2024年北京房山良乡中学高三（上）第一次月考数学试题及答案

2024北京房山良乡中学高三（上）第一次月考数学本试卷共8页，满分分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上.考试结束后，将答题卡交回，第一页选择题不上交.第I卷（选择题共40分）一、选择题．本题共题每题分4，共计40分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1A=xx2=−2，则BA1.已知集合，（）−0,1−0D.11,0A.B.C.2.已知命题：∀x∈R+，x＞0，那么命题pA.∃x∈R+，x≤0为（）B.∀x∈R+lnx＜0D.∀x∈R+，lnx≤0C.∃xR+，lnx＜0R，且ab，则3.设a,b11bcC.a2b2D.a3b3A.acB.ab4.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是（）y=xy=2xy=xsinxA.y5.设2B.C.D.a,bab0”是“ab为实数，则“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件x6.曲线y=在点处的切线方程为（）2x−1x−y−2=0x+y−2=0x+4y−5=0x−y−5=0bacA.B.C.=c=9，则，b，c的大小关系是（D.D.a=log3πb37.已知）A.abcB.acbbcaC.8.已知函数f(x)=2x−x−，则不等式f(x)0的解集是（1A.(−B.(−∞,−1)∪(1,+∞)D.(−∞,0)∪(1,+∞)C.x()（单位：）与声音强度（单位：W/m2）满足()=fxfx10x9.声音的等级.喷气式飞机110起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A.106倍10.函数B.108倍C.1010倍D.1012倍()个不同的数xy=()的图象如图所示，在区间afxnnnNx、、2上可找到、1()()()fnnfxfx=2=n，则的取值为（x1，使得）n122,3,4,54,54,52,3,4D.A.B.C.二、填空题．本题共5题每题分，共计25分.1x−1()=+函数fxlog2x的定义域为___________.5(3−0+(3−π)2+4log23−+25=_______________12.计算：．21x−1“xx1，则x+”x13.能够说明设是实数．若3是假命题的一个实数的值为________．1()fx()是定义在R上的偶函数，并满足f(x+2)=fx，当1x2时()=−，则fxx214.已知()等于f．______x−3xf(x)=15.设函数.x+1,xa①若a=1f(x)的值域为___________；②若f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是___________.三、解答题f(x)=x2+2(m−x+2.16.已知函数（1）若m=2，求x[2,3]时，函数f(x)的值域.+2(m−x+2的单调递增区间为[4,+)，求实数m的值.f(x)=x222（2）若函数（3）若函球（4）若函数f(x)=xf(x)=x+2(m−x+2在区间[4,+)上单调递增，求实数m的取值范围.+2(m−x+2有两个零点，求实数m的取值范围.17.如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD底面⊥ABCD，PD==1，AD=2为BC，M的中点.（1）求证：⊥；（2）求平面PAM与平面所成的角的余弦值.1f(x)=x3−x−ax(aR)．218.已知函数3f(x)在x=−1时，有极值，求a的值；（1）若1（2）若a=1，求函数f(x)=x3−x−ax(aR)的单调区间．23f(x)（3）讨论函数极值点的个数．19.某产业园生产的一种产品的成本为50/件销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、元、60为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.产品等级优等品一等品二等品普通品样本数量（件）30506060（1）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；（2）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望;（3）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为s21,s22，比较s21,s22的大小.（请直接写出结论）1f(x)=(x−x−ax2(aR).20.