2024-2025学年人教版九年级数学上册同步练习：二次函数的最值与存在性问题（20题）（解析版）

专题第03讲二次函数的最值与存在性问题（20题）

1.（2023春•鼓楼区校级期末）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：如图，四

边形48C。中，AD=CD,AB=BC,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.

（1）试猜想筝形的对角线有什么位置关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想；

（2）已知筝形4BC。的对角线AC,8。的长度为整数值，且满足AC+8O=6.试求当AC,8。的长度

为多少时，筝形的面积有最大值，最大值是多少？

【分析】（1）由SSS证明△A8O名△CBD,再由对应角相等，可知在等腰三角

形AC£＞中，。。是三线合一，由此可证想筝形的对角线相互垂直；

（2）写出筝形的面积表达式S筝形将80=6-AC代

2

入，得到关于AC的二次函数，再用配方法求其最大值及取得最大值的条件.

【解答】（1）筝形的对角线相互垂直.

证明："：AD=CD,AB=BC,BD=BD,

:.AABD注ACBD(SSS),

ZADB=ZCDB,

J.ACLBD.

(2)'：AD=CD,ZADB=ZCDB,

：.OA=OC,

.".S^ABCD=-^AC"BD.

将BD=6-AC代入S筝形

2

得S事形4BCD=』AC.3D=』AC(6-AC)-1(AC-3)2

22

...当AC=BD=3时，筝形ABC。的面积有最大值，最大值是9.

2

2.（2023•苏州一模）如图，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=3cm,BC=4c7w.点P从点A出发，以lan/s

的速度沿A8运动：同时，点。从点8出发，2c机/s的速度沿BC运动.当点。到达点C时，P、。两点

同时停止运动.设动点运动的时间为r（s）.

（1）当f为何值时，△PB。的面积为25？；

（2）求四边形尸QC4的面积S的最小值.

A

—

T

P

【分析】（1）利用两点运动的速度表示出2。的长，进而表示出△PBQ的面积即可;

（2）根据二次函数的性质确定四边形APQC面积的最小值.

【解答】解：（1）由题意得：PB=（3-力cm,BQ=2tcm,

S^PBQ=—BQ-PB=^-X2tX（3-r）=-?+3z（OW忘2）,

22

"."S^PBQ--?+3/=2,

解得t=l或t=2,

：.当t=Is或2s时，APB。的面积为2c”汽

(2)VS=-^-X2X3-(-P+3力=？-3t+6=(f-3)2+至(0W/W2),

2/324

Vt7=l,

•1=-W_=3s时，s有最小值，最小值为生sA

2X124

3.（2023春•汉寿县期中）如图，抛物线y=a7+6x+cQW0）与x轴交于点A（-1,0）,点2（3,0）,

与y轴交于点C（0,-3）,点£）为直线。。与抛物线y=o?+6x+cQW0）在x轴下方的一个交点，点

尸为此抛物线上的一个动点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若直线。。为y=-1x，求点。的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点尸在直线。。下方时，求△P。。面积的最大值.

【分析】（1）根据点C坐标得到c值，再将A,8坐标代入y=o?+6x-3,解之，即可求解;

（2）联立抛物线表达式和0。的表达式，解之，根据点。的位置可得结果；

(3)设点尸(m,加2-2%-3),分点尸在第三象限和第四象限分别求解.

【解答】解：(1)由抛物线与y轴的交点为C(0,-3)可知:

c=-3,

把点A(-1,0),点8(3,0)代入抛物线丫=0?+法-3可得:

a-b-3=0

9a+3b_3=0

解得:a=l

b=-2

故抛物线的解析式为：y=/-2x-3；

(2)由题意可得方程组:

y=x2-2x-3

了=3亍

3

勺二2X2-^2

解得：.或，

了1=-39

y2=7

又：点D为直线OD与抛物线y^a^+bx+c在x轴下方的一个交点.

