2024-2025学年高中数学第二章变化率与导数单元质量评估课时作业含解析北师大版选修2-2

其次章单元质量评估eq\o(\s\up7(时限：120分钟满分：150分),\s\do5())第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知函数f(x)＝2x2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于(C)A．4 B．4ΔxC．4＋2Δx D．4＋2Δx2解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－1－1,Δx)＝eq\f(4Δx＋2Δx2,Δx)＝4＋2Δx.2．下列结论中不正确的是(B)A．若y＝3，则y′＝0B．若y＝eq\f(1,\r(x))，则y′＝－eq\f(1,2)eq\r(x)C．若y＝－eq\r(x)，则y′＝－eq\f(1,2\r(x))D．若y＝3x，则f′(1)＝3解析：因为y＝eq\f(1,\r(x))＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2))，所以y′＝(xeq\s\up15(－eq\f(1,2)))′＝－eq\f(1,2)xeq\s\up15(－eq\f(3,2))＝－eq\f(1,2x\r(x)).3．已知函数f(x)＝eq\f(1,x2)，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝(D)A．－eq\f(1,4)B．－eq\f(1,8)C．－8D．－16解析：∵f′(x)＝(x－2)′＝－2x－3，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3＝－16.4．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(A)A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析：由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1，故选A.5．若f(x)＝sinα－cosx，则f′(x)＝(A)A．sinx B．cosxC．cosα＋sinx D．2sinα＋cosx解析：函数是关于x的函数，因此sinα是一个常数．6．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(C)A．－9 B．－3C．9 D．5解析：因为y′＝3x2，切点P(1,12)，所以切线的斜率k＝3×12＝3.故切线方程为y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0，令x＝0，得y＝9.7．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(3)＝(D)A.eq\f(2,3)B．2ln3C.eq\f(2,3ln3)D.eq\f(2,5ln3)解析：∵f′(x)＝eq\f(2,2x－1ln3)，∴f′(3)＝eq\f(2,5ln3).8．函数y＝eq\f(x2＋a2,x)(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝(B)A．a B．±aC．－a D．a2解析：因为y′＝eq\f(x2＋a2′x－x′x2＋a2,x2)＝eq\f(2x2－a2－x2,x2)＝eq\f(x2－a2,x2)，所以xeq\o\al(2,0)－a2＝0，解得x0＝±a.9．曲线y＝e－x－ex的切线的斜率的最大值为(C)A．2 B．0C．－2 D．－4解析：y′＝k＝－e－x－ex＝－(e－x＋ex)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(1,ex)))≤－2eq\r(\f(1,ex)·ex)＝－2，当且仅当eq\f(1,ex)＝ex，即x＝0时，等号成立．10．已知直线m：x＋2y－3＝0，函数y＝3x＋cosx的图像与直线l相切于点P，若l⊥m，则点P的坐标可能是(B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(3π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－\f(π,2)))解析：因为直线m的斜率为－eq\f(1,2)，l⊥m，所以直线l的斜率为2.因为函数y＝3x＋cosx的图像与直线l相切于点P，设P(a，b)，则b＝3a＋cosa且当x＝a时，y′＝3－sina＝2，所以sina＝1，解得a＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以b＝eq\f(3π,2)＋6kπ(k∈Z)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋6kπ))(k∈Z)，当k＝0时，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))).故选B.11．若函数f(x)＝－eq\f(1,b)eax(a>0，b>0)的图像在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值是(D)A．4B．2eq\r(2)C．2D.eq\r(2)解析：函数的导数为f′(x)＝－eq\f(1,b)eax·a，所以f′(0)＝－eq\f(1,b)e0·a＝－eq\f(a,b)，即在x＝0处的切线斜率k＝－eq\f(a,b)，又f(0)＝－eq\f(1,b)e0＝－eq\f(1,b)，所以切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,b)))，所以切线方程为y＋eq\f(1,b)＝－eq\f(a,b)x，即ax＋by＋1＝0.圆心到直线ax＋bx＋1＝0的距离d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＝1，即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即0<ab≤eq\f(1,2).又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1，所以(a＋b)2＝2ab＋1≤1＋1＝2，即a＋b≤eq\r(2)，所以a＋b的最大值是eq\r(2)，故选D.12．已知函数f(x)在R上满意f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率是(A)A．2B．1C．3D．－2解析：由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8两边求导得，f′(x)＝2f′(2－x)×(－1)－2x＋8.令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)×(－1)－2＋8⇒f′(1)＝2，∴k＝2.