二项式定理教学课件

二项式定理教学课件二项式定理考点新知①能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项式定理有关的简单问题．②会用二项展开式以及展开式的通项，特别要注意有关二项式系数与项的系数的区别.1.(选修23P32练习5改编)在(1－x)6展开式中，含x3项的系数是________．答案：－20162.(选修23P32练习6改编)?x＋?x的二项展开式的常数项为________．答案：2013.(选修23P35习题7改编)?x2－n的展开式中，常数项为15，则n＝________.答案：6?x4.(选修23P35习题12改编)若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a8x8，且a5＝56，则a0＋a1＋a2＋?＋a8＝________.答案：2563?n5.(xx·上海理)在二项式?＋的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和?x?为B，且A＋B＝72，则n＝________..答案：31.二项式定理(a＋b)＝Cna＋Cnab＋?＋Cnab＋?＋Cnb(n∈N)．这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其n－rr中的系数C叫做二项式展(r＝0,1,2，?，n)叫做第r＋1项的二项式系数．式中的n－rr开式的第r＋1项(通项)，用Tr＋1表示，即展开式的第r＋1项；Tr＋1＝n0n1n－1rn－rrnn2.二项展开式形式上的特点(1)项数为(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.1n－1n(4)二项式的系数从0Cn，一直到Cn3.二项式系数的性质(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等．(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．1nn(3)二项式系数的和等于n，即0(4)二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0n－1＋C＋?＝C＋C2.题型1二项式展开式的特定项1n2例1如果?x－的展开式中，第四项和第七项的二项式系数相等，?x(1)求展开式的中间项；?1?n－1(2)求?4?展开式中所有的有理项．?2?1n23636解：(1)?x－展开式中，第四项和第七项的二项式系数分别是CC由Cn，n，n＝Cn，?x1126－3425得n＝9，所以?x2－9展开式的中间项为第5项和第6项，即T5＝(－1)4C49(x)(x)?xx126－3524T6＝(－1)5C59(x)(x)x(2)通项为rTr＋1＝C8(－1?r1?rr16－3r4?＝?－C8x(r＝0,1,2，?，8)，为使Tr＋1为有??24?2?8－r1?0044理项，必须r是4的倍数，所以r＝0,4,8，共有三个有理项，分别是T1＝?－C8x＝x，?2?1?44351－2?18C8T5＝?－Cx，T.8x＝9＝－8x?2??28256x题型2二项式系数11例2已知?x＋?n的展开式中前三项的系数成等差数列．设?x＋?n＝a0＋a1x＋a2x2?2??2?＋?＋anxn.求：(1)a5的值；(2)a0－a1＋a2－a3＋?＋(－1)nan的值；(3)ai(i＝0,1,2，?，n)的最大值．1121解：(1)由题设，得C0n＋×Cn＝2××Cn，42即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1(舍)．Tr＋1＝C8xr8－r?1?r，令8－r＝5r＝3，所以a5＝7.?2?1(2)在等式的两边取x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋?＋a8＝.25611≥?22(3)设第r＋1的系数最大，则?11≥?22r8r8r＋1＋C8r－1－C8.?即?112r9－r118－r2?r＋1?，解得r＝2或r＝3.所以ai系数最大值为7.1.(xx·重庆理)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝________.答案：7n！n！56656解析：由题意可得C5nn3＝Cn3，即Cn＝3Cn5！?n－5?！6！?n－6?！＝7.2.(xx·安徽理)设(x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋?＋a21x，则a10＋a11＝________.答案：010解析：a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C1121，a11＝C21，所以a10＋a11＝－C21＋C21＝0.a??1?53.(xx·全国理)?x2x－的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项?x??x?为________．答案：40a5?x＋1解析：令x＝1得各项系数和为?1＋(2－1)＝(1＋a)＝2，∴a＝1，所以原式变为?1?x111021221?2x－15，?2x－1?5展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(2x)5－r?－1?r＝Cr525－r(－1)rx5－2r.令5－2r＝－1，??x?x?x?232得r＝3；令5－2r＝1，得r＝2，所以常数项为(－1)322C35＋(－1)2C5＝40.4.(xx·浙江理)设二项式?x－?a?6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B?＝4A，则a＝________.答案：2解析：由题意，得r6－rTr＋1＝C6x?－a?r＝(－a)rCrx6－3r，∴A＝(－a)2C2，B＝(－a)4C4.666??2222又∵B＝4A，∴(－a)4C46＝4(－a)C6，解之得a＝4.又∵a>0，∴a＝2.n－1n－2－15若n是奇数，则7n＋C1＋C2＋?＋Cnn7n7n7被9除的余数是________．答案：7解析：原式＝(7＋1)n－1＝(9－1)n－1＝9k－2＝9k′＋7(k和k′均为正整数)．