已知函数2（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程；f(x)在2]（2）求函数上的最小值.2a,a满足：，且=nn(=na1N*,124an121.已知数列.记集合n−2nn12*M=∣nN.na=21（1）若，写出集合M的所有元素；（2）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（3）求集合M的元素个数的最大值.参考答案第I卷（选择题共40分）一、选择题．本题共题每题分4，共计40分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.【答案】D【分析】先计算集合A，再与集合B进行交集运算即可得正确选项.1=xx−10=x−1x1，A=xx22【详解】因为B=−2，AB=0，所以故选：D.2.【答案】A【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，故命题“p：x∈R+，lnx0”的否定p为：∃x∈R+，x≤0.故选：A.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，要注意两个方面的变化：1.量词，2.结论，属于基础题.3.【答案】D【分析】y=x3取特殊值排除A，B，C，根据函数的单调性即可得出正确答案.【详解】对A项，当c0时，abacbc，故A错误；111对B项，取a=−2，b=1时，−1，不满足，故B错误；2ab()2对C项，取a=−2，b=−1(−)2−1，不满足a2b2，故C错误；y=x3，则aba3b3对D项，函数故选：D在R上单调递增，，故正确;D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.4.【答案】B【分析】根据函数的单调性、奇偶性的定义及判断方法判断即可.【详解】对于A，函数是偶函数，在(0,+∞)递减，不合题意；故A错误，对于B，函数是偶函数，在(0,+∞)递增，合题意；故B正确，对于C，函数不是偶函数，不符合题意；故C错误，对于D，函数在(0,+∞)不是单调递增，不符合题意；故D错误.故选：B.5.【答案】A【分析】根据函数f(x)=x为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数f(x)=x为单调递增函数，当ab0时，可得f(a)fb()，即成立，ab当ab，即()fb)时，可得faab，所以ab0不一定成立，所以“ab0”是“故选：A.ab”的充分而不必要条件.【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.6.【答案】B【分析】求导后由导数的意义求切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可；2x−1−2x12x1−)==y【详解】求导可得，2(2x1−)2(所以切线的斜率为k=−1，y−1=−x−1()，即x+y−2=0，所以切线方程为故选：B.7.【答案】D【分析】由对数函数单调性和指数函数单调性得到a=bc1，比较出大小.1【详解】=====31,a3b3πc93ππ故bac故选：D8.【答案】Dy=2xy=x+1【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.【详解】因为f(x)=2x−x−1，所以f(x)等价于02xx+1，y=2xy=x+1和的图象如图：在同一直角坐标系中作出2)两函数图象的交点坐标为，不等式2xx+1的解为x0或x1.所以不等式f(x)0的解集为：(−∞,0)∪(1,+∞).故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.9.【答案】B【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1，，根据题意得出x212f(1)=140，f(2)=，计算求的值．【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1，x，21110f(1)=10lg=140x=102，则1，，−122110f(2)=10=60，则210−=6−1212=108所以，因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的8倍．故选：B．10.【答案】A()()()fxnnf1f2===ky=kxy=f(x)n的图象有个交点，【分析】设，可知直线与函数12n数形结合可得出的可能取值.