江苏省南通市海安市2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷（含答案）

江苏省南通市海安市2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知全集U=A∪B={0，1，2，3，4，5}，A∩(∁UB)={1，2，4}A．{0} B．{3，5} C．{0，3，5} D．{1，2，4}2．已知i为虚数单位，复数z满足iz−5为纯虚数，则z的虚部为（）A．5 B．5i C．−5i D．−53．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为3，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±22x 4．如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于其焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为θ.焦点F到顶点的距离f与口径d的比为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.若馈源方向角θ满足tanθA．13 B．12 C．25．设m∈R，直线l1：(m+2)x+6y−2m−8=0，l2：x+2my+m+1=0，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图，是函数y=f(x)的部分图象，且关于直线x=2对称，则（）A．f'(1)<fC．f'(1)>f7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于x轴的直线与C交于PA．22 B．33 C．128．在数列{4n−3}中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为{an}，再在数列{an}插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列{bn}A．30 B．91 C．273 D．820二、多选题9．方程x2+(cosA．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线10．存在a，b∈R(a≠b)，使得f(a)=f(b)的是（）A．f(x)=x2+2C．f(x)=xex11．已知b∈R，圆C1：(x−2)A．当b=1时，两圆相交 B．两圆可能外离C．两圆可能内含 D．圆C2可能平分圆C12．过x轴上一点作函数y=xA．0 B．1 C．2 D．3三、填空题13．经过点A(a，b+c)，B(b，a+c)(a≠b)的直线的倾斜角为.14．写出一个同时具有性质①②的函数f(x)=.（f(x)不是常值函数），①f'(x)为偶函数；②15．过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于点A、B，且点A的横坐标为4，过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点C，则△ABC的面积为16．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《算法九章·商功》中，后人称之为“三角垛”.已知某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层（从上往下）球数构成一个数列{an}，则a5=四、解答题17．在①bsinA=asin2B，②S在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求角B的大小；（2）已知AB=6，BC=4，点P在边AC上，且BP=3PC，求线段BP的长.18．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，数列{bn}是公比为2的等比数列，a2是a（1）求数列{an}（2）求数列{anbn}19．已知圆M：(x−2)2+（1）若t=1，半径为1的圆N过点P，且与圆M相外切，求圆N的方程；（2）若过点P的两条直线被圆M截得的弦长均为23，且与y轴分别交于点S、T，|ST|=3420．在平面直角坐标系xOy中，已知点B(4，2)，BC⊥y轴于点C，M是线段OB上的动点，MD⊥y轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P.（1）判断点P(m，n)是否在抛物线y2（2）过点Q0(1，1)作抛物线y2=x的切线l1交y轴于点R1(0，y1)，过抛物线y2=x上的点Q1(x1，21．在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(−5，0)，F2(5，0)，点M满足|MF（1）求C的方程；（2）已知l1，l2是经过圆O：x2+y2=9上一点P且与C相切的两条直线，斜率分别为k122．已知函数f(x)=(x−1)e（1）求函数f(x)的极值；（2）是否存在实数a，b，c，对任意的正数x，都有f(x)≥ax+b≥clnx成立？若存在，求出a，b，

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】因为A∩(∁UB)={1，2，4}，所以1，2，4∈∁又U=A∪B={0，1，2，3，4，5}，所以0，3，5∈B，即B={0，3，5}.故答案为：C

【分析】根据题意得到1，2，4∈∁UB，再由U=A∪B={0，1，2，3，4，5}2．【答案】D【解析】【解答】设z=a+bi(a，b∈R)，所以iz−5=i(a+bi)−5=(−5−b)+ai，因为iz−5为纯虚数，所以−5−b=0a≠0，解得b=−5所以z的虚部为：-5.故答案为：D.

【分析】化简iz−5=(−5−b)+ai，结合iz−5为纯虚数，列出方程求得b的值，即可求解.3．【答案】A【解析】【解答】因为双曲线焦点在x轴上，所以渐近线方程为：y=±b又因为双曲线离心率为3，且a2所以e=c解得ba=2故答案为：A.

【分析】根据双曲线离心率为3和a2+b4．【答案】B【解析】【解答】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为y2=2px（在Rt△AMF中|AM|=d2则|FM|=所以|AF|=则|AF|=所以xA=将A(5d(⇒16⇒(2f−d)(8f−d)=0所以2f=d或8f=d即fd=1当f=18故答案为：B

【分析】建立的平面直角坐标系，设抛物线的方程为y2=2px，在Rt△AMF中，求得|AF|=p2+xA5．【答案】A【解析】【解答】若l1//l2，则因此，“m=1”是“l1故答案为：A.