.•.点。的坐标为(2,-3)；

(3)设点PCm,m2-2m-3),

①当点尸在第三象限时,

m2-2m-3),

图1

将点P、Q的坐标代入一次函数表达式：y=sx+f并解得:

直线PD的表达式为：y—mx-3-2m,则OG=3+2根,

SAPOD^^OGX(XD-XP)=y(3+2m)(2-m)

②当点尸在第四象限时,

设尸。交y轴于点M,

同理可得：SAPOD=-^OMX(XD-XP)=-m2+ym+3,

综上，S/^POD——+^-m+3,

V-l<0,故&WD有最大值，当m=』时，其最大值为里.

416

4.(2023•邺城县一模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-f+6x+c的图象与x轴交于A、8两点，

与y轴交于C(0,3),A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0).点P是抛物线上一个动点，且在直

线BC的上方.

(1)求这个二次函数及直线8C的表达式.

(2)过点尸作PD//y轴交直线BC于点D,求PD的最大值.

(3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N,使△MNO为等腰直角三角形，豆/NMO

直线8C的表达式为y=fcc+3,则3%+3=0,解方程求出女的值，得到二次函数的表达式为y=-7+2尤+3,

直线BC的表达式为y=-x+3；

(2)设P(x,-/+2x+3),贝IZ)(x,-x+3),所以尸£)=-/+2x+3-(-x+3)=-/+3x=-(x-3)

2

2+9,即可求得p。的最大值为9；

44

(3)设-nr+2m+3),先求得抛物线的对称轴是直线尤=1,设直线尤=1交x轴于点G,则G(l,

0),MG_L无轴，作NF_LMG于点凡可证明△尸再分四种情况讨论，一是点M在x轴上

方，且点N在直线OM左侧，可列方程-/+2m+3-(1-m)=1；二是点M在天轴上方，且点N在直

线OM右侧，可列方程机-1-(-m2+2/n+3)=1；三是点M在x轴下方，且点N在直线右侧，可

列方程-加2+2*3-(1-m)=1；四是点M在x轴下方，且点N在直线0M左侧，可列方程%-1-

(-m2+2m+3)=1,分别求出相应的符合题意的加值，再求出对应的点N的纵坐标即可.

【解答】解：(1):抛物线y=-/+bx+c经过点8(3,0),C(0,3),

.f-9+3b+c=0

,Ic=3

解得广2.

Ic=3

设直线BC的表达式为y=kx+3,则3左+3=0,

解得k=-1,

二次函数的表达式为y=-/+2x+3,直线BC的表达式为y=-尤+3.

(2)如图1,设P(x,-J+2x+3),

-：PD//y轴交直线BC于点D,,

'.D(无，-x+3),

/.PD=-x2+2x+3-(-x+3)=-/+3尤，

'：PD=-X2+3X=-(x-旦)2+9,

24

.".当x=2"时，PD最大=9,

24

的最大值为9.

