高中数学复习全套

集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。二集合的抽象表示形式用大写字母A，B，C……表示集合；用小写字母a，b，c……表示元素。三元素与集合的关系有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空集：不包含任何元素的集合叫做空集，用⑦表示；有理数集：Q；实数集：R。五集合的表示方法(一)列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。(二)描述法：有以下两种描述方式【例】方程x2-3x+2=0的所有解组成的集合，可表示为{x|x2-3x+2=0}。x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合2．文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。也就说要判断元素到底是什么。(三)韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关真子集：如果所有属于A的元素都属于B，而且B中至少有一个元素不属于A，那么A叫做B的真子集，记作AB或AB。真子集也是子集，和子集的区别之处在于A≠B。对于同一个集合，其真子集的个数(2)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是2．交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作AIB，3．并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作AYB，读4．补集：由所有不属于A的元素组成的集合，叫做A在全集U中的补集，记作CA，U德摩根公式：C(AIB)=CAUCB;C(AUB)=CAICB.UUUUUU(四)区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小一映射与函数的基本概念A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。在A到B的映射中，从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。(Ⅱ)判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x按照对应法则f对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格函数三要素：定义域A：x取值范围组成的集合。值域B：y取值范围组成的集合。对应法则f：y与x的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式(2)不能有剩余的象，即每个函数值y都能找到相应的自变量x与其对应。二定义域题型(一)具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式直接考查：主要考解不等式。利用：在f(x)中f(x)≥0；在π在logaf(x)中，f(x)>0；在tanf(x)中a(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。三值域题型(一)常规函数求值域：画图像，定区间，截段。(二)非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式1R。判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解。(五)原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反(六)已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。（一）指数运算法则③(am)n=amn④ambm=(ab)m（二）对数运算法则alogab②logM+logN=log(MN)M③logaM—logaN=logaN④logaMn=nlogaM不同底公式：①logaN=mn②logambn=mlogabnb运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。xx2(四)递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。六常规函数的图像底数越来越大底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。七函数的单调性(一)定义：在给定区间范围内，如果x越大y越大，那么原函数为增函数；如果x越大y越小，那么原函数为减函数。1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。1复合函数法：：211↓2.判断单调性(2).利用定义：设x1<x<x2，比较f(x1)与f(x2)大小，把f(x1)一f(x2)因式分解，看正(3).原反函数：具有相同的单调性，一个函数具有反函数的前提条件是它具有严格的(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断。(2).比较函数值的大小：画图看(3).解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式。(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。奇函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。(1).先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与f(-x)正负(2).看图像对称性：关于y轴对称为偶，关于原点对称为奇(3).原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数。(1).利用公式：f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)，计算或求解析式F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x得：F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。3.奇偶函数图像的对称性22若f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函数，T为f(x)周期(2).把所给函数化为y=Asin(ωx+ф)+C标准形式，直接读出周期T=2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T+x)十函数图像的对称性{——,m)对称(Ⅱ)y=f(x)关于(a,b)对称的函数：x→2ax,y→2by即2by=f(2ax)对称十一原函数与反函数反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点：求反函数，利用原函数与反函数关（一）求反函数：先反表示，再x,y互换；或先x,y互换再反表示。一个函数有反函数的前提条件是在整个定义域内具有严格的单调性。（二）利用原函数反函数的关系解题：已知原函数或反函数情况求反函数或原函数情况时，往往不用求反函数可依据以下结论解题。原函数自变量等价于反函数函数值，原函数函数值等价于反函数自变量；原函数定义域等价于反函数值域，原函数值域等价于反函数定义域。2．单调性：原函数与反函数具有相同的单调性3．奇偶性：奇函数反函数是奇函数，偶函数没有反函数。一不等式的证明①做差：证明不等式首选不等式，做差的本质是因式分解，能否使用做差法取决于做差②作比：通过构造同底或同指数合并作比结果，再利用指对数图像判断大于小于1；③用公式：构造公式形式；等价变形：左右两边n次方；平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)：2④等价变形：不能直接做差、做比、用公式的先等价变形在做差、做比、用公式证明，后面的方法都是特殊的等价变形方法；⑥换元：均值换元或三角换元；⑦放缩：放大或缩小成一个恰好可以化简的形式；⑧反证：条件比较复杂，结论比较简洁时，把结论的相反情况当成条件反证；⑨函数求值域：共有四种方法：见函数值域部分；⑩几何意义：斜率，截距，距离；数学归纳法:适合数列不等式。二不等式的解法解一次不等式主要考察讨论系数大于零小于零等于零的三种情况。两根之内或两根之外，主要考查根与系数的关系。3．高次不等式：序轴标根法(二)绝对值不等式、无理不等式、分式不等式先变形成有理不等式，再求解。lf(x)>g(x)(2)f(x)>g(x)今{lf(x)>[g(x)]2lg(x)<0(3)f(x)<g(x)今{g(x)>0lf(x)<[g(x)]2(三)指数不等式对数不等式不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后，再换元成有理不等式求解。