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．已知曲线y＝eq\f(1,x)－1上两点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，B2＋Δx，－eq\f(1,2)＋Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为－eq\f(1,6).解析：Δy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2＋Δx)－1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝eq\f(1,2＋Δx)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－2＋Δx,22＋Δx)＝eq\f(－Δx,22＋Δx).所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(－Δx,22＋Δx),Δx)＝－eq\f(1,22＋Δx)，即k＝eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,22＋Δx).所以当Δx＝1时，k＝－eq\f(1,2×2＋1)＝－eq\f(1,6).14．已知0<x<eq\f(1,4)，f(x)＝x2，g(x)＝eq\r(x)，则f′(x)与g′(x)的大小关系是f′(x)<g′(x)．解析：由题意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,2\r(x)).由0<x<eq\f(1,4)，知0<f′(x)<eq\f(1,2)，g′(x)>1，故f′(x)<g′(x)．15．已知函数f(x)＝eq\f(x－1,x＋a)＋ln(x＋1)，其中实数a≠－1.若a＝2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为7x－4y－2＝0.解析：f′(x)＝eq\f(x＋a－x－1,x＋a2)＋eq\f(1,x＋1)＝eq\f(a＋1,x＋a2)＋eq\f(1,x＋1).当a＝2时，f′(0)＝eq\f(2＋1,0＋22)＋eq\f(1,0＋1)＝eq\f(7,4)，而f(0)＝－eq\f(1,2)，因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(7,4)(x－0)，即7x－4y－2＝0.16．已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A视察点B，要视线不被曲线C拦住，则实数a的取值范围是(－∞，10]．解析：在曲线C：y＝2x2上取一点D(x0,2xeq\o\al(2,0))(x0>0)，因为y＝2x2，所以y′＝4x，f′(x0)＝4x0.令eq\f(2x\o\al(2,0)＋2,x0)＝4x0，得x0＝1，此时，D(1,2)，kAD＝eq\f(2－－2,1－0)＝4，直线AD的方程为y＝4x－2.要视线不被曲线C拦住，则实数a≤4×3－2＝10，即实数a的取值范围是(－∞，10]．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)求下列函数的导数：(1)y＝sinx＋eq\f(1,x)；(2)y＝(x2＋2)(3x－1)；(3)y＝x·e－x；(4)y＝eq\f(1,2)sin2x.解：(1)y′＝(sinx)′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝cosx－eq\f(1,x2).(2)y′＝(x2＋2)′(3x－1)＋(x2＋2)(3x－1)′＝2x(3x－1)＋3(x2＋2)＝9x2－2x＋6.(3)y′＝x′·e－x＋x·(e－x)′＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x.(4)y′＝eq\f(1,2)(sin2x)′＝eq\f(1,2)×2·cos2x＝cos2x.18．(12分)点P是曲线y＝x3－eq\r(3)x＋eq\f(2,3)上的随意一点，且点P处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．解：∵k＝tanα＝y′＝3x2－eq\r(3)≥－eq\r(3)，∴tanα≥－eq\r(3).又α∈[0，π)，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).19．(12分)求满意下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.解：(1)由题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝d＝3，,f′0＝c＝0，,f′1＝3a＋2b＋c＝－3，,f′2＝12a＋4b＋c＝0，))解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3，故f(x)＝x3－3x2＋3.(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，此式对随意x都成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b，,b＝2c，,c＝1，))解得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1.20．(12分)若函数y＝f(x)在区间(－a，a)(a>0)内为偶函数且可导，试探讨y＝f′(x)在(－a，a)内的奇偶性．解：∵f′(－x)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f－x＋Δx－f－x,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx－Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(－1)·eq\f(fx－Δx－fx,－Δx)＝－f′(x)，∴f′(x)为奇函数，即y＝f′(x)在(－a，a)内为奇函数．21．(12分)设函数f(x)＝ax＋eq\f(1,x＋b)(a，b∈Z)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积．解：(1)f′(x)＝a－eq\f(1,x＋b2)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(1,2＋b)＝3，,a－\f(1,2＋b2)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,4)，,b＝－\f(8,3).))因为a，b∈Z，故eq\b\lc\