辽宁省大连市2022-2023学年高二上学期数学期末试卷（含答案）

辽宁省大连市2022-2023学年高二上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．若直线l的方向向量是e=(1A．π6 B．π3 C．2π32．已知空间向量a=(−1，2，x)，bA．9 B．−1 C．1 D．−93．已知椭圆C：x2a2+yA．12 B．22 C．324．已知三棱锥O−ABC中，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA=a，OB=b，A．12(bC．12(a5．已知圆M的圆心在直线y=2x(x>0)上，若圆M与x轴交于A，B两点，圆M与y轴交于C，D两点，则（）A．|AB|<|CD| B．|AB|=|CD| C．|AB|>|CD| D．|AB|≥|CD|6．已知一个动圆P与两圆C1：(x+2)A．4x2−C．4x297．若四棱柱ABCD−A1B1C1DA．63 B．62 C．268．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，直线A．10 B．9 C．8 D．5二、多选题9．已知向量a=(2，−1，2)A．|a|=|bC．a⊥b D．向量a，b，10．如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足⟨MNA． B．C． D．11．已知圆C：x2A．圆C的圆心为(−1，0) B．点C．l与圆C相交 D．l被圆C截得的最短弦长为412．在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AAA．当λ=1时，AP+PB1B．当μ=1时，三棱锥P−AC．当λ=12D．当μ=12时，有且仅有一个点P，使得A三、填空题13．已知平行六面体ABCD−A1B1C14．已知双曲线x2a2−y15．已知圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面积为900π，则此圆台的母线与下底面所成角的余弦值为．16．抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=5，点P，Q分别是C，l上的动点，若Q在某个位置时，P仅存在唯一的位置使得四、解答题17．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(（1）求C的方程；（2）直线l：y=x−3与C交于A，B两点，求18．如图，四棱锥P−ABCD，底面ABCD为正方形，PB⊥平面ABCD，E为线段PB的中点．（1）证明：AC⊥PD；（2）若PB=2AB=2，求直线DE与平面PCD所成角的正弦值．19．已知点(4，2)在抛物线C：x2=2py上，直线l与C交于（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）求△AOB面积的最小值．20．在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点．（1）判断点A是否为失败点（不用说明理由）；（2）求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S；（3）若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求|AP||AD|21．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点．以DE为折痕将四边形ABED折起，使A，B分别到达A1，B1，且平面A1B1（1）证明：B1E∥平面（2）求CP的长；（3）求平面A122．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2（1）求C的方程；（2）设M关于x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q，过Q作C的一条切线，切点为T，证明：∠TF

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由直线l的方向向量是e=(1，3)得直线设直线的倾斜角是α(0≤α<π)，tan故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合直线的方向向量求解方法，进而得出直线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，再结合直线的倾斜角的取值范围，进而得出直线的倾斜角。2．【答案】C【解析】【解答】因为空间向量a=(−1，2，x)所以−13=2故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，进而得出x的值。3．【答案】B【解析】【解答】根据椭圆的性质可得AF1=AF2=a，F1F2故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合椭圆的性质可得AF1=AF2=a，F14．【答案】D【解析】【解答】NM=−=1故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合三角形法则和向量共线定理，再结合平面向量基本定理，进而得出NM→5．【答案】A【解析】【解答】设圆M的圆心M(m，2m)，过点M作MF⊥y轴，ME⊥x轴，所以|ME||MF|由垂径定理得：|AB|=2R同理：|CD|=2R因为|ME||MF|=2，所以|AB|=2R所以|AB|<|CD|.故答案为：A

【分析】设圆M的圆心M(m，2m)，(m>0)，半径为R，过点M作MF⊥y轴，ME⊥x轴，再利用两点距离公式得出|ME||MF|的值，由垂径定理结合勾股定理得出|AB|=2R2−|ME|2，同理：6．【答案】A【解析】【解答】设动圆P半径为R，由于动圆P与两圆C1：(x+2)所以|PC1|=R+1即|PC可知动圆P圆心的轨迹为以C1即a=12，c=2，所以动圆P圆心的轨迹方程为4x故答案为：A.

【分析】设动圆P半径为R，由于动圆P与两圆C1：(x+2)2+y2=1和7．【答案】C【解析】【解答】如图，设AC与BD交于O点，连接A1∵AB=AD，∠A∴△A1AB≅△又∵O为BD的中点，∴A∵四边形ABCD为菱形，∴AO⊥BD，又A1O∩AO=O，∴BD⊥平面在平面A1AO中，过A1作A1H⊥AO又BD∩AO=O，∴A1H⊥平面ABCD，即A1到平面由已知：A1A=2，△ABD为等边三角形，AO=AB⋅sin△AA1B和△A∴A在△AA1O∵∠A1OA∈(0在Rt△A1OH故答案为：C.