af(x)>ag(x)今f(x)>g(x);EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up8(g),f)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up8(x),x)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up8(0),g)af(x)>ag(x)今f(x)<g(x);EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up8(g),f)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up8(x),x)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up8(0),g)三线性规划（1）把不等式组中的一次式看成直线，在平面直角坐标系中画直线，标明直线序号y≥f(x)是点在直线上方（包括直线）y≤f(x)是点在直线下方（包括直线y>f(x)是点在直线上方（不包括直线）y<f(x)是点在直线下方（不包括直线）（3）确定目标函数函数值的几何意义确作图，在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点的距离还是点与直线距离，一导数的概念（一）导数的定义的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=f(x)在x→x0处的导数，记作y/x=x0，即f/2导函数的定义：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数f/(x),称这个函数f/(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数。f/(x)是曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线的斜率·因此，如果y=f(x)在点x0可导，则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y一f(x0)导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。1.利用定义求函数y=f(x)的导数(3)取极限，得导数y/＝f2.利用导数的实际意义解题主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程。二导数的运算（一）常见函数的导数xxlna1xEQ\*jc3\*hps38\o\al(\s\up15(1),x)（二）导数的四则运算1．运算法则复合函数导数的运算法则为：求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。求复合函数的导数的方法步骤：(1)分清复合函数的复合关系，选好中间变量(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成三导数的应用（一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。义域的交集的对应区间为增区间；义域的交集的对应区间为减区间。2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤①确定f(x)的定义域；②计算导数f/(x)；④用f/(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f/(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间f’(x)>0，则f(x)在对应区间上是增函数，对应（二）利用导数求解函数极值与最值。(1)极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点·(2)极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点·(3)函数的最大值和最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。(1)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小(2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值。(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点3.判别f(x0)是极大、极小值的方法:若x0满足f=0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f’(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(xf(x0)是极大值；如果f0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值4.求函数f(x)的极值的步骤:(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值5.利用导数求函数的最值步骤:⑴求f(x)在(a,b)内的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a,b]上的最值·（三）利用导数求解证明不等式：主要方法为将不等式t(x)≥g(x)左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数f(x)=t(x)-g(x)，通过对f(x)求导，根据f,(x)的大小和导数的性质，结合已知条件进四定积分与微积分基本原理(理科考查，文科不考查)（一）曲边梯形面积与定积分1、定积分定义：设函数f(x)在[a,b]上有界(通常指有最大值和最小值)，在a与b之间任意插入n-1个分点，并求和i函数f(x)在[a,b]上的定积分,记为dx，即其中称为函数f(x)在区间[a,b]的积分和.2、定积分的几何意义a直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线y=f(x)、（二）微积分基本定理若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，即F,(x)=f(x),x∈[a,b]，则faexdxx本节主要考察利用积分的公式熟练的计算。一复数的概念1.虚数单位i：(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*a+bi的形式，叫做复数的代数形式·z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0:7.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC:二复数与复平面1.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小也只有当两个复数全是实数时才能比较大小b也叫高斯平面，x轴叫做实轴，bo实轴上的点都表示实数o对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up2(一),—)Z(a,b)这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法三复数的运算3.复数的加法运算满足交换律:z1+z2=z2+z14.复数的加法运算满足结合律:(z1+z2)+z3=5．乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数8.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数—1.复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up1(OP),1)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up1(OP),2)OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量OS就是z1+z2的和所对应的向量·2.复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up30(对),3)（一）、在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象叫做确定性现象（二）、在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象叫做随机现象（三）、必然会发生的事件叫做必然事件；肯定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件在相同条件下，随着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。1.概率：一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将发生的频率m作为事件A发生的概率的近似值，即P(A)≈m①随机事件的概率为0≤P(A)≤1，②必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用Ω和φ表示，必然事件的概率3.（1）频率的稳定性即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率;（2）“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性.