广东省茂名市电白区2022-2023学年高二上学期数学期末考试试卷（含答案）

广东省茂名市电白区2022-2023学年高二上学期数学期末考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．若a=(1，−2，1)A．(2，−4，C．(2，0，2．若向量a=(1，1，0)A．15 B．4 C．5 D．173．双曲线x2A．y=±23x B．y=±49x4．椭圆x2A．2 B．3 C．4 D．65．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若A．24 B．36 C．48 D．646．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9=12a12+6，a2=4，则数列{1A．1920 B．2021 C．21227．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PA．1−32 B．2−3 C．38．阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则△PAB为“阿基米德三角形”，且当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）PA⊥PB；（3）PF⊥AB．若经过抛物线y2=8x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P在直线A．x−y−2=0 B．x−2y−2=0 C．x+y−2=0 D．x+2y−2=0二、多选题9．下列关于抛物线y2A．焦点在y轴上B．焦点在x轴上C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为(210．已知曲线C：A．若m=0，n>0，则C是两条直线B．若m=n>0，则C是圆，其半径为nC．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上D．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±11．已知直线l：ax+by−r2=0A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相交C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切12．对于数列{an}，定义H0=a1+2a2+⋯+2n−1A．an=2n+2 C．S8=S9 三、填空题13．已知a=(1，x，3)，b=(−214．记Sn为数列{an}的前n项和，若S15．F1(−4，0)，F2(4，0)是双曲线16．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1四、解答题、17．（1）已知椭圆的焦点坐标分别为(0，−4)，(0，（2）已知双曲线经过A(−7，−6218．已知Sn是等差数列{（1）证明{S（2）设Tn为数列{Snn}的前n项和，若S19．如图，在四棱雉S−ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=2，AD=1.（1）求证：平面SAB⊥平面SBC；（2）求平面SCD与平面SAB的夹角余弦值.20．已知直线l与椭圆x24+y23=1相交于A（1）求直线l的方程；（2）求△OAB的面积．21．新能源汽车的发展有着诸多的作用，不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，同时还能够减轻环境的污染．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．（1）求经过n年，该市被更换的公交车总数S(（2）若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．22．已知双曲线C：x2a2（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】a故答案为：A.

【分析】根据向量减法的坐标运算可得答案.2．【答案】D【解析】【解答】由题意，得3a∴|3a故答案为：D.

【分析】先求出3a3．【答案】D【解析】【解答】由双曲线x24−y2所以双曲线x24−故答案为：D．

【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的坐标，从而求出a，b的值，再利用双曲线的渐近线方程，从而求出双曲线x24．【答案】D【解析】【解答】解：椭圆x216+椭圆x2故选：D．【分析】利用椭圆方程求出a，b，c，然后求解即可．5．【答案】C【解析】【解答】因为S17=17(所以a6故答案为：C

【分析】根据等差数列前n项和公式，结合等差数列的性质，可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】由a9=12a∴a1=2=d，∴∴1S∴数列{1Sn}的前20项的和为故答案为：B．

【分析】由a9=12a12+6及等差数列通项公式得a1+5d=12，又a27．【答案】D【解析】【解答】解：在ΔF1设|PF2|=m又由椭圆定义可知2a=|PF1|+|P故答案为：D.

【分析】根据题意在直角三角形中，由三角函数的定义即可求解出2c=|F8．【答案】A【解析】【解答】根据题意，可知P点在抛物线的准线x=−2上，又点P在直线x−y+6=0上，所以P(−2，4)，又F(2，因为PF⊥AB，所以kAB=1，所以直线AB的方程为y−0=x−2，即故答案为：A.

【分析】由△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y29．【答案】B,D【解析】【解答】抛物线y2设M(1，y0)是由于抛物线y2=10x的焦点为(52，0)，过该焦点的直线方程为故答案为：BD

【分析】根据抛物线方程结合抛物线的性质，逐项进行判断，可得答案.10．【答案】A,D【解析】【解答】因为曲线C：若m=0，n>0，则C：y=nn和y=−n若m=n>0，则C：x2+y2=若m>n>0，即0<1m<1n，则C若mn<0，则C：x21m故答案为：AD.

【分析】根据选项条件分别化简曲线C：11．【答案】A,D【解析】【解答】解：圆心C(0，0)到直线l的距离若点A(a，b)在圆则a2所以d=r则直线l与圆C相切，A符合题意；若点A(a，b)在圆C内，则所以d=r则直线l与圆C相离，B不符合题意；若点A(a，b)在圆C外，则所以d=r则直线l与圆C相交，C不符合题意；若点A(a，b)在直线l上，则即a2所以d=r直线l与圆C相切，D符合题意．故答案为：AD．【分析】由点A在圆上，可得a，b，r的关系，求出圆心到直线l的距离，与半径比较可判断A；由点A在圆外，可得a，b，r的关系，求出圆心到直线l的距离，与半径比较，可判断B；点A在直线l上，可得a，b，r的关系，求出圆心到直线l的距离，与半径比较，可判断C；由点A在圆内，可得a，b，r的关系，求出圆心到直线l的距离，与半径比较，可判断D.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】由题意可知，H0=a1当n=1时，a1当n≥2时，a1+2①-②得，2n−1an=n⋅2n+1−(n−1)⋅2n∵an−20=2n−18，当an−20≤0时，即n≤9，且a9−20=0，故当n=8或9时，{故答案为：ACD.