【分析】设AC与BD交于O点，连接A1O，利用AB=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，再利用两三角形全等的判断方法，进而得出△A1AB≅△A1AD，再利用两三角形全等的性质，所以A1B=A1D，再结合点O为BD的中点，再利用等腰三角形的三线合一，所以A1O⊥BD，再利用四边形ABCD为菱形得出AO⊥BD，再利用线线垂直证出线面垂直，所以直线BD⊥平面A1AO，在平面A1AO中，过A1作A1O的长，在△AA1O中，由余弦定理得出cos∠A1OA的值，再利用∠A18．【答案】B【解析】【解答】由题知C的焦点，F(1，0)，准线为x=−1，如图，作AM⊥准线，l：y=k(x+1)过定点设A(x1，得k2即k2∴x1x2=∴4|AF|+|BF|=4x当且仅当4x故答案为：B

【分析】由题知抛物线C的焦点坐标和准线方程，作AM⊥准线，BN⊥准线，再利用点斜式得出直线l：y=k(x+1)过定点(−1，0)，设A(x9．【答案】A,B,D【解析】【解答】因为a=(2，所以|a|b所以A符合题意；c−B符合题意；a⋅C不正确；由a+所以c=故答案为：ABD.

【分析】利用已知条件结合向量的模的坐标表示得出向量的模，再结合向量的坐标运算得出向量c→−b→的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出a→⋅b→≠010．【答案】A,D【解析】【解答】对于A：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则P(0，故MN=(−2所以MN⋅所以⟨MN对于B：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则P(0，故MN=(−2所以MN⋅所以⟨MN对于C：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则P(2，故MN=(0所以MN⋅所以⟨MN对于D：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则P(2，故MN=(2所以MN⋅所以⟨MN故答案为：AD

【分析】利用已知条件，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用正方体的结构特征和中点的性质，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出满足⟨MN11．【答案】B,C,D【解析】【解答】由x2+y2−2x−8=0⇒(x−1)2因为x=−1时y=k(−1+1)+1=1，所以点(−1，因为圆心(1，0)到(−1，1)的距离为5<3(−1，1)与圆心连线与直线垂直时，l被圆C截得的弦最短，最短弦长为故答案为：BCD.

【分析】利用已知条件结合圆的一般方程得出圆心坐标，再结合代入法和直线的解析式得出点(−1，12．【答案】A,C,D【解析】【解答】易知，点P在矩形BCC对于A，当λ=1时，BP=BC+μBB1=BC+μCC1，即此时对于B，当μ=1时，BP=λBC+BB1=BB对于C，当λ=12时，BP=12BC+μBB1，取BC，B1A1(32，0，1)，P(0，0，μ)，B(0，12对于D，当μ=12时，BP=λBC+12BB1，取BB1，CC1中点为M，N．BP=BM+λ故答案为：ACD．

【分析】利用已知条件易知，点P在矩形BCC1B1内部（含边界），得出当λ=1时，BP→=BC→+μCC1→，即此时P∈线段CC1，将矩形CBB1C1展开与CAA1C1在同一平面如图，再利用几何法和勾股定理得出AP+PB1的最小值；当μ=1时，BP→=BB1→+λB1C1→，故此时P点轨迹为线段B1C1，而P到平面AA1B1B的距离不为定值，再利用三棱锥的体积公式得出其体积不为定值；当λ=1213．【答案】1【解析】【解答】AC1=故答案为：1。

【分析】利用已知条件结合三角形法则和平行六面体的结构特征，进而得出实数m的值。14．【答案】2【解析】【解答】由于双曲线的一条渐近线为y=3x，故ba=3，所以双曲线离心率e=15．【答案】1【解析】【解答】作出圆台的轴截面，如图所示：设圆台的上、下底面半径分别为r1和r2，母线长为由题意可知：r1=10，r2所以S=π(r1+设圆台的母线与下底面所成角为α，由图可知：∠ABC=α，则cosα=故答案为13

【分析】作出圆台的轴截面，设圆台的上、下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，由题意可知r1，r16．【答案】294或【解析】【解答】设P(x，y)，易知抛物线C：Q为直线l：y=5上的动点，设∴|PF|=|PQ|=由|PF|=|PQ|⇒∴∴−2x+1=−2ax+a2y2=4x，即x=y∴a∴(1−a)当a=1时，⇒−20y+50=0⇒y=5由y2=4x得此时方程只有一个解，满足题意，∴|PQ|=当a≠1时，Δ=0，Δ=解得a=−1，代入(1−a)y2求得y=5⇒x=254|PQ|的值为294或41故答案为：294或41

【分析】设P(x，y)，易知抛物线C：y2=4x焦点坐标，再利用点Q为直线l：y=5上的动点，设Q(a，5)，再结合两点距离公式和|PF|=|PQ|得出a2−2ax+2x−10y+24=0，再利用y2=4x，即x=17．【答案】（1）解：选①②，可得b=3，a2+b2选①③，可得 b=3，a2+b2选②③，可得a2+b2a2=4，a（2）解：设A(x1，y1)，所以x1+x所以|AB【解析】【分析】（1）选①②，可得b的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式，进而得出a的值，从而得出椭圆的标准方程；选①③，可得b的值和椭圆中a，b，c三者的关系式得出a的值，从而得出椭圆的标准方程；选②③，再利用椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出a，b的值，从而得出椭圆的标准方程。

