2024年北京北师大二附中高三（上）统练二数学试题及答案

2024北京北师大二附中高三（上）统练数 学一､选择题（共10小题）1.设全集𝑈={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合𝐴={−1,0,1,2}, 𝐵={−3,0,2,3}，则

UB（ A.{（

B.C.

D.{−3,−2,−1,1,3}下列函数中，在区间(0,)上单调递增的是（ ）f(x)lnx

f(x)12xC.f(x)1x

D.f(x)3|x1|已知a，b，c满足cba，且ac0，那么下列各式中不一定成立的是（ ）A.abacC.cb2ab22下列各式化简运算结果为1的是（ ）2

B.cba0D.acac0

ln

0.253

lg

1lg5222a 5 3 log a2（a0且a1） D.log3log2loga 5 3 5.若alog30.8，b30.8，c0.32.1，则a，b，c的大小关系为（ ）abc

cba

cab

acb6.fx6x 2

x，在下列区间中，包含𝑓(𝑥)零点的区间是A.0,1 B.2 C.2,47.已知a,bR，“a2b2”是“a2b22ab”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条已知函数f(x)3x2x1，则不等式f(x)0的解集是（ ）

D.4,A.0,1

B.0,

C.,0S

D.,01,CWlog2N，其中C为最大数据传输速率，S单位为bis/s；W为信道带宽，单位为Hz；N

为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当S99，W2000Hz时，最大数据传输速率记为C；当S

9999，W3000Hz时，最大数据传输速率N 1 N2记为C，则C2为（ ）2C15 A.1 B. 2

D.34已知数列n满足，nN*，4n3 1，a4n1 1，a2nan，该数列的前n项和为Sn，则下论断中的是（ ）A.a311C.非零常数T，使得anTan二､填空题（共5小题）

B.a202412nN*S2n22不等式x1

3的解集是 .an为等比数列，Sn为数列an的前n项和，an12Sn2，则a4.x4,函数y x

1x

的值域为 .43 3

, 0x2甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，两人每次射击是否命互不影响.设事件A为“两人至少命中一次”，事件B为“甲命中”则条件概率P∣A的值为 .kbFx和Gxx都满足：FxkxGxkxbykxFxGx的“隔离直线”，已知函数fxx2xRgx1x0hxx(e为自然对数的底数)，有下列命题：x32①mxfxgxx1 32,0 fx和gx之间存在“隔离直线”b的最小值为4；fx和gx之间存在“隔离直线”k的取值范围是4,1；fx和hx之间存在唯一的“隔离直线”y

exe．其中真命题的序号为 ．(请填写正确命题的序号)三､解答题（共2小题）某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了AB、CDEF6座车站．在试运营期200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人：下车站上车站ABCDEF合计A///5642724B12///20137860C57///38124D1399///1638E410162///335F25543///19合计363656262125200B1人，估计该乘客在C站下车的概率；以频率估计概率，在试运营期间，从在A站上车的B站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在C站下车的人数为X，求随机变量X的分布列以及数学期望；为了研究各站客流量的相关情况，用1B站上下车的乘客的上、下车情况，1”表示上0”表示下车．相应地，用23分别表示在CD，D2大小关系．f(x)lnxa(x1)exaR.（Ⅰ）a0fx的单调性；（Ⅱ）若0a1，efx恰有两个零点x0fxx1fxx0，证明3x02.参考答案一､选择题（共10小题）【答案】C【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：∁𝐵={−2,−1,1}，则𝐴∩(∁𝐵)={−1,1}.U U故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.Aylnx在0yx在0上单调递减，fxlnx在0A错误；对于B，因为y2x在0,上单调递增，y1在0,上单调递减，xfx12x

在0,上单调递减，故B错误；对于C，因为y1在0,上单调递减，yx在0,上单调递减，xfx1在0C正确；x1

1

21 对于D，因为f 2

32

，f3

f23

3，3fx3x1在0上不单调，D故选：C.3【答案】C【分析】由已知可得a0，c0，再由不等式的基本性质逐一判断即可．【详解】解：因为cba，且ac0，所以a0，c0，对于Aa0bc0abaca(bc)0abac，故A正确；Bc(ba)0B正确；对于C，当b0时，cb2ab2，故C错误；Dac0ac0ac(ac)0D正确．C．【答案】D【分析】根据对数的性质进行计算即可.2 1233

12【详解】对于，en30.12533

3

1，故A错误；B

8 221lg51lg21lg5111，故B错误；22 2 2 2 2C

a2log 1aa21a

414，故C错误；D3log2log5lg3?1D正确.故选：D.

5 3 2

【答案】D【分析】分别根据对数函数以及指数函数的单调性判断出a,b,c三数的取值范围，即可得答案.alog30c0.32.10.301故acb,故选：D【答案】C

30，b30.8301，【详解】因为f(2)310，f(4)320，所以由根的存在性定理可知：选C.2考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.【答案】B【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.a2b2ab，当ab0a2b22aba2b22ab，则(ab)20ab，显然a2b2成立，必要性成立；a2b2a2b22ab的必要不充分条件故选：B【答案】A【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在0x01，再由函数的单调性及f(0)得不等式的解集.f(x3xln32f(0)ln320f3ln320，(0,1f(x00，所以当xx0时，f(x)0，当xx0时，f(x)0，所以函数f(x)在,x0上单调递减，在x0,上单调递增，

f(1)0可又f(0)

f(1)0，且0x01，所以由f(x)0可得0x1，故选：A【答案】D【分析】根据定义，代入数据分别求C和C，再根据换底公式计算C2的值.C1 2C1【详解】由条件可知C12000log21992000log2100，C23000log2199993000log210000，C2log23log 3.C 100 2