我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在0～1之间的一个数，将这个事件记为A，用P(A)表示事件A发生的概率.三古典概型1、基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.2、等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的；那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型.1如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是；nm如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)=.n⑵判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；⑶求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；⑷用公式求出概率并下结论.对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型.(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等.一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件d的测度A，则事件A发生的概率P(A)=.D的测度说明：(1)D的测度不为0；(2)其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积.(3)区域为＂开区域";(4)区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.一分类、分步原理分类原理题型比较杂乱，须累积现象。几种常见的现象有：3．球赛得分：根据胜或负场次进行分类(2)立体图涂颜色：先涂具有同一顶点的几个平面，其他平面每步涂法分类列举2．映射按步骤用A集合的每一个元素集合里选一个元素，可以重复选。二排列组合（一）常规题型求情况数2.间接法：先算总情况数，再排除不符合条件的情况数。（二）七种常考非常规现象3．有序元素的排列:要看一共走几步，把特殊的几步选出来，有几种选法就有几种情况nn有几套平均分组就除几xx（三）排列数，组合数公式运算的考察1.排列数公式2.排列恒等式(1)Am=(nm+1)Am1;;(3)Am=nAm—1;(4)nAn=An+1—An;(5)Am=Am+mAm—1.3.组合数公式m4.组合数的两个性质(1)Cm=Cn—m;(2)1=C注:规定C0=1.n5.组合恒等式;n(6)C0+C2nnnnnnn(7)C1+C3+C5+C2+C4nnnnnn(8)C1+2C2nnnnnmnmnmnm+n(10)(C0)2+(C1)2+(C2)2+Λ+(Cn)2=Cn.nnnn2n6.排列数与组合数的关系Am=m！.Cm.三二项式定理（一）公式EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(0),n)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(1),n)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(r),n)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(n),n)②系数：依次为组合EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up4(0),n),CEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up4(1),n),CEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up4(2),n),Λ,CEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up4(r),n),Λ,CEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up4(n),n);2．二项展开式的通项.在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)面积公式absinC==2R2sinAsinBsinC=sinC，cos=-cosC，sin=cos，cos=sin（二）题型使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1利用正弦定理公式原型解三角形题型2利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接22题型3三角形解的个数的讨论方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。二余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosAb2=a2+c2﹣2accosB2=a2+b2﹣2abcosC定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。(3)面积公式absinC==2R2sinAsinBsinC（二）题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1利用余弦定理公式的原型解三角形题型2利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。题型3判断三角形的形状结论：根据余弦定理，当a2+b2＜c2、b2+c2＜a2、c2+a2＜b2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a2+b2＞c2、b2+c2＞a2，c2+a2＞b2中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。从而判断三角形的形状。(2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A+B+C=π这个结论。正余弦定理在实际中的应用底部可达底部不可达两点间可视但不底部不可达两点都不可达题型1计算高度题型2计算距离题型3计算角度题型4测量方案的设计再通过正弦定理和余弦定理进行求解。（三）其他常见结论特别地一空间向量的线性运算知识点知识点1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如下图)。EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up5(uuur),OB)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up5(uuur),OA)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up5(uuur),AB)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up0(r),a)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up4(v),b)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up5(uuur),BA)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up5(uuur),OA)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up5(uuur),OB)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up0(r),a)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up5(r),b)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up10(uuur),OP)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up5(r),a)⑶数乘分配律二空间向量的基本定理知识点(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向当我们说向量a、b共线(或abababb0abab共面向量(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。(2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量rp，存在一个唯一的有序实数组若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数OP=xOA+yOB+zOC。(1)如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是｛p|p＝xa+yb＋zc，x、y、z∈R｝．