2024-2025学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.1从平面向量到空间向量课时作业含解析北师大版选修2-1

PAGEPAGE1课时作业5从平面对量到空间向量时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列说法中正确的是(D)A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B．若非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点共线C．在空间中，随意两个单位向量都相等D．零向量与随意向量平行解析：A项错，因为两个向量起点相同，且是相等的向量，所以终点必相同；B项错，若eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))的基线平行或重合，所以A，B，C，D不肯定在同一条直线上；C项错，单位向量的模相等，但方向不肯定相同；D明显正确．2．对于空间随意两个非零向量a，b，a∥b是〈a，b〉＝0的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：明显，〈a，b〉＝0⇒a∥b.a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情形(即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π)，因此a∥b⇒〈a，b〉＝0.故a∥b是〈a，b〉＝0的必要不充分条件．3．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，下列说法正确的是(C)A.eq\o(AA1,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量B.eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\o(C1B,\s\up6(→))C．〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C1D1,\s\up6(→))〉＝πD.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(B1C1,\s\up6(→))不是共面对量解析：AB∥C1D1，且向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(C1D1,\s\up6(→))方向相反，∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C1D1,\s\up6(→))〉＝π.4．在四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，则四边形ABCD为(B)A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不确定解析：若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则AB＝DC，且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，又|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，即AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．5．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么与直线AM垂直的向量有(D)A.eq\o(CN,\s\up6(→)) B．BCC.eq\o(CC1,\s\up6(→)) D.eq\o(B1C1,\s\up6(→))解析：由于所求的是向量，所以首先解除B，在剩下的三个选项中，通过正方体的图形可知D项正确．6．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量eq\o(D1A,\s\up6(→))、eq\o(D1C,\s\up6(→))、eq\o(A1C1,\s\up6(→))是(C)A．有相同起点的向量 B．等长向量C．共面对量 D．不共面对量解析：先画出平行六面体的图像(图略)，可看出向量eq\o(D1A,\s\up6(→))、eq\o(D1C,\s\up6(→))在平面ACD1上，由于向量eq\o(A1C1,\s\up6(→))平行于eq\o(AC,\s\up6(→))，所以向量eq\o(A1C1,\s\up6(→))经过平移可以移到平面ACD1上，因此向量eq\o(D1A,\s\up6(→))、eq\o(D1C,\s\up6(→))、eq\o(A1C1,\s\up6(→))为共面对量．7．空间中，起点相同的全部单位向量的终点构成的图形是(D)A．圆 B．球C．正方形 D．球面解析：依据模的概念知终点在以起点为球心，半径为1的球面上．8．已知正方形ABCD的边长为4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则向量eq\o(AG,\s\up6(→))的模为(A)A．6 B．9C．4eq\r(2) D．5解析：GC⊥平面ABCD，所以GC⊥AC.在Rt△GAC中，AC＝4eq\r(2)，GC＝2，所以AG＝eq\r(AC2＋GC2)＝6，即|eq\o(AG,\s\up6(→))|＝6.二、填空题9．如图所示，a，b是两个空间向量，则eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(A′C′,\s\up6(→))是相等向量，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(B′A′,\s\up6(→))是相反向量．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′C′,\s\up6(→))＝b，∴ABC­A′B′C′为三棱柱．∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(B′A′,\s\up6(→)).10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以A1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，与向量eq\o(BC1,\s\up6(→))垂直的向量有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→)).解析：A1B1⊥平面BCC1B1，∴eq\o(A1B1,\s\up6(→))⊥eq\o(BC1,\s\up6(→))；A1D⊥AD1，而AD1∥BC1，∴eq\o(A1D,\s\up6(→))⊥eq\o(BC1,\s\up6(→)).11．如图，在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，O、O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝0°，〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(O1C1,\s\up6(→))〉＝0°，〈eq\o(OO1,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))〉＝90°.解析：由题意得eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))方向相同，是在同一条直线AC上，故〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝0°；eq\o(O1C1,\s\up6(→))可平移到直线AC上，与eq\o(OC,\s\up6(→))重合，故〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(O1C1,\s\up6(→))〉＝0°；由题意知OO1是正四棱台ABCD­A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故〈eq\o(OO1,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))〉＝90°.三、解答题12．一飞机从地面以45°倾角斜着升空，再水平向东飞行一段距离后，然后又水平向正北方向飞行，这样三次移动eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))是三个空间向量．问：(1)三个向量哪个与水平面平行？(2)〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉、〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉和〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉的值是多少？解：应把实际问题抽象为数学问题，飞机水平飞行时与水平面平行，如图．由图可知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))在同一平面内，并且向量eq\o(CD,\s\up6(→))垂直于这个平面．(1)飞机水平飞行时所经过的路途与水平面平行，因而三个向量中eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))平行于水平面α.(2)由于向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))在同一平面内，设为平面β，又由于eq\o(CD,\s\up6(→))为正北方向，所以eq\o(CD,\s\up6(→))垂直于平面β，即eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→)).因为eq\o(AB,\s\up6(→))与水平面的夹角为45°，所以得：〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝90°，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝90°.13．如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，在以长方体的八个顶点为始点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为eq\r(5)的全部向量．(3)试写出与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的全部向量．(4)试写出向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量．解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量eq\o(AA1,\s\up6(→))、eq\o(A1A,\s\up6(→))、eq\o(BB1,\s\up6(→))、eq\o(B1B,\s\up6(→))、eq\o(CC1,\s\up6(→))、eq\o(C1C,\s\up6(→))、eq\o(DD1,\s\up6(→))、eq\o(D1D,\s\up6(→))都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧面的对角线长均为eq\r(5)，故模为eq\r(5)的向量有eq\o(AD1,\s\up6(→))、eq\o(D1A,\s\up6(→))、eq\o(A1D,\s\up6(→))、eq\o(DA1,\s\up6(→))、eq\o(BC1,\s\up6(→))、eq\o(C1B,\s\up6(→))、eq\o(B1C,\s\up6(→))、eq\o(CB1,\s\up6(→))，共8个．(3)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的全部向量(除它自身之外)共有eq\o(A1B1,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D1C1,\s\up6(→))，共3个．(4)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量为eq\o(A1A,\s\up6(→))、eq\o(B1B,\s\up6(→))、eq\o(C1C,\s\up6(→))、eq\o(D1D,\s\up6(→)).——实力提升类——14．如图，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AC，则在向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))中，夹角为90°的共有(B)A．6对 B．5对C．4对 D．3对解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，平面PAB⊥平面ABC.又平面PAB∩平面ABC＝AB，BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.综上，〈eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉，〈eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉，〈eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))〉，〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉，〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))〉都为90°.15．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中：(1)求〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))〉，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))〉，〈eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))〉；(2)若AB＝1，AC＝1，BC＝eq\r(2)，求〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C1A1,\s\up6(→))〉．解：(1)由向量夹角的定义及直三棱柱的性质可得〈eq\o(AB,\s\up6(→