2024-2025学年新教材高中数学第五章复数5.2.1复数的加法与减法作业含解析北师大版必修第二册

PAGE2.1复数的加法与减法(15分钟35分)1.若复数z满意z+(3-4i)=1,则z的虚部是 ()A.-2 B.4 C.3 D.-4【解析】选B.z=1-(3-4i)=-2+4i.2.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量、对应的复数分别是3+i、-1+3i,则对应的复数是 ()A.2+4i B.-2+4iC.-4+2i D.4-2i【解析】选D.依题意有==-,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即对应的复数为4-2i.3.设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为 ()A.0 B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数z对应的点的轨迹是以(-1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线y=-x,而|z+i|表示直线y=-x上的点到点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线y=-x的距离即为QUOTE.4.(2024·青岛高一检测)已知i为虚数单位,设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2=.

【解析】因为z1+z2=5-6i,所以(x+2i)+(3-yi)=5-6i,所以QUOTE即QUOTE所以z1=2+2i,z2=3-8i,所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.答案:-1+10i5.已知z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ且z1-z2=QUOTE+QUOTEi,则cos(α+β)的值为.

【解析】因为z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ,所以z1-z2=(cosα-cosβ)+i(sinα+sinβ)=QUOTE+QUOTEi,所以QUOTE①2+②2得2-2cos(α+β)=1,即cos(α+β)=QUOTE.答案:QUOTE6.(2024·天津高一检测)已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,求实数a.【解析】由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是纯虚数,所以QUOTE解得a=3.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分,共15分)1.(2024·全国Ⅰ卷)若z=1+2i+i3,则|z|= ()A.0 B.1 C.QUOTE D.2【解析】选C.因为z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=QUOTE=QUOTE.2.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)等于 ()A.QUOTE B.5QUOTEC.QUOTE D.5QUOTE【解析】选D.因为z1-z2=5+5i,所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5QUOTE.3.(2024·泸县高一检测)z∈C,若|z|-QUOTE=1+2i,则z= ()A.QUOTE-2i B.QUOTE+2iC.2+2i D.2-2i【解析】选B.设z=a+bi,则|z|-QUOTE=QUOTE-a+bi=1+2i,故QUOTE,故QUOTE,故z=QUOTE+2i.【补偿训练】已知z∈C且QUOTE=1,则QUOTE(i为虚数单位)的最小值是 ()A.2QUOTE-1 B.2QUOTE+1C.QUOTE D.2QUOTE【解析】选A.因为|z|=1且z∈C,作图如图:因为|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离,所以|z-2-2i|的最小值为:|OP|-1=2QUOTE-1.二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.对随意复数z=a+bi(a,b∈R),i为虚数单位,则下列结论中正确的是 ()A.z-QUOTE=2a B.|z|=|QUOTE|C.z+QUOTE=2a D.z+QUOTE=2bi【解析】选BC.已知z=a+bi则QUOTE=a-bi选项A,z-QUOTE=QUOTE-QUOTE=2bi≠2a,错误.选项B,|z|=QUOTE,|QUOTE|=QUOTE=QUOTE,正确.选项C,z+QUOTE=2a,故C正确,D错误.【补偿训练】

1.已知复数z1=2+ai,z2=a+iQUOTE,且复数z1-z2在复平面内对应的点位于其次象限,则a的取值可以是 ()

A.1B.2C.3D.4

【解析】选CD.由题得z1-z2=(2-a)+(a-1)i,

因为复数z1-z2在复平面内对应的点位于其次象限,所以QUOTE,所以a>2.故CD正确.

2.(2024·苏州高一检测)已知i为虚数单位,下列说法中正确的是()

A.若复数z满意|z-i|=QUOTE,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,QUOTE为半径的圆上

B.若复数z满意z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i

C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模

D.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若QUOTE=QUOTE,则⊥

【解析】选CD.满意|z-i|=QUOTE的复数z对应的点在以(0,1)为圆心,QUOTE为半径的圆上,A错误;

在B中,设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=QUOTE.

由z+|z|=2+8i,得a+bi+QUOTE=2+8i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由QUOTE=QUOTE的几何意义知,以,为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)5.设复数z满意z+|z|=2+i,则z=.

【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则|z|=QUOTE.所以x+yi+QUOTE=2+i.所以QUOTE解得QUOTE所以z=QUOTE+i.答案:QUOTE+i6.若|z|=2,则|z-1|的最小值是.

【解析】|z-1|≥||z|-1|=|2-1|=1.答案:1四、解答题7.(10分)已知复数z满意|z|=2,求复数1+QUOTEi+z的模的最大值、最小值.【解析】由已知,复数z对应的点Z在复平面内以原点为圆心,半径为2的圆上,设w=1+QUOTEi+z,所以z=w-1-QUOTEi,所以|z|=|w-(1+QUOTEi)|=2.于是复数w对应的点在复平面内以(1,QUOTE)为圆心,半径为2的圆上,如图所示,此时圆上的点A对应的复数wA的模有最大值,圆上的点B对应的复数wB的模有最小值,故|1+QUOTEi+z|max=4,QUOTE=0.【补偿训练】在平行四边形ABCD中,已知,对应的复数分别为z1=3+5i,z2=-1+2i.(1)求对应的复数;(2)求对应的复数;(3)求平行四边形ABCD的面积.【解析】(1)由于=+=+,所以=-.故对应的复数为z=z1-z2=(3+5i)-(-1+2i)=4+3i.(2)由于=-=-,所以对应的复数为(