这个集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我们把｛a，b，c｝叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．由上述定理可知，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.(2)推论中，若x＋y＋z=1,则根据共面向量定理得：P、A、B、C四点共面．故可看成平面ABC的一个向量参数方程，其中x,y，z为参数.00EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up11(r),a)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up11(r),b)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up7(r),a)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up11(r),b)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(r),e)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(r),e)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(r),e)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(r),e)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(r),b)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(r),b)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(r),b)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(r),b)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(r),b)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(r),b)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(r),b)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(r),b)5.数量积满足的运算律EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(r),b)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(r),b)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(r),b)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(r),b)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(r),b)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(r),b)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(r),c)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(r),c)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(r),b)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(r),c)(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点OA=aOA=a,OB=bEQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up9(r),a)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up14(r),b)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up9(r),a)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up14(r),b)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up14(r),b)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up9(r),a)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up3(r),a)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up7(r),b)a与b互相垂直，记2EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(uuur),OA)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up8(r),a)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(uuur),OA)EQ\*jc3\*hps43\o\al(\s\up14(r),a)EQ\*jc3\*hps41\o\al(\s\up13(r),a)EQ\*jc3\*hps40\o\al(\s\up9(r),a)EQ\*jc3\*hps40\o\al(\s\up9(r),e)EQ\*jc3\*hps40\o\al(\s\up9(r),a)EQ\*jc3\*hps40\o\al(\s\up9(r),a)EQ\*jc3\*hps40\o\al(\s\up9(r),e)EQ\*jc3\*hps40\o\al(\s\up9(r),a)EQ\*jc3\*hps40\o\al(\s\up14(r),b)EQ\*jc3\*hps40\o\al(\s\up9(r),a)EQ\*jc3\*hps40\o\al(\s\up14(r),b)EQ\*jc3\*hps41\o\al(\s\up10(r),a)的数量积，记作EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up8(r),a)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up12(r),b)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up8(r),a)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up12(r),b)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up8(r),a)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up12(r),b)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up11(r),b)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up11(r),b)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up10(r),b)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up6(r),c)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up10(r),b)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up6(r),a)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up6(r),c)四空间向量的直角坐标运算(1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用(2)在空间选定一点O和一个单位正交基叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx(4)在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系·2．空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a，设i,j,k为坐3)叫作向量EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up16(r),a)在空间直角坐标系r在空间直角坐标系O—xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使+yj+z，有序实数组(x,y,图3．