2024-2025学年高中数学第三章推理与证明课时作业83.1.2类比推理含解析北师大版选修1-2

PAGEPAGE1课时作业8类比推理时间：45分钟满分：100分一、选择题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分)1．下面类比推理中恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”【答案】C【解析】结合实数的运算律知C是正确的．2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面积公式S扇等于()A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2) D．不行类比【答案】C【解析】由扇形的弧长与半径分别类比于三角形的底边与高，可得扇形的面积公式．3．已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a，b，则其面积S＝eq\f(1,2)ab.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两相互垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，类比上述结论可得此三棱锥的体积VP－ABC等于()A.eq\f(1,2)abc B.eq\f(1,3)abcC.eq\f(1,6)abc D．abc【答案】C【解析】VP－ABC＝eq\f(1,3)S底·h＝eq\f(1,6)abc.4．下列类比正确的是()A．平面内两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则空间中两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．平面内两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则空间内两组对边分别平行的四边形为平行四边形C．平面内垂直于同一条直线的两直线平行，则空间内垂直于同一条直线的两直线平行D．平面内n边形的内角和为(n－2)×180°，则空间内n面体的各面内角和为n(n－2)×180°【答案】B【解析】空间内两组对边分别相等的四边形不肯定是平行四边形，但两组对边平行，则肯定在一个平面内是平行四边形．5．平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由类比思想，我们可以得到()A．空间中平行于同一条直线的两条直线平行B．空间中平行于同一个平面的两条直线平行C．空间中平行于同一条直线的两个平面平行D．空间中平行于同一个平面的两个平面平行【答案】D【解析】一般来说平面几何中的线要类比到空间中的平面，所以虽然选项A中结果正确，却不能算作类比结果．6．电子计算机中运用二进制，它与十进制的换算关系如下表：十进制123456…二进制11011100101110…视察二进制1位数、2位数、3位数对应的十进制的数，当二进制为6位数时能表示十进制中最大的数是()A．29B．63C．45D．32【答案】B【解析】通过阅读，不难发觉：1＝1×20，2＝0×20＋1×21，3＝1×20＋1×21，4＝0×20＋0×21＋1×22，5＝1×20＋0×21＋1×22，6＝0×20＋1×21＋1×22，7＝1×20＋1×21＋1×22，写成二进制为111.于是知二进制为6位数时能表示的最大的数是111111，化成十进制为1×20＋1×21＋1×22＋1×23＋1×24＋1×25＝eq\f(26－1,2－1)＝63.7．下列类比错误的是()A．三角形的两边中点连线得到的中位线平行并且等于第三边的一半，类似地，三棱锥的中截面的面积等于底面面积的一半B．三角形两边中点连线得到的中位线平行且等于第三边的一半，类似地，三棱锥的中截面的面积等于底面面积的eq\f(1,4)C．三角形被平行于一边的直线所截得的三角形与原三角形相像，面积比等于相像比的平方，类似地，棱锥被平行于底面的平面所截得的多边形与底面相像，面积比等于相像比的平方D．梯形的中位线等于两底和的一半，类似地，圆台的中截面半径等于上、下两底半径和的一半【答案】A【解析】选项A错误，三棱锥的中截面的面积等于底面面积的eq\f(1,4).二、填空题(本大题共3个小题，每小题7分，共21分)8．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请写出类似于①的式子：②______________，②式可用语言叙述为：____________________.【答案】(eq\f(4π,3)R3)′＝4πR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数9．如图(1)所示的图形有面积关系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，则如图(2)所示的图形有体积关系：eq\f(VP—A′B′C′,VP—ABC)＝________.【答案】eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)【解析】由体积公式V＝eq\f(1,3)Sh及相像比可得．10．在平面几何中，有射影定理：“在△ABC中，AB⊥AC，点A在BC边上的射影为D，有AB2＝BD·BC”．类比平面几何定理，探讨三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥A—BCD中，AD⊥平面ABC，点A在底面BCD上的射影为O，则有________．”【答案】Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BCO·S△BCD三、解答题(本大题共3个小题，11,12题每小题14分，13题16分，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间中，并推断类比的结论是否成立；(1)假如一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交；(2)假如两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线相互平行．【解析】平面几何与空间几何的类比中，点的类比对象是线，线的类比对象是面，面的类比对象是体．(1)的类比结论为：假如一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交．由空间几何的学问易得此结论成立．(2)的类比结论为：假如两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面相互平行．由空间几何的学问易得此结论不成立，假如两个平面同时垂直于第三个平面，这两个平面还可能相交．12．我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探究等和数列{an}的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明．(3)在等和数列{an}中，假如a1＝a，a2＝b，求它的前n项的和Sn.[分析]本题主要考查等差数列与等和数列定义的类比，关键是把握两个定义的相像性和相异性．【解析】(1)假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫作等和数列．(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2.∴an＋2＝an.∴等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．(3)当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈N＋，则Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝eq\f(2k－2,2)(a＋b)＋a＝eq\f(n－1,2)(a＋b)＋a＝eq\f(n＋1,2)a＋eq\f(n－1,2)b，当n为偶数时，令n＝2k，k∈N＋，则Sn＝S2k＝k(a＋b)＝eq\f(n,2)(a＋b)．∴它的前n项的和Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)a＋\f(n－1,2)bn为奇数,\f(n,2)a＋bn为偶数)).13．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．[分析]首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形态的对比猜想结论，并予以证明．【解析】如图所示，由射影定理知AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2)又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想：四面体A－BCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF，∵AB⊥AC，AB⊥AD，