4

(3)存在，设N(m,-m2+2m+3),

•.)=-/+2X+3=-(x-1)2+4,

抛物线y=-/+2x+3的对称轴是直线x=1,

设直线％=1交工轴于点G,则G(l,0),MG_Lx轴,

作NF_LMG于点尸，则NM/N=NOGM=90°,F(1,-m2+2m+3),

如图2,点M在x轴上方，且点N在直线左侧，

VZNMO=90°,MN=OM,

：./FMN=/GOM=90°-NOMG,

:•△FMNQAGOM(A4S),

；.MF=OG=LFN=GM=1-m,

-m2+2m+3-(1-m)=1,

解得小=3-后,=亘(不符合题意，舍去),

22

3-后口―1+713

：.GF=GM+MF=1-----------------11-一

22

22

图3

如图3,点M在x轴上方，且点N在直线0M右侧,

同理可得△R0N名△GOM(AAS),

：.MF=0G=l,FN=GM=m-1,

/.m-1-(-m2+2m+3)=1,

解得"“=红叵，他=1-池(不符合题意，舍去),

22

：.GF=GM-MF=-1-1="^"3,

22

：.N(1返1,返1斗

22

如图4,点M在龙轴下方，且点N在直线OM右侧，

同理可得(.AAS),

：.MF=OG=\,FN=GM=m-\,

：.M(1,1-m),

-m2+2m+3-(1-zu)=1,

解得见=里运，偌2=生逗(不符合题意，舍去),

22

：.GF=GM-A/F=_3jVH,-1-1=/^二］,

22

.V13-11-V13

..W=VF=-----=——，

22

:.N(对亘，上叵)；

22

如图5,点M在x轴下方，且点N在直线0M左侧，

同理可得△尸MN04GOM(AAS),

MF=OG=1,FN=GM=1-m,

：.M(1,777-1),

m-1-(-；M2+2m+3)=1,

解得〃“=上叵，m2=(不符合题意，舍去),

22

：.GF^GM+MF^1———"J]—+1--。二],

22

.3+721-3-V21

..yN=yF=-——----=--------,

22

:.N〈上叵,-3心),

22

综上所述，点N的坐标为（3-丘，止/亘）或（*叵，返L±）或（之Y亘，上匡）或

222222

（1-V21-3^21>,

-2-'

5.（2023春•铜梁区校级期中）如图，已知二次函数y=/-3x-4的图象与无轴交于3,C两点，与y轴交

于点。，点A为抛物线的顶点，连接CD

⑴求SACOD；

（2）如图1,点尸在直线CD下方抛物线上的一个动点，过点尸作PQ,CD交于点。，过点尸作PE〃x

轴交CD于点E,求PE+PQ的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线。C方向平移K历个单位长度得到新抛物线口，点加在新抛

物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以8、P、M、N为顶点的四边形是以8M为边的菱形，请直

接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程.

【分析】（1）已知函数解析式，分别令x=0、y=0,解方程即可求得8、C、。的坐标，再运用三角形面

积公式即可求得答案.

（2）利用待定系数法可得直线C。的解析式为y=x-4,设PG,P-3L4）,可表示出PE,利用等腰

直角三角形性质可将PE表示P。的长，进而用点尸坐标将尸E+尸。表示成函数，借助二次函数求最值的

方法即可求得PE+PQ的最大值.

（3）菱形的存在性问题先转化为求以AC为边的等腰三角形的存在性问题，然后根据平行四边形存在性

问题的处理方法写出第四点N即可.

【解答】解：（1）当x=0时，y=-4,

：.D（0,-4）,

・・・OQ=4,

当y=0时，x2-3x-4=0,

解得：Xl=-1,X2=4,

：.B（-1,0）,C（4,0）,

JOC=4,

.".5ACOD=AOOO£>=AX4X4=8；

22

(2)设直线CO的解析式为y=fcv+6,

则(4k+b=0,

lb=-4

解得：。=1,

lb=-4

直线CD的解析式为y=x-4,

设尸Ct,?-3/-4),

：OC=O£>=4,NCOD=90°,

二△COD是等腰直角三角形，

.\ZDCO=45°,

：PE〃龙轴，

.•.NPEQ=/Z)CO=45°,点E的纵坐标与点尸的纵坐标相同，

/.尸-3f-4—x-4,

.,.x—l2-3t,

：.E(?-36?-3r-4),

.'.PE—t-(r2-3f)=-?+4r,

'：PQ±CD,

•••△PE。是等腰直角三角形，

.•.尸。=亚尸石=亚(-/+书)，

22

：.PE+PQ=-?+4z+^-(-?+4r)=-^^+2(r-2)2+2A/2+4,

...-V2+2.<o,

2

.•.当t=2时，PE+P。取得最大值，最大值为2近+4,此时点P的坐标为(2,-6)；

(3)依题意，抛物线沿射线DC平移2&个单位即抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位.

平移后抛物线解析式为：yi=(尤-工)2-工L,对称轴为直线了=工.

