2024秋高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE1-其次章推理与证明同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人们怎样相识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过《福尔摩斯探案集》吗？你了解哥德巴赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年头，医生怎样诊断病人的疾病，警察怎样破案，气象专家怎样预料天气，数学家怎样论证命题的真伪吗？这一切都离不开推理．而证明的过程更离不开推理．本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理．学习数学证明的基本方法——分析法、综合法、反证法等．要通过本章的学习养成言之有据，证明过程语言条理、逻辑规范的好习惯．2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理自主预习·探新知情景引入《内经·针刺篇》记载了这样一个故事：有一个患头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破脚趾，出了一点血，但头不疼了．当时他没有留意．后来头疼复发，又偶然碰破同一脚趾，头疼又好了．这次引起了他的留意，以后每次头疼时，他就有意刺破该处，都有效应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的“大敦穴”)．现在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破原脚趾处呢？这里面有怎样的数学学问呢？新知导学1．归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的__部分对象__具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理，或者由__个别事实__概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称__归纳__)由两类对象具有__某些类似特征__和其中一类对象的__某些已知特征__，推出另一类对象也具有__这些特征__的推理称为类比推理(简称__类比__)特征归纳推理是由__部分__到__整体__、由__个别__到__一般__的推理类比推理是由__特别__到__特别__的推理2．合情推理含义归纳推理和类比推理都是依据已有的事实，经过__视察__、__分析__、比较、__联想__，再进行__归纳__、__类比__，然后提出__猜想__的推理．我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理过程eq\x(从详细问题动身)→eq\x(视察、分析、比较、联想)→eq\x(归纳、类比)→eq\x(提出__猜想__)预习自测1．(2024·周口期末)下列表述正确的是(A)①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③类比推理是由特别到一般的推理；④演绎推理是由一般到特别的推理；⑤类比推理是由特别到特别的推理．A．①④⑤ B．②③④C．②③⑤ D．①⑤[解析]依据题意，归纳推理，就是由部分到整体的推理．故①对②错；由所谓演绎推理是由一般到特别的推理．故④对；类比推理是由特别到特别的推理．故⑤对③错，则正确的是①④⑤，故选A．2．鲁班独创锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形态上也应当类似，“锯子”应当是齿形的．该过程体现了(B)A．归纳推理 B．类比推理C．没有推理 D．以上说法都不对[解析]推理是依据一个或几个已知的推断来确定一个新的推断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．3．等差数列{an}中，an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系__b4＋b8>b5＋b7__.[解析]将乘积与和对应，再留意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.4．视察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，依据上述规律，第四个等式为__13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2__.[解析]由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1起先的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1起先的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶归纳推理典例1已知下列等式成立：eq\f(1,22－1)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,42－1)＝eq\f(2,5)，eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,42－1)＋eq\f(1,62－1)＝eq\f(3,7)，eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,42－1)＋eq\f(1,62－1)＋eq\f(1,82－1)＝eq\f(4,9)，……，试依据以上几个等式，归纳出一个一般性结论，用等式表示，并用数列中的方法加以证明．[思路分析]分析给出的各个等式左边的项数，各项的分母的取值特点，分析等号右边的结果与项数的关系，从而写出一般性的结果．[解析]从给出的各个等式可以看出：第1个等式左边有1项，右边为eq\f(1,2×1＋1)，第2个等式左边有2项，右边为eq\f(2,2×2＋1)，第3个等式左边有3项，右边为eq\f(3,2×3＋1)，第4个等式左边有4项，右边为eq\f(4,2×4＋1)，由此可以归纳出的一般性的结论为eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,42－1)＋eq\f(1,62－1)＋…＋eq\f(1,2n2－1)＝eq\f(n,2n＋1)(n∈N*)．