空间向量的直角坐标运算律：rrr一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐一平行关系（一）线线平行(图3-1)1．如果两条线都平行于第三条线，那么这两条线相互平行.2．如果一条线平行于另一个平面，那么这条线就平行于过这条线的平面与已知平面的交线.3．如果两个平面平行，那么另一个平面与这两个平面的交线互相平行.4．如果两条直线都和另一个平面垂直，那么这两条直线平行.5．在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.（二）线面平行(图3-2)1．如果平面外一条直线平行于平面内的一条直线，那么直线与平面平行.2．如果两个平面平行，一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面3．如果平面与平面外一条直线同时垂直于另一条直线，那么线面平行4．如果平面与平面外一条直线同时垂直于另一个平面，那么线面平行（三）面面平行(图3-3)1.如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么面面平行2.如果两个平面都平行于第三个平面，那么这两个平面平行3.如果两个平面同时垂直于同一条直线，那么这两个平面平行二垂直关系大部分都是通过垂直证垂直；不能证明的时候，平移到另一个位置证垂直。（一）线线垂直如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线。（二）线面垂直1．如果一条直线垂直于平面内两条相交的直线，那么这条直线就垂直于两条相交直线所在直线垂直于另一个平面1．过一个平面垂线的平面垂直于已知平面2．二面角为直角的两个平面垂直（四）不能直接证垂直的情况1．把已知线或面平移到容易证明垂直的位置图3-42．找和已知线或面平行的线或面证垂直三距离问题1．能做出垂线段的直接求距离，垂足一定是特殊点(顶点，中点，内心，外心)或在特殊直线(棱或对角线)上2．不能做出垂线段的，转移后求距离：2，找到三个量就可以求出另一个量。四多面体概念辨析与边长、面积、体积（一）题型分类总描述概念辨析：主要考查的是四棱柱，平行六面体，直平行六面体，长方体，正四棱柱，正方体系列概念的对比，或正四面体，正四棱锥系列。边长：将边长放于三角形中解三角形。正弦定理，余弦定理，勾股定理。面积：找底和高体积：一般底面积好求，高看成是距离用上文“求距离”的方法求。两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底)；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高(公垂线段长也简称高)五棱柱……b.直棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。c.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。例：正四棱柱a.普通四棱柱：上下底面是四边形的棱柱。如图3-5b.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体。如图3-6c.直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体。如图3-7d.长方体：底面是矩形的直平行六面体是长方体。如图3-8e.正四棱柱：底面是正方形的直四棱柱f.正方体：棱长都相等的长方体叫正方体如图3-9有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥。其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段，叫棱锥的高(垂线段的长也简称高).分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥五棱锥……三棱锥也叫做四面体(如图3-10)，各个面都是正三角形的四面体叫正四面体。四棱锥如图3-11.五棱锥如图3-12底面是正n边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫“正n棱锥”（三）棱锥的体积公式Sh(S为底面积，h为高)注：在棱锥中涉及到表面积或体积时经常六正多面体每个面都是有相同边数的全等的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.方体我们也可以称为正六面体.（2正四面体:它的四个面都是全等的正三角形，每个顶点处都有三条棱正多面体是一种特殊的凸多面体，它有两个特点：（1每个面都是有相同边数的全等的正多边形；（2每个顶点处都有相同数目的棱.由定义可以得知：正多面体的各个面是全等的正多边形，各条棱是相等的线段.正多面体共有五种，它们是：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面（一）球的定义第二定义：球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合（二）球的截面与大圆小圆截面：用一个平面去截一个球，截面是圆面大圆：过球心的截面圆叫大圆，大圆是所有球的截面中半径最大的圆。球面上任意两点间最短的球面距离：是过这两点大圆的劣弧长（三）球的表面积与体积②球的体积公式πR3.1．纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.2．经度：地球上A,B两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的大小向量的常识性概念1．向量：既有大小又有方向的量3．零向量：大小为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。图9-1（一）几何运算：五大运算工具，凡是加减法几何运算，先从加法角度来理解，再利用加法交换律算减法这两个向量的临边的平行四边形的对角线表示的向量AB+AD=AC图9-1等于另一个向量(与前两个不首尾相连)AB+BC=AC，ACAB=BC图9-2若干个向量之和等于另一个向量AB+BC+CD+DF=AF边向量之和的一半。在向量图形中提到中点，一定用中线图9-3图9-4BC=AC—ABCD=AD—ACQ:BC与CD共线:BC=kCDEQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up4(uuur),AC)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up4(uuur),AB)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up4(uuur),AD)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up4(uuur),AC)):AC=AD+ABADAB=——ADAB=——AC结论：AB=mAC+结论：AB=mAC+nADAC=mAB+nAC=mAB+nADm+n=1AD=mAB+nACm（二）坐标运算：基本运算法则3注：向量的加减法结果得到的是向量，向量的乘法得到是数。EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up8(r),b))(EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up8(ur),d))=EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up4(b),r)凡是提到一个向量在另一个向量上的投，定要列这两个向量的乘法公式解决问题。图9-6今a.b=0今xx+yy=0一任意角的概念与弧度制（一）角的概念的推广在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。角、第二象限角等(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角终边在x轴上的角的集合终边在y轴上的角的集合终边在坐标轴上的角的集合终边在y=x轴上的角的集合注：(1)角的集合表示形式不唯一.(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.1.表示终边位于指定区间的角.2:若α是第二象限的角,则2α,是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.23:①写出终边在y轴上的集合.③α在第二象限角,试确定2α,,所在的象限.3终边相同的角.1、弧度制的定义注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.一个式子中不能角度,弧度混用.（1）角度与弧度的互化1:已知扇形周长10cm,面积4cm2,求中心角.2:已知扇形弧度数为72o,半径等于20cm,求扇形的面积.3:已知扇形周长40cm,半径和圆心角取多大时,面积最大.3二任意角三角函数（一）三角函数的定义1、任意角的三角函数定义定义域{R}定义域{R}{R}))l{l{JZ})l{l{JZ}（二）单位圆与三角函数线1、单位圆的三角函数线定义如图(1)PM表示α角的正弦值，叫做正弦线。OM表示α角的余弦值，叫做余弦线。如图(2)AT表示α角的正切值，叫做正切线。AT9表示α角的余切值，叫做余切线。