【分析】根据l1//l2，列出方程组求得6．【答案】C【解析】【解答】根据题意得，x=2为函数y=f(x)部分函数的极大值点，所以f'又因为函数f(x)在[1，2]单调递增，由图像可知x=1处切线斜率为锐角，根据导数的几何意义，所以f'又因为函数f(x)在[2，3]单调递增，由图像可知x=3处切线斜率为钝角，根据导数的几何意义所以f'即f'故答案为：C.

【分析】根据题意，结合导数的几何意义，得到f'(2)=0，f'7．【答案】B【解析】【解答】如图，由题意PQ⊥x轴，OR⊥x轴，则OR//Q又O为F1F2的中点，则R为F则△PF1Q为等腰三角形，且将x=c代入椭圆方程得，c2a所以|PF2由椭圆的定义可得|PF1则椭圆C的离心率e=故答案为：B

【分析】根据题意得到OR//QF2，且△PF1Q为等腰三角形，得到|PF1|=2|PF8．【答案】C【解析】【解答】因为{b所以bn=3n−1，则由即数列{b其中1、9、81是数列{4n−3}的项，3、27、243不是数列{4n−3}的项，且3+27+243=273，所以数列{bn}中第7项前（不含729故答案为：C.

【分析】根据题意求得bn=3n−1，由bk=3k−1=7299．【答案】A,C,D【解析】【解答】因为θ∈(0，π)，所以cosθ∈(−1，1)所以当cosθ∈(−1，0)时，方程x所以当cosθ=0时，方程x2+(所以当cosθ∈(0，1)时，方程x2+(因为1cosθ>1故答案为：ACD.

【分析】根据直线、椭圆和双曲线的标准方程的形式，逐项判定，即可求解.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】根据题意，存在a，b∈R(a≠b)，使得f(a)=f(b)等价于函数f(x)在定义域内存在极值点即可；对于A选项：f(x)=x2+2故f(x)在定义域内单调递增，无极值点，A不符合题意；对于B选项：f(x)=x+ln(1−x)(x<1)，所以令f'(x)>0，解得x<0，令f'所以f(x)在(−∞，0)单调递增，在(0，1)单调递减，所以x=0为极大值点，B符合题意；对于C选项：f(x)=xex令f'(x)>0，解得0≤x<12，令所以f(x)在[0，12)所以x=1对于D选项：f(x)=x⋅2x(x∈R)令f'(x)>0，解得x>−11n2，令所以f(x)在(−1ln2，所以x=−1故答案为：BCD.

【分析】根据题意，转化为函数f(x)在定义域内存在极值点，由f'(x)=2x+2x>0恒成立，可判定A不符合题意；由f11．【答案】A,B【解析】【解答】圆C1的圆心为(2，b)，半径为r1=4，圆C2的圆心为所以|C1C当b=1时，|C因为|C圆C1的一般方程为x所以两圆的公共弦所在直线方程为4x+2by−b若圆C2平分圆C1的周长，则直线4x+2by−b所以8+2b2−b2故答案为：AB

【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，结合圆心距和两半径和与差的关系，结合一元二次方程的解法，逐项判定，即可求解.12．【答案】B,C,D【解析】【解答】由题意知，y'设切点为(x则切线方程为y−(x设x轴上一点A(t，0)，代入切线方程，得0−(x03该方程有可能有一个，两个或三个零点，所以可作切线的条数为1，2或3条，故答案为：BCD.

【分析】求得y'=3x2−113．【答案】3π【解析】【解答】根据两点间斜率公式得：kAB所以直线的倾斜角为：3π4故答案为：3π

【分析】利用直线的斜率公式，求得kAB14．【答案】12【解析】【解答】由f'(x+π)=f'(x)知函数f同时满足f'(x)为偶函数，所以故答案为：12

【分析】由f'(x+π)=f'(x)15．【答案】25【解析】【解答】不妨设点A为第一象限内的点，设点A(4，n)，其中n>0，则n2=4×4=16，可得即点A(4，4)，抛物线y2=4x的焦点为F(1，0)，所以，直线AB的方程为y=4联立y=43(x−1)y2=4x，解得所以，|AB|=4+1直线AC的方程为y=x，抛物线的准线方程为x=−1，联立y=xx=−1，可得点C(−1，−1)点C到直线AB：4x−3y−4=0的距离为d=|−4+3−4|因此，S△ABC故答案为：258