以下用数列的方法证明该等式成立．eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,42－1)＋eq\f(1,62－1)＋…＋eq\f(1,2n2－1)＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,1)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))＝eq\f(1,2)(eq\f(1,1)－eq\f(1,2n＋1))＝eq\f(n,2n＋1).『规律总结』由已知数式进行归纳推理的步骤①分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的改变规律或结构形式的特征．②提炼出等式(或不等式)的综合特点．③运用归纳推理得出一般结论．┃┃跟踪练习1__■视察下列不等式：eq\f(1,2)×1≥1×eq\f(1,2)，eq\f(1,3)×(1＋eq\f(1,3))≥eq\f(1,2)(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4))，eq\f(1,4)×(1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5))≥eq\f(1,3)(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6))，eq\f(1,5)×(1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7))≥eq\f(1,4)(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,8))，试写出第n个不等式．[解析]第1个不等式为eq\f(1,2)×1≥1×eq\f(1,2)，即eq\f(1,1＋1)×1≥1×eq\f(1,2×1)，第2个不等式为eq\f(1,3)×(1＋eq\f(1,3))≥eq\f(1,2)(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4))，即eq\f(1,2＋1)×(1＋eq\f(1,2×2－1))≥eq\f(1,2)(eq\f(1,2×1)＋eq\f(1,2×2))，第3个不等式为eq\f(1,4)×(1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5))≥eq\f(1,3)(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6))，即eq\f(1,3＋1)×(1＋eq\f(1,2×2－1)＋eq\f(1,2×3－1))≥eq\f(1,3)(eq\f(1,2×1)＋eq\f(1,2×2)＋eq\f(1,2×3))，第4个不等式为eq\f(1,5)×(1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7))≥eq\f(1,4)(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,8))，即eq\f(1,4＋1)×(1＋eq\f(1,2×2－1)＋eq\f(1,2×3－1)＋eq\f(1,2×4－1))≥eq\f(1,4)(eq\f(1,2×1)＋eq\f(1,2×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,2×4))，归纳可得第n个不等式为eq\f(1,n＋1)×(1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,2n－1))≥eq\f(1,n)(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,2n))(n∈N*)．命题方向❷图形中的归纳推理典例2下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律，第n个图案中需用灰色瓷砖__4n＋8__块(用含n的代数式表示)．[思路分析]分析给出的3个图形中灰色瓷砖数目、白色瓷砖数目以及它们的和之间的关系，揣测一般结论．[解析]第(1)，(2)，(3)，…个图案灰色瓷砖数依次为15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，……由此可揣测第n个图案灰色瓷砖数为(n＋2)(n＋4)－n(n＋2)＝4(n＋2)＝4n＋8.『规律总结』通过一组平面或空间图形的改变规律，探讨其一般性结论，通常需形态问题数字化，呈现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：┃┃跟踪练习2__■有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(B)A．26 B．31C．32 D．36[解析]有菱形纹的正六边形个数如下表：图案第一个其次个第三个…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B．命题方向❸事物的相像性与类比典例3圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合．这两个定义很相像．于是我们猜想圆与球会有某些相像的性质．试将平面上的圆与空间中的球进行类比．[解析]圆与球在它们的生成、形态、定义等方面都具有相像的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：弦↔截面圆，直径↔大圆，周长↔表面积，圆面积↔球体积，等等．于是，依据圆的性质，可以揣测球的性质如下表所示：圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆是等圆；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于经过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心圆的周长C＝πd球的表面积S＝πd2圆的面积S＝πr2球的体积V＝eq\f(4,3)πr3『规律总结』运用类比推理要在合适的类比对象之间进行，可以从其形式、结构、维数等不同方向进行．