()()−fxx−0()fxfx0y=f(x)上的点(x,fx()【详解】，则代数式表示曲线与原点连线的斜率，xx()()()fxnnf1f22===k，设1()个交点，y=kxy=()fxnnnN可知直线作出函数与函数的图象有y=fx()与直线y=kx的图象如下图所示：y=kxyfx35=()的图象有2或或4或个交点，由图象可知，直线与函数2,3,4,5n因此，的可能取值的集合为.故选：A.()()()fxfxfx1=2=n=k，将问题转化为直【点睛】关键点点睛：本题考查图象的应用，令12ny=kxy=()fx的图象的交点个数问题是解题的关键，在解题时应充分理解一些代数式的几何线与函数意义，充分利用数形结合思想来求解.二、填空题．本题共5题每题分，共计25分.()0,1【答案】x【分析】根据对数的真数大于零，分母不为零可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.x0()的定义域是()，解得：x0且x1，故函数fx0,1.【详解】由题意得x−10故答案为：()0,1.12.【答案】8π+【分析】利用指数幂与对数的运算法则求解即可.552(3−0+(3−π)2+4log23−+25=13π22log2325+−++【详解】225=1+π−3+2log92+25=π−2+9+1=π+8.故答案为：8+π.213.【答案】1x−11x−1【详解】因为푥>1，故x−10，x+=x−1++1等号成立的条件为1x−1x−1=x=2x=2，故当时函数值等于3.此时不满足题干．故答案为2．点睛：这个题目是考查的均值不等式的条件，首先均值不等式的条件是一正，二定，三相等，积是定值时，和有最小值，和是定值时，积有最大值；故首先要构造出乘积的定值，最终确定等号能否取到．14.【答案】−1()fx(+)=fx2()为偶函数可得fxf(−x)=f(x)从而有【分析】由可得函数的周期为4，再由()=()=(−)=()代入可求f6.5f2.5f1.5f1.51()fx(+)=fx2【详解】，1fx4(+)=(+)+=fx22fx=()，即函数的周期为4(+)fx2f−x=fx是定义在R上的偶函数，则有()()()=()=(−)=()=−f6.5f2.5f1.5f1.50.5，故答案为−【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性等性质的综合应用，解决本题的关键是根据所给的条件：1()fx(+)=−fx2fx+4=f(x)()可得即可得函数的周期，从而把所求的()利用周期和奇偶性转f化到所给的区间，代入即可求解．(−+).15.【答案】①.【分析】①=1，直接求值域；y=−和yx1的图像，分析a的取值范围.=+3x1②在同一个坐标系内作出x−x13f(x)=【详解】解：①若a=1，x+1,x1当x≤1时，fx)=3x1∈(﹣1，2]，当x>1f(x)=|x+1|>2，∴f(x)的值域为(﹣1，2]∪(2，+∞)=(﹣，+∞)；②在同一平面直角坐标系内作出函数y=3x﹣1与y=|+1|的图象如图：−3xxaf(x)=由图可知，要使函数在R上的增函数，只需-1≤a≤1，x+1,xa则实数a的取值范围是[﹣1，1].(−+)；②故答案为：①.【点睛】由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法：(1)分段函数的每一段都单调；(2)根据单调性比较端点函数值的大小.三、解答题16.1）（2）m=−3（3）m3（4）m1+2或m1−2=(+)2+1的单调性再结合二次函数性质得到函数值域）先确定f(x)x1.（2）求出二次函数的对称轴，则根据单调递增区间为[4,+)m，可求的值；m（3）求出二次函数的对称轴，则根据利用二次函数的图象与开口方向可求的范围；（4）根据函数f(x)=x【小问12+2(m−x+2有两个零点得出方程判别式大于零，再解一元二次不等式即可.当m=2时，f(x)=x2+2x+2=(x+)2+1，x[2,3]，−−)−1,3上单调递增，1函数在上单调递减，在f(x)=f(=1−2+2=1f(x)=f3)=9+6+2=17，.的值域为.f(x)所以函数【小问2f(x)=x+2(m−x+2图象开口向上，对称轴为x=1−m.2根据函数函数单调递增区间为[4,+)，所以1−m=4【小问3，所以m=−3.根据题意得函数图象开口向上，对称轴为x=1−m.函数在区间[4,+)上是严格增函数，所以1−m4【小问4，所以m3.f(x)=x2+2(m−x+2有两个零点，则x2+2(m−x+2=0有两个根，函数所以=4(m−2−4120，化简得m−1解得+或m1−m122.17.1）证明见解析；6（2）.6）证明出AD平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；⊥（2）以点D为坐标原点，DA、、DP所在直线分别为间向量法可求得平面PAM与平面所成的角的余弦值.