的归纳—-猜想——证明问题，先由前n项猜测an，再用数学归纳法证明．解：∵a2＝eq\f（1，4)，且an＋1＝eq\f((n－1)an,n－an）（n≥2），∴a3＝eq\f(a2,2－a2）＝eq\f（\f(1,4)，2－\f（1，4)）＝eq\f（1，7)，a4＝eq\f(2a3,3－a3）＝eq\f(2×\f（1，7),3－\f（1，7））＝eq\f(1，10)。猜想：an＝eq\f（1,3n－2)（n∈N＊）．下面用数学归纳法证明猜想正确．（1）当n＝1，2时易知猜想正确．（2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＊）时猜想正确，即ak＝eq\f（1,3k－2）。当n＝k＋1时，ak＋1＝eq\f（(k－1)ak,k－ak）＝eq\f（（k－1）·\f（1，3k－2），k－\f(1,3k－2))＝eq\f（\f(k－1，3k－2)，\f(3k2－2k－1,3k－2）)＝eq\f(k－1，3k2－2k－1）＝eq\f（k－1，（3k＋1)（k－1）)＝eq\f（1，3k＋1)＝eq\f（1,3（k＋1)－2),即当n＝k＋1时猜想也正确．由（1）（2）可知，猜想对任意n∈N*都正确．探究四易错辨析易错点:没有利用归纳假设而导致出错【典型例题4】用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋（3n－2）＝eq\f(1,2）n(3n－1)．错解：证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1,k∈N＊）时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k－2）＝eq\f(1，2)k(3k－1)，则当n＝k＋1时，需证1＋4＋7＋…＋（3k－2）＋[3(k＋1）－2］＝eq\f（1，2)（k＋1）（3k＋2)（*)．由于等式左边是一个以1为首项，公差为3,项数为k＋1的等差数列的前n项和，其和为eq\f(1,2）(k＋1）(1＋3k＋1）＝eq\f(1，2）(k＋1)（3k＋2），所以（＊)式成立，即n＝k＋1时等式成立．根据(1)和（2)，可知等式对一切n∈N*都成立．错因分析:判断用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步假设是否被应用,如果没有用到假设，那就是不正确的．错解在证明当n＝k＋1等式成立时,没有用到假设“当n＝k(k≥1,k∈N＊）时等式成立"，故不符合数学归纳法证题的要求．正解：证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝1,左边＝右边，等式成立．（2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立,即1＋4＋7＋…＋（3k－2)＝eq\