注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负（三）同角三角函数的基本关系式同角三角函数关系式2α=2α2α=csc2α（四）诱导公式2三三角函数的图像与性质4.余切函数正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：RR22π2π222T=xEQ\*jc3\*hps38\o\al(\s\up14(π),2)2EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up14(π),2)2Z)26.函数y=tanx在R上为增函数.(×)[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义x为增函数，同样也是错误的.7.奇函数特有性质：若0∈x的定义域，则f(x)一定有f(0)=0.(0∈x的定义域，则无此性质)12xEQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up8(▲),y)x两角和与差的公式五倍角公式和半角公式αα2α2α22六三角函数的积化和差与和差化积oooo第一部分等差数列二通项公式为n∈ZSn=1n2n(n-1)…………①按照序号顺序，使用公式。即首选①公式解题，再选②、③nnn的二次函数，因∈Z，所以S关于n的图像n(一)3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，如：3个数a-d,a,a+d；4个数a-3d,anEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up17(+a),等差)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up17(a),列)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up7(q),数)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up16(若),为2n)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up17(p),则)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up16(则),偶)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up12(m+),S奇)nEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up17(=),nd)ap；SaSaEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up25(偶),等)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up25(1),的))EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(S),S)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2147483647(奇),偶)2B=A+C；1mnm+nm+n±1第二部分等比数列n-1nnmnpq若m+n=2p，则a.a=a2；mnpC=a+a+…+a，则有B2=A.C第三部分求杂数列通项公n一构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式。n→n+1=3→n+1=3nn1.nnn1二构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，n。EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(〔),l)nn三递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。三递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。nnn第四部分求前n项和Sn二错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，23n23+Ln-2n-1n3n2xnnn(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式(3)用①②,错位相减三倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法2n2nEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up34(1),设)nnnn第一部分抽样方法一总体、个体、容量一般地，我们把所考查对象的某一数值指标的全体构成的集合看做总体，构成总体的对象作为个体，从总体中抽出一部分对象所组成的集合叫做样本，样本中对象的个数称为样本二简单的随机抽样1.一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫2.最简单的随机抽样方法有两种：抽签法(抓阄法)和随机数表法。n3.从一个总体为N的个体中，抽出容量为n的样本，每个个体被抽到的概率为。nN三系统抽样1.当总体中的个体数较多时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本．这种抽样叫做系统抽样。2.系统抽样的四个步骤可简记为：“编号----分段—--确定起始的个体号——抽取样3.在系统抽样中，如果总体容量N能被样本容量n整除，则用它们的比值k=N作为分n段间隔．如果k=N不是整数，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个n体数能被样本容量整除．然后再编号、分段，确定第一段的起始号．继而确定整个样本。当已知总体由差异明显的几部分组成时，才常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例筋洗净抽样，这种抽样叫做分层抽样，其所分成的各个部分叫做层。利用分层抽样抽取样本，每一层按照它在总体中所占的比例进行抽取。注意（1）分层抽样适用于差异明显的几部分组成的情况2）在每一层进行抽样时，在采用简单随机抽样或系统抽样3）分层抽样充分利用已掌握的信息，使样具有良好的代表性；（4）分层抽样也是等概率抽样，而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方法，因此应用较为广泛。五三种抽样方法的比较类别类别共同点各自特点相互联系适用范围抽样抽样抽样总体种的个体数较少总体种的个体数较多总体由差异明显的几部分组成会均等在起始部分抽样时采用简单随机抽样各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样将总体分成几层，分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样(2)简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是在抽样过程中每一个个体被抽取的机会相等，体现了这些方法的客观性和公平性，其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽对于个体数量很大的总体，可采用系统抽样，系统中的每一均衡部分，又可采用简单随机抽六抽样方法的选择(1)通过比较三种抽样方法，可以发现它们的关系密切，无论采取哪一种方法，每个个体被抽到的概率是一样的。(2)对于系统抽样和分层抽样．如果N不是整数，可采用剔除法，每个个体被抽到的概n率不变，如从1003个总体中抽出容量为l0的样本，那么每个个体被抽到的概率为——g————(3)通过分析总体特点，灵活选择抽样方法。(4)简单随机抽样是抽样方法的基础，是一种等机会抽样，它有以下几个特点：①它要求被抽取样本的总体个数是有限的；②它是从总体中逐个地抽取；③它是一种不放回抽样。(5)系统抽样是在总体个数比较多时采用的抽样方法。当总体个数N不能被样本容量整除时，应注意如何从总体中剔除一些个体.①分层；②按比例确定各层抽取个体的个数；③各层抽样；④汇合成样本。第二部分用样本估计总体一用样本估计总体样本中所有数据(或者数据组)的频率和样本容量的比就是该数据的频率，所有数据(或者数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布表，频率分布折线图．茎叶图，频率分布直方图来表示.连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就可以得到频率分布折线图。①如果样本容量越大，所分组数越多，图中表示频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小．设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上是越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线y=f(x)来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线。②总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．产品尺寸落在(a，b)内的百分率就是下图中带斜线部分的面积．对本题来说