1001 2故选：D【答案】C【分析】由已知

a31

a4811可得 A 正确；由已知递推关系a4811a2024

a21012

a2506

a506

a2253

a253

a4643 1可得B正确；由已知递推关系总结数列的CnnD确.【详解】对于A，因为a4n1 1，所以对于B，因为a4n3 1，a2nan，

a481 1A正确；

a21012

a2506

a506

a2253

a253

a4643 1B正确；对于C，由a4n3 1可得1，由a4n1 1可得a7 1，由a2nan可得a2a4 1而a6a24 1，所以an0，设存在非零常数T,nN*，使得anTan，则aTTaT2aTaT0，矛盾，所以不存在非零常数TnN*anTanCn1S1S2121()2，n2S22S4123411112，n2时，有相邻两项a3a4即有接下来2212个项和为零；当n3时，S23S8a1a2a3a4a5a6a7a8111111112，即n3时，有相邻两项a3a4的和与相邻四项a5a6a7a8为零，22

231

6个项和为零；nk21

k

2(1

kk即有接下来的2 2 2

12

2项和为零，所以S2n123 2n202，故D正确.222个故选：C.DS2n到4项，5到8项，9到16项和分别为零.二､填空题（共5小题）【答案】{x|x1x5}3

2的意义，即表示数列中前两项和2为外的33x50，等价于x13x50，求解即可x1

x10【详解】233x50，所以x13x50x1x5，所以不等式23x1

x1

x10

3 x1的解集是{x|x1或x5}.3故答案为：{x|x1或x5}3【答案】54【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得a4的值.qq0，由an12Sn2，得a22S122a12,a32S222a1a22，2 2即aq22aaq2，解得q3，1 1 1 所以aaq354.4 1故答案为：54.13.0169【分析】分1x0和0x2两种情况，结合幂函数以及指数函数单调性求值域.【详解】解：当1x0yx4单调递减，所以函数的值域为0,1，4x

16当0x2时，y 3 3

单调递增，所以函数的值域为， 9y的值域为016.99故答案为：0,16【答案】

94047PAPAB，再根据条件概率的计算公式即可求解.PA1PA10.20.30.94，PAB0.80.70.80.30.8，PAB 0.8 40所以PA .40故答案为： 47

PA

0.94 47【答案】①②④【分析】由题意结合“隔离直线”的定义逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】结合题意逐一考查所给命题的真假：1 1 1 2x31①∵m(x)=f(x)−g(x)=x2−

，x

,0，则m'x2x 0，32x 321

x2 x2∴F(x)=f(x)−g(x)在 32,0内单调递增，故①对； ②、③设f(x)、g(x)的隔离直线为y=kx+b,则x2⩾kx+b对一切实数x成立,即有△1⩽0,k2+4b⩽0，b⩽0，又1⩽kx+b对一切x<0成立,则kx2+bx−1⩽0,即△2⩽0,b2+4k⩽0，k⩽0，x即有k2⩽−4b且b2⩽−4k,k4⩽16b2⩽−64k⇒−4⩽k⩽0，同理可得−4⩽b⩽0，故②对，③错；f(x)h(x)x

e处有公共点

e,e,ee因此若存在f(x)和g(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点,eeky−e=k(x−

),y=kx−k

+e，ef(x)⩾kx−ke

+e(x∈R),x2−kx+k

−e⩾0当x∈R恒成立，e则△⩽0,即ke

e20k2

,y

exe，ehxe

exe：令Gx

exehx

exelnx，则G'x

exe，exex

e时,G′(x)=0,当0x 时,G′(x)<0,当x

e时,G′(x)>0，则当xe时,G(x)取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以Gx

exehx0,hx2

exe当x>0时恒成立.f(x)g(x)y故答案为①②④.

exe，故④正确.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三､解答题（共2小题）1（1）37（2）分布列见解析；期望为（3）D(2)D(1)D(3)【分析】（1）利用频率来求概率即可；X0，1，2X的分布列及数学期望；利用两点分布的方差公式依次求出进行比较即可.【小问1详解】设选取的乘客在B站上车、在C站下车为事件M，由已知，在B站上车的乘客有60人，其中在C站下车的乘客有20人，所以P(M)201．60 3【小问2详解】6 1从在A站上车的所有乘客中任选1人，该乘客在C站下车的概率为24 4由题意可知，X可取0，1，2P(X0)(11)(11)1，4 3 2P(X1)1(11)(11)15，4 3 4 3 12P(X2)111，4 3 12X的分布列为X012P12512112所以随机变量X的数学期望为EX0115217．2 12 12 12【小问3详解】因为在B站上车的有60人，下车的有36人，所以P(1)605，P(

0)363，1 96 8

96 8所以D()53150.2344，1 8 8 64因为在C站上车的有24人，下车的有56人，

1)243，P(

0)567，2 80 10

80 10

37

210.21，2 10 10 100因为在D站上车的有38人，下车的有26人，

3819，P(64 32

0)2613，64 32D(1913

247

0.2412，3 32

1024所以D(2)D(1)D(3).17.【答案】（I）f(x)在(0,+∞)内单调递增.；（（））见解析.（；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；（（）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.【详解】（I）解：由已知，f(x)的定义域为(0,+∞)，且f'(x)1[ae

xa(x

1ax2ex] x xa0时，1ax2ex0f'(x)0f(x在(0,内单调递增.1ax2ex（）证明（）由（）知，f(x) ，x令g(x)1ax2ex，由0a1，可知g(x)在(0,+∞)内单调递减，e又g(1)1ae0，且g(ln1)1a(ln1)211(ln1)20，a a a a故g(x)0在(0,+∞)内有唯一解，从而f'(x)0在(