课堂教学安排课堂教学安排课堂教学安排授课内容二项式定理（1）特定项的求法授课人姚红雨二项式定理复习课计划安排两个课时，本课是第一课时，主要复习二项展开式和通项。高考要求：1、对二项式定理的掌握与应用：以二项展开式（或多项展开式）中某一项（或某一项的系数）的问题为主打试题；2、对二项展开式的性质的掌握与应用：二项展开式中二项式系数的和与各项系数的和；组合多项式的求和等问题。根据历年高考对这部分的考查情况，结合学生的特点，设定如下教学目标：知识与技能（1）理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。（2）会运用展开式的通项公式求展开式的特定项。过程与方法在教学中中教给学生怎样记忆数学公式，如何提高记忆的持久性和准确性，从而优化记忆品质。记忆力是一般数学能力，是其它能力的基础。在解题时树立由一般到特殊的解决问题的意识。情感、态度、价值观通过对二项式定理的复习，有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，树立学好数学的信心。教学重点运用展开式的通项公式求展开式的特定项教学难点转化思想的培养教学方法讲练结合学法指导在例题中培养解题常规方法及思想，通过课堂即时练习强化巩固。教学过程1.知识点归纳（任务1）写出二项式定理。?a?b?n?Cn0anb0???Can?rbr???Cnna0bn，?n?N*?所表示的定理，叫做二项式定理，右边的多项式叫做?a?b?的二项式展开式。n（问题1）二项式系数是什么？通项是什么？（热身练习1）按二项式定理展开（1）?1?x?（2）?1?2x?n3（问题2）系数和二项式系数是什么？（热身练习2）求取下式的指定项?21?x??（1）求二项式???的展开式中的常数项；2x??（2）在x2?2?3x?的展开式中，x项的系数为6510例题组1、（1）求x2?2x?1展开式中的x的系数.（2）、求(1?x?x2)6展开式中x5的系数．（3）求(1?x)3(1?x)10展开式中x5的系数；（1）分析：很明显该式是一个完全平方式，可以转化为二项式定理。解：完全平方法：x2?2x?1=?x?1?6??33??3rr通项Tr?1???1?C6x，取r=3r得x的系数为-20。（2）分析：(1?x?x2)6不是二项式，我们可以通过1?x?x2?(1?x)?x2或1?(x?x2)把它看成二项式展开．解：组合为两项展开观察法：(1?x?x2)6?(1?x)?x2?(1?x)6?6(1?x)5x2?15(1?x)4x4??53555其中含x的项为C5C16x?6C5x?154x?6x．53??65含x项的系数为6．组合为两项通项公式法：(1?x?x2)6?1?(x?x2)r2通项Tr?1?C6x?x??6??r再对x?x2??使用通项公式rTS?!?Crsxr?s?x2=Crs??1?sxr?s得到Tr?1?C6Crs??1?xr?srs??s这里0?r?6，0?s?r5其中含x的项需满足r?s?5，满足条件的r、s记为?r,s?有?5,0?、?4,1?、?3,2?∴x项的系数为6．排列组合法：本题还可通过把(1?x?x)看成6个1?x?x相乘，每个因式各取2625一项相乘可得到乘积的一项，x5项可由下列几种可能得到．5个因式中取x，一个取1得到5．C5x61323个因式中取x，一个取?x2，两个取1得到C36?C3x?(?x)．2221个因式中取x，两个取?x2，三个取1得到C16?C5x?(?x)．5311255合并同类项为(C5，项的系数为6．x?CC?CC)x?6x66365（3）分析：本题可以转化为二项式展开的问题，视为两个二项展开式相乘；解：局部展开法：注意到x次数不高，对其局部展开5?1?x?3?1?x?10=?1?3x?3x2?x3??1?10x?45x2?120x3?210x4?252x5??展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：55用(1?x)展开式中的常数项乘以(1?x)展开式中的x5项，可以得到C10x；4用(1?x)3展开式中的一次项乘以(1?x)10展开式中的x项可得到3104445(?3x)(C10x)??3C10x；3335用(1?x)中的x乘以(1?x)展开式中的x可得到3x2?C10x?3C10x；2225用(1?x)中的x项乘以(1?x)展开式中的x项可得到?3x3?C10x??C10x，53210333102合并同类项得x项为：5432(C10?C10?3C10?C10)x5??63x5．变式练习1：1??1、求?x??1?的展开式中的常数项。(资料基7)x???1?1??2、1?x?（资料综1）??展开式中的常数项为（）x??65??10A．1B.46C.4245D.42461??2、若?x??2?的展开式的常数项为?20，求n．x??分析：题中x?0，当x?0时，把三项式n1???x??2?x??nn11????转化为?x??2???x??xx????2nn2n；当x?0时，同理11???n?然后写出通项，令含x的幂指数为零，进而解出n．?．?x??2??(?1)??x?x?x????11????解：当x?0时?x??2???x??，其通项为xx????r2n?rTr?1?C2(?n(x)n2n1rr2n?2r，)?(?1)rC2n(x)x令2n?2r?0，得n?r，n∴展开式的常数项为(?1)nC2n；11????当x?0时，?x??2??(?1)n??x??，x?x????n同理可得，展开式的常数项为(?1)nC2n．n无论哪一种情况，常数项均为(?1)nC2n．n令(?1)nC2n??20，以n?1,2,3,?，逐个代入，得n?3．n2n?1?x??3、在???的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。2x??有理项定义：系数为有理数，次数为整数的项叫做有理项分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：nTr?1n?r?1?r1?Cr(x)???Cxnn??r2?2x?r2n?3r4前三项的r?0,1,2.1得系数为：t1?1,t2?Cn由已知：2t2?t1?t3∴n?8通项公式为1111?n,t3?C2?n(n?1)，n22481n?1?n(n?1)，