【分析】根据所给H0=2n+1，可得当n≥2时，a1+2a2+…+2n−213．【答案】-8【解析】【解答】因为a∥b，所以b=λa.所以，λ=−2λx=4故答案为：-8

【分析】根据空间共线向量的坐标表示进行计算，即可求出答案.14．【答案】−63【解析】【解答】解：根据Sn=2a两式相减得an+1=2a当n=1时，S1=a所以数列{a所以S6故答案是−63.【分析】已知Sn求an，利用an=S1，n=1Sn15．【答案】4【解析】【解答】∵F1(−4，∴m+4=16，∴m=12，设|MF1|=∵点M是双曲线C上一点，且∠F∴|m∴△F1故答案为：43

【分析】先求出m，再设|MF1|=m1，|M16．【答案】13【解析】【解答】∵椭圆的离心率为e=ca=12，∴a=2c，∴b2=a2−c2=3c2，∴椭圆的方程为x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2−12c2=0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F判别式Δ=(6∴|DE|=1+∴c=138，得∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2，AE=EF2，∴△ADE故答案为：13.

【分析】根据已知条件求出椭圆的方程为x24c2+y23c2=1，然后根据等边三角形的性质得DE17．【答案】（1）解：由焦点坐标分别为(0，−4)，(0，且c=4，因为a=5，所以b=所以椭圆方程为：y2（2）解：设双曲线的方程为mx将点A、B的坐标代入双曲线方程可得49m+72n=128m+9n=1解得m=1因此，双曲线的标准方程为x2【解析】【分析】（1）由题意得椭圆焦点在y轴上，由a，b，c的平方关系求出b的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）设双曲线的方程为mx18．【答案】（1）证明：∵S∴S∴S∴{S（2）解：S44公差d=又∵S∴S∴S∴Tn【解析】【分析】（1）写出Sn，求出Snn，化简Snn−S19．【答案】（1）证明：∵SA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC.∵AB⊥BC，SA∩AB=A，SA、AB⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB，∵BC⊂平面SBC，∴平面SAB⊥平面SBC；（2）解：∵SA⊥底面ABCD，AB、AD⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，又AB⊥AD，∴以点A为原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，设平面SCD的法向量是n=(x，y，z)，则n⋅SC=0n⋅SD由（1）知BC⊥平面SAB，故可取平面SAB的法向量为m=(1设平面SCD与平面SAB的夹角为锐角α，∴cosα=|∴平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为63【解析】【分析】(1)利用面面垂直的判定定理证明得平面SAB⊥平面SBC；

(2)以点A为原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求出平面SDC的一个法向量和平面SAB的法向量，利用法向量的夹角公式求出平面SCD与平面SAB的夹角余弦值.20．【答案】（1）解：由斜率公式可知kOP=1代入椭圆方程得到：x化简得到−34∴所以直线方程为y−1=−3所以直线l的方程为3x+4y−7=0．（2）解：将直线方程与椭圆方程联立，可得21xΔ=4由弦长公式得到|AB再由点到直线的距离公式得到坐标原点到直线AB的距离d=|所以△OAB的面积S=1【解析】【分析】(1)由题意利用点差法确定直线的斜率，然后求解出直线l的方程；

(2)首先求得弦长，然后求得三角形的高，最后计算出△OAB的面积．21．【答案】（1）解：设an依题意，数列{an}是首项为128，公比为1+50%=于是得{an}的前n项和Sn=所以经过n年，该市被更换的公交车总数为S(（2）解：若计划7年内完成全部更换，则S(于是得256[(32)7而a∈N所以a的最小值147.【解析】【分析】(1)设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，依题意，数列{an}22．【答案】（1）解：右焦点为F(2，0)，∴c=2，∵渐近线方程为y=±3x，∴ba=3，∴b=∴C的方程为：x2（2）解：由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F，此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x1总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k，直线AB方程为y=k(x−2)，则条件①M在AB上，等价于y0两渐近线的方程合并为3x联立消去y并化简整理得：(设A(x3，y3设M(x则条件③|AM|=|BM|等价于(x移项并利用平方差公式整理得：(x[2x0−(即x0由题意知直线PM的斜率为−3，直线QM的斜率为3∴由y1∴y1所以直线PQ的斜率m=y直线PM：y=−3代入双