【小问1x、yz、轴建立空间直角坐标系，利用空ABCD⊥，则，证明：因为四边形ABCD为矩形，则⊥CD，平面ABCD，AD平面AD平面，平面，故⊥.【小问2解：平面ABCD，⊥CD，点D为坐标原点，DA、、DP所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，⊥xyz、、则()、()、()，=(−0,1)，=(−0)，AMA0,0M0P0,1AP=()x,y,z，设平面的法向量为m+z=0mm)，则，取x=1，可得m=2−x+y=06=1,0,0)，,n=，易知平面的一个法向量为nmn666因此，平面PAM与平面所成的角的余弦值为.618.1）a1（2）单调递增区间为(1=；,1,)，单调递减区间为(3))(；13a−0a−（3）当时，极值点个数为；当时，极值点个数为2.3−=f(0）求定义域，求导，根据求出a=1，检验后得到结果；（2）求定义域，求导，解不等式求出函数的单调区间；f(x)（3）求导后，根据根的判别式，判断出【小问1的变号零点个数，得到答案.()定义域为，f(x)=x−2x−a，fx2R−=f(0，即1+2−a=0，解得a=1，由题意得f(x)=x−2x−3=(x−3)(x+)，2当a=1时，得f(x)0x3或x1，令f(x)01x3，得令故()在(−)()上单调递增，在(−)上单调递减，fx,1,3故x=−1为极大值点，满足要求，故a=1；【小问21−3x，f(x)=xx22−2x−3=(x−3)(x+)，a=1时，f(x)=x3−3由（1）可知()的单调递增区间为(−)()，单调递减区间为(−)；,1,1,3fx【小问31f(x)=x3−x2−ax(aR)定义域为，3=2−2x−a，=4+12a，f(x)x13当=4+12a0，即a−时，()fx恒成立，此时在R上单调递增，无极值点；f(x)0故当13a−f(x)时，有两个变号零点，=4+12a0，即故()有2个极值点，fx11a−a−故当时，极值点个数为；当时，极值点个数为33319.1）65（2）分布列见解析，（3）12=s22）由数据计算频率后估计概率（2）由二项分布概念公式求解（3）由方差计算公式判断【小问13=抽取的200件产品中优等品有30件，抽取优等品的频率是，3用样本估计总体，从流水线上随机抽取一件产品，估计是优等品的概率为..【小问230+5025=.从流水线上随机抽取一件产品，估计利润大于元的概率为X的可能取值为0，123.2003272354P(X=0)=C30()3=P(X==C31()1()=2，，521255512533628P(X=2)=C32()2()1=P(X==C33()3=，551255125分布列为X01238P543686X的数学期望E(X)0=++2+3=....1251251255【小问3s21=22设200件样本利润分别为x,x,，平均数为x，12x−x−则降价后200件样本利润分别为，平均数为x−5，12由方差计算公式可得12=s22y=120.1）（2）答案见解析）利用导数的几何意义，求切线方程；(−a)f(x)=xexa0和a0两种情况讨论函数的单调性，（2）首先求函数的导数，化简为，再讨论再求函数的最值.【小问1当a=0时，f(x)=(x,()−xfx=xexf(0)f(0)=1.=所以y=f(x)在x=1处的切线方程为：y=1.所以曲线【小问2f(x)=xex−ax=xe(−a).x①当a0时，ex−a0.x2]f(x)0.所以时，1f(x)在2]f(x)=f=−a所以上是增函数.所以..2==lna,x2=0（舍）②当a0时，令f(x)0，解得x1，即0ae时，x2]时，f(x)01°当a1.1f(x)在2]f(x)=f=−a所以2°当1lna2，即eae2时，lna)a(lna,2)上是增函数.所以2x()fx-0+()fx减函数极小值增函数1f(x)=f(lna)=−aln2a+a(lna−.所以23°当lna2，即ae2时，x2]f(x)0.时，f(x)在2]f(x)=f(2)=e−2a.2所以上是减函数.所以1aef(x)=−a综上，当时，；21当eae2时，f(x)=−a2a+a(lna−.2f(x)=e2−2a.当ae2时，8,1621.1）（2）见解析（35）根据递推关系可求M的所有元素；（2）根据递推关系结合数学归纳法可得相应的证明；（3）利用列举法可求M的元素个数的最大值【小问1a=21a=2a=4a=2a=8a=2a=16若，则，，，213243a=2a−24=8中的项的大小从第项开始周期变化，且周期为a，故32.54nM=.故【小问2a=,mN*设若若故，kaaa12，则m=2a，因2,3互质，故ak1为3的倍数；k1k112，则m=2a−24即2k1m24=3(m+8)=+，因2,3