例如相等与不等的类比(解一元二次方程与解一元二次不等式的类比)，升维类比(圆与球、三角形与四面体)，概念与性质(分解因式与分解因数、等差数列与等比数列)等等．┃┃跟踪练习3__■将平面图形与空间图形作类比，按可作类比的属性填空.平面图形空间图形点线线面圆球三角形__四面体__线线角__二面角__边长__面积__周长__表面积__面积__体积__……命题方向❹类比推理典例4如图，已知O是△ABC内随意一点，连接AO、BO、CO并延长交对边分别于A′、B′、C′，则eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采纳“面积法”；eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝eq\f(S△OBC,S△ABC)＋eq\f(S△OCA,S△ABC)＋eq\f(S△OAB,S△ABC)＝eq\f(S△ABC,S△ABC)＝1.请运用类比思想，对于空间中的四面体V－BCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明．[思路分析]考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论．在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论．[解析]在四面体V－BCD中，任取一点O，连接VO、DO、BO、CO并延长分别交四个面于E、F、G、H点，则eq\f(OE,VE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝1.证明：在四面体O－BCD与V－BCD中，设底面BCD上的高分别为h′，h，则eq\f(OE,VE)＝eq\f(h′,h)＝＝eq\f(\f(1,3)S△BCD·h′,\f(1,3)S△BCD·h)＝eq\f(VO－BCD,VV－BCD).同理有：eq\f(OF,DF)＝eq\f(VO－VBC,VD－VBC)；eq\f(OG,BG)＝eq\f(VO－VCD,VB－VCD)；eq\f(OH,CH)＝eq\f(VO－VBD,VC－VBD)，∴eq\f(OE,VE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝eq\f(VO－BCD＋VO－VBC＋VO－VCD＋VO－VBD,VV－BCD)＝eq\f(VV－BCD,VV－BCD)＝1.『规律总结』1.类比推理的思维过程大致为：eq\x(视察、比较)eq\o(→,\s\up15(相像性,一样性))eq\x(联想、类推)→eq\x(\a\al(揣测新,的结论))2．类比推理的一般步骤：(1)通过视察、分析，找出两类事物之间的相像性或一样性．(2)通过类比、联想，用一类事物的性质去推想另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(3)通过推理论证，证明结论或推翻结论．一般状况下，假如类比的两类事物的相像性越多，相像的性质与推想的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越牢靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特别到特别的相识过程，具有非常重要的好用价值．┃┃跟踪练习4__■平面几何里有“设直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\f(1,h2)”，拓展到空间，探讨三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥A－BCD的三条侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，平面BCD上的高为h，则__eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)＝eq\f(1,h2)__”．[解析]如图所示，设A在底面的射影为O，连接BO并延长交CD于E.连接AE，由AB⊥AC，AB⊥AD得AB⊥平面ACD.∴AB⊥AE.设AE＝h1，在△ABE中，由已知可得eq\f(1,a2)＋eq\f(1,h\o\al(2,1))＝eq\f(1,h2).又易证CD⊥平面ABE，∴CD⊥AE.在△ACD中有eq\f(1,h\o\al(2,1))＝eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)＝eq\f(1,h2).学科核心素养归纳推理在数列中的应用归纳推理具有从特别到一般，从详细到抽象的认知功能，在求数列的通项公式或前n项和的问题中，常常用归纳推理得出关于前有限项的结论，此时要留意把它们的表达式的结构形式进行统一，以便于找寻规律，归纳猜想得出结论．其详细步骤是：(1)通过条件求得数列中的前几项；(2)视察数列的前几项寻求项的规律，揣测数列的通项公式．典例5已知数列{an}满意a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项an的表达式．[思路分析]eq\x(由a1求a2)→eq\x(由a2求a3)→eq\x(由a3求a4)→eq\x(由a4求a5)→eq\x(\a\al(分析a1，a2，a3，a4，a5,的结构特征))→eq\x(猜想通项公式an)[解析](1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)．『规律总结』(1)依据给出的几个详细等式归纳其一般结论时，要留意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及改变规律入手进行归纳，要留意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发觉其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论．(2)解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中的n取详细值1,2,3,4，…，然后求得a1，a2，a3，a4，…的值或S1，S2，S3，S4，…的值，依据这些结果进行归纳得到结果．┃┃跟踪练习5__■已知a1＝3，an＋1＝aeq\o\al(2,n)(n＝1,2，…)，试通过归纳推理得出数列{an}的通项公式，并给出证明．[解析]由a1＝3，an＋1＝aeq\o\al(2,n)，得