2024-2025学年高中数学第三单元函数第20课函数的平均变化率课时同步练习含解析新人教B版必修第一册

第三单元函数第20课函数的平均改变率一、基础巩固1．已知函数f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44【答案】B【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41，故选B.2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均改变率是()A．0B．1C．3 D．Δx【答案】A【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1－1,Δx)＝0.3．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于()A．6＋Δt B．12＋Δt＋eq\f(9,Δt)C．12＋2Δt D．12【答案】C【解析】eq\f(Δs,Δt)＝eq\f([23＋Δt2＋5]－2×32＋5,Δt)＝12＋2Δt.4．假如函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均改变率为3，则a＝()A．－3B．2C．3 D．－2【答案】C【解析】依据平均改变率的定义，可知eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2a＋b－a＋b,2－1)＝a＝3，故选C.5．已知函数f(x)的定义域为A，假如对于定义域内某个区间I上的随意两个不同的自变量x1，x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，则()A．f(x)在这个区间上为增函数B．f(x)在这个区间上为减函数C．f(x)在这个区间上的增减性不确定D．f(x)在这个区间上为常数函数【答案】A【解析】①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．综上可知f(x)在区间I上是增函数，故选A.6．函数y＝－x2＋x在x＝－1旁边的平均改变率为________．【答案】3－Δx【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－－1＋Δx2＋－1＋Δx＋－12－－1,Δx)＝3－Δx.7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq\x\to(v1)，eq\x\to(v2)，eq\x\to(v3)，则三者的大小关系为________．【答案】eq\x\to(v1)＜eq\x\to(v2)＜eq\x\to(v3)【解析】eq\x\to(v1)＝eq\f(st1－st0,t1－t0)＝kOA，eq\x\to(v2)＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq\x\to(v3)＝eq\f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，而由图像知kOA＜kAB＜kBC，∴eq\x\to(v1)＜eq\x\to(v2)＜eq\x\to(v3).8．函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均改变率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均改变率的值为________．【答案】6x0＋3Δx12.3【解析】函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均改变率为eq\f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0)＝eq\f([3x0＋Δx2＋2]－3x\o\al(2,0)＋2,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均改变率为6×2＋3×0.1＝12.3.9．推断函数g(x)＝eq\f(k,x)(k＜0，k为常数)在(－∞，0)上的单调性．【答案】增函数【解析】设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝eq\f(k,x1)－eq\f(k,x2)＝eq\f(kx2－x1,x1x2)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(gx1－gx2,x1－x2)＝－eq\f(k,x1x2).∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(k,x1x2)＞0，∴g(x)＝eq\f(k,x)(k＜0)在(－∞，0)上为增函数．10．已知函数f(x)＝eq\f(2x－1,x＋1)，x∈[3,5]．(1)推断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．【答案】（1）增函数；（2）最大值eq\f(5,4)，最小值eq\f(3,2)【解析】(1)函数f(x)在[3,5]上是增函数．证明：设随意x1，x2满意3≤x1＜x2≤5，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1－1,x1＋1)－eq\f(2x2－1,x2＋1)＝eq\f(2x1－1x2＋1－2x2－1x1＋1,x1＋1x2＋1)＝eq\f(3x1－x2,x1＋1x2＋1)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＝eq\f(3,x1＋1x2＋1).因为3≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3,x1＋1x2＋1)＞0，所以f(x)＝eq\f(2x－1,x＋1)在[3,5]上是增函数．(2)f(x)min＝f(3)＝eq\f(2×3－1,3＋1)＝eq\f(5,4)，f(x)max＝f(5)＝eq\f(2×5－1,5＋1)＝eq\f(3,2).二、拓展提升11．若函数f(x)＝－x2＋10的图像上一点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(31,4)))及邻近一点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋Δx，\f(31,4)＋Δy))，则eq\f(Δy,Δx)＝()A．3B．－3C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3【答案】D【解析】∵Δy＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋Δx))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－3Δx－(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－3Δx－Δx2,Δx)＝－3－Δx，故选D.12.函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均改变率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均改变率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1＞k2 B．k1＜k2C．k1＝k2 D．不确定【答案】D【解析】k1＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝2x0＋Δx，k2＝eq\f(fx0－fx0－Δx,Δx)＝2x0－Δx.因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小关系不确定．13．已知曲线y＝eq\f(1,x)－1上两点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，B2＋Δx，－eq\f(1,2)＋Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．【答案】－eq\f(1,6)【解析】∵Δy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2＋Δx)－1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝eq\f(1,2＋Δx)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－2＋Δx,22＋Δx)＝eq\f(－Δx,22＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(－Δx,22＋Δx),Δx)＝eq\f(－1,22＋Δx)，即k＝eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,22＋Δx).∴当Δx＝1时，k＝－eq\f(1,2×2＋1)＝－eq\f(1,6).14．如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均改变率为________．【答案】eq\f(3,4)【解析】由函数f(x)的图像知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，,x＋1，1＜x≤3.))所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均改变率为eq\f(f2－f0,2－0)＝eq\f(3－\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).15．已知函数f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝eq\f(1,2)时，求函数f(x)的最小值；(2)若对随意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【答案】（1）eq\f(7,2)（2）(－3，＋∞)【解析】(1)当a＝eq\f(1,2)时，f(x)＝x＋eq\f(1,2x)＋2.设1≤x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2x1x2)))，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(2x1x2－1,2x1x2).∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2x1x2－1,2x1x2)＞0，∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f