（2）利用已知条件结合直线l：y=x−3与C交于A，B两点，联立二者方程求出交点A，B的坐标，再结合两点距离公式得出18．【答案】（1）证明：连接AC，设AC与BD交点为O，连接PO，因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，因为PB⊥平面ABCD，所以AC⊥PB，因为BD∩PB=B，BD，PB含于面PBD，所以AC⊥平面PBD，所以AC⊥PD；（2）解：因为底面ABCD为正方形，且PB⊥平面ABCD，所以BA，BC，BP两两垂直，则建立空间直角坐标系B−xyz，如图所示．所以C(0，1，0)，D(1，1，0)，P(0，0，2)，设平面PCD的一个法向量为n=(x，y，z)令z=1，则n=(0，2，1)，设直线DE与平面PCD则sinα=|即直线DE与平面PCD所成角的正弦值为1515【解析】【分析】（1）连接AC，设AC与BD交点为O，连接PO，利用ABCD为正方形，所以AC⊥BD，再利用PB⊥平面ABCD结合线面垂直证出线线垂直，所以AC⊥PB，再利用线线垂直证出线面垂直，所以AC⊥平面PBD，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出AC⊥PD。

（2）利用底面ABCD为正方形，且PB⊥平面ABCD，所以BA，BC，BP两两垂直，则建立空间直角坐标系B−xyz，再利用已知条件得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量的求解方法得出平面PCD的一个法向量，设直线DE与平面PCD所成角为α，由图可知α为锐角，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，进而得出直线DE与平面PCD所成角的正弦值。

19．【答案】（1）解：将点(4，2)代入方程x2所以抛物线C的焦点到准线的距离为4；（2）解：设A(x1，y1)，B(x2，y2因为∠AOB=90°，所以OA⋅OB=0，即代入可得：−8b+b2=0，即b=8所以S所以当k=0时，△AOB面积有最小值64．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和抛物线的标准方程得出p的值，再结合抛物线的定义和点到直线的距离公式，进而得出抛物线C的焦点到准线的距离。

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y=kx+b，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出Δ=64k20．【答案】（1）解：由于|AF|=6，|AE|=3，A是失败点（2）解：建立以A点为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴的直角坐标系，如图E(0，3)，设机器人的速度为v，则电子狗的速度为2v，电子狗失败的区域内任意点Q(可得x2+(y−3)2v即失败点组成的区域为以M(0，所以电子狗失败的区域面积S=12×4π=2π（3）解：当线段FP与（2）中圆相切时，sin∠AFP=2|MF|=1因为电子狗在线段FP上都能逃脱时，所以|AP|∈又因为|AD|=18，所以|AP||AD|的取值范围是(【解析】【分析】（1）利用已知条件结合失败点的判断方法，从而判断出点A是失败点。

（2）利用已知条件，建立以A点为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴的直角坐标系，从而得出点E，F的坐标，设机器人的速度为v，则电子狗的速度为2v，电子狗失败的区域内任意点Q(x，y)，再结合勾股定理可得x2+(y−3)2v≤x2+(y−6)221．【答案】（1）证明：因为BE∥AD，所以沿DE为折痕将四边形ABED折起后，B1因为B1E⊄平面A1DF，A1D⊂平面（2）解：延长AB，DE交于点G，沿DE为折痕将四边形ABED折起的过程中，A1，B1，G三点共线，连接FG，设FG与CE的交点即为点P，则这样的点P满足A1因为E为BC的中点，所以B为AG的中点，即BG=AB=2，设CP=x，则BP=2−x，由△BGP∽△PCF可得，CFCP=BG所以x=23，即（3）解：以C为坐标原点，分别以射线CD，CE为x轴，y轴正方向，以垂直于平面CDE且向上的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0，23如图，在平面直角坐标系中，AM⊥DE，而平面A1B1而平面A1B1CD∩平面CDE=DE，所以再作MR⊥BC，MS⊥DC，垂足分别为R，sin∠EDC=ECED所以15=DM2，所以DM=25，Rt△DMS中，所以CS=2−45=65AM=AD2−DA1(65，平面A1B1PF与平面CDE的法向量分别为则−x1+23又n=(0平面A1B1PF与平面CDE所成角所以cosθ=|即平面A1B1【解析】【分析】（1）利用BE∥AD，所以沿DE为折痕将四边形ABED折起后，所以B1E∥A1D，再利用线线平行证出线面平行，从而证出B1E∥平面A1DF。

（2）延长AB，DE交于点G，沿DE为折痕将四边形ABED折起的过程中，A1，B1，G三点共线，连接FG，设FG与CE的