【分析】设点A(4，n)，求得n=4，得到点A(4，4)，进而求得AB的方程为y=43(x−1)，联立方程组求得B(14，−1)，得到|AB|=254，又由AC的方程为16．【答案】15；n【解析】【解答】因为a1=1，a2−a1=2以上n个式子累加，得an则a5因为1a所以1=1−1故答案为：15，nn+1

【分析】由an−an−1=n，累加法求得a17．【答案】（1）解：若选①bsin则根据正弦定理可得：sinB由于0<A，B<π，sinA≠0，sinB≠0则B=π若选②S△ABC则12acsinB=3而0<B<π，故B=π若选③tanB=2−cos即sin2B=2cos而0<B<π，故B=π（2）解：如图示：AC2=A故cosC=在△PBC中，设PC=x，则BP=3x，则cosC=即14x2+7x−28=0故BP=3【解析】【分析】（1）若选①：根据正弦定理化简得到cosB=12，即可求得B的值；若选②：根据三角形的面积公式，化简得到sinB=3cosB，得到tanB=3，即可求得B的值；若选③：利用三角函数的基本关系式，化简得到sinBcosB=2−cosBsinB，求得18．【答案】（1）解：因为a2是a1，a5的等比中项，且b所以(a解得a1=1，d=2，所以an（2）解：由（1）得an所以Sn则2S两式相减得−S=2+2[2=(3−2n)2所以Sn【解析】【分析】（1）根据题意得到(a1+d)2=a1⋅(a1+4d)，819．【答案】（1）解：设圆心N(a，b)，圆M的圆心为M(2，0)，由题意可得(a−2)2+b2=9因此，圆N的方程为(x+1)2+y（2）解：若过点P的直线斜率不存在，则该直线的方程为x=−1，圆心M到直线x=−1的距离为3，不合乎题意.设过点P且斜率存在的直线的方程为y−t=k(x+1)，即kx−y+k+t=0，由题意可得|3k+t|k2+1设直线PS、PT的斜率分别为k1、k则k1、k2为关于k的二次方程Δ=36t由韦达定理可得k1+k在直线PS的方程k1x−y+k1+t=0中，令在直线PT的方程k2x−y+k2+t=0中，令x=0所以，|ST|=|k1−【解析】【分析】（1）设圆心N(a，b)，根据题意列出方程组，求得a，b的值，即可求得圆N的方程；

（2）若过点P的直线斜率不存在，则该直线的方程为x=−1，不合乎题意.设过点P且斜率存在的直线的方程为y−t=k(x+1)，得到方程|3k+t|k2+1=22−3=1，得到8k2+6kt+t220．【答案】（1）解：由已知条件得直线OB的方程为y=1设点M(x0，由直线OE的方程为y=2x0x可得点点P(14x02，1（2）解：设l1的直线方程为x=m(y−1)+1将直线l1与抛物线y2=xΔ=m2−4(m−1)=0l1的直线方程为x−2y+1=0，则R1(0，由此可知Q1(14，将直线l2与抛物线y2=xΔ=16n2−16(2n−1)=0l2的直线方程为4x−4y+1=0，则R2(0，由此可知设点Qn(xn，将直线ln+1与抛物线y2=xΔ=q2−4(m即q2−4qyn+4直线ln+1的方程为x−2yn令y=0得x=−yn2，即直线l则直线ln+1的斜率为12yn，直线即y=x2yn+yn则yn+1yn=12，即数列故yn【解析】【分析】（1）设点M(x0，12x0)，则E(x0，2)，进而求得点P的坐标为P(14x02，12x0)，根据点P(14x02，12x0)满足抛物线上，即可求解；

（2）设l1的直线方程为x=m(y−1)+1，联立方程组求得m=2，得到l1方程为x−2y+1=021．【答案】（1）解：因为|MF1|−|MF2所以|MF1|−|MF2所以C的方程为x（2）证明：设P(x0，设过点P的C的切线方程为y−y联立x29由Δ=(18(x0所以k【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义，得到点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，进而求得曲线C的方程；

（2）设P(x0，y0)，过点P的22．【答案】（1）解：由题意知：f'(x)=xex，令f'解得x<0，所以函数f(x)在(0，+∞)单调递增，f(x)在(−∞，0)单调递减，所以x=0为函数f(x)的极小值点，即极小值为：f(0)=−1，无极大值.（2）解：设g(x)=clnx，易知所以点(1，0)是f(x)=(x−1)ex和要使f(x)≥ax+b≥cln只需要y=ax+b为函数f(x)和g(x)的公切线即可，由（1）知，f'(x)=xe