242

故设点M(工，m},又8(-1,0),P(2,-6).

2

BP=V(-1-2)2+(0+6)2S

(-1-y)2+(0-m)2=^^+m2，

™(2^-)2+(-6-m)2=^m2+12m-^p--

由题意知，以为腰的等腰三角形△8PM有两种情况:

①如图1,当8尸时，

解得：rm=冽2=-斑亘.

22

M（工,血）,该工-血）.

2222

由平行四边形对角线互相平分可知：

\B+xN=xp+xM

：N（乌-6+应），N2（乌-6-应）;

2222

②如图2,当时,

综上：使以8M为边的菱形的N点有：M（」旦，-6+汉亘），N2（」旦，-6-丕叵），N3（-9,

22222

6.（2023•襄阳模拟）已知抛物线y=ax1+bx+c（a#0）经过点M（-2,旦）和N（2,-工）两点，且抛

22

物线与无轴交于A、8两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C.

（1）若点M是抛物线yuo?+bx+c的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标；

（2）在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形APCN面积的最大值及此时点尸

的坐标；

（3）若B（m,0）,且1WmW3,求a的取值范围.

【分析】(1)设抛物线的顶点式为y=a(x+2)2+-1,将N点代入即可求。的值，从而确定函数的解析

式;

(2)设尸G,-工於-2什至)，先求出直线AC的解析式为反，过尸点作PG〃y轴交AC于点G,

22’22

则GG,工打互)，从而得到S△%c=-§。+5)2+循，当t=-$时，AB4c的面积有最大值.，

224216216

此时尸(-9,造)，求出直线CN与无轴的交点为(S,0),再求SAACN=LX(―+1)X(1+S)

2862622

=且，即可求四边形APCN面积的最大值为空；

216

(3)将M(-2,■|■)和N(2,-y—cuT+bx+c,可得函数解析式为y=a%2-2x+£-4a,当m

=1时，a—--,当MJ=3时，a=」l,从而得到aW-工或

210210

［解答］解：(1)•.•点M是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，

设抛物线解析式为y=a(x+2)2+2,

解得a=-工，

2

抛物线的解析式为y=-工f-2x+互，

22

当y=O时，-氏?-2苫+卷=0,解得x=l或x=-5,

.".A(-5,0),B(1,0),

当x=0时，y=—,

-2

：.CCO,9)；

2

(2)设尸(f,-Af2-2t+^-),

22

设直线AC的解析式为y=kx+^,

-54+5=0,

2

解得k=—,

2

直线AC的解析式为尸犷|，

过P点作PG//y轴交AC于点G,

：.GCt,■1/+§),

22

2J5

：.PG=A/-2z+——l---

2222P--

：.S^PAC=—X(-—f2-—f)义5=-2(f+立)2+lZ^,

2224216

当/=-8时，△BAC的面积有最大值工型，此时P（-B,至）,

21628

设直线CN的解析式为y=k'x+^,

：.2k'+^-=-工,

22

解得发=-3,

直线CN的解析式为尸-3呜,

直线CN与x轴的交点为(―,0),

6

.".SMCN——X(―+1)X分）=11

26T

...四边形APCN面积的最大值为侬+旦=义旦；

16216

(3)将M(-2,9)和N(2,-1)代入y=o?+6x+c,

22

'9

4a-2b+c=-

・・《，

7

4a+2b+c=-^-

fb=-2

解得，1,

c节-4a

•*v~2x+—-4a,

,2

当机=1时，a-2+--4a=0,解得.=-工,

22

当机=3时，9a-6+—-4a=0,解得a=2L,

210

7.(2023•崇川区校级开学)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+bx+4交工轴于A(-4,0)、B(2,

0)两点，交y轴于点C,连接AC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸为线段AC上方的抛物线上一动点，过尸作PFLAC,当尸尸最大时，求出此时P点的坐标以

及尸尸的最大值.

【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可;

(2)过P点作PE〃y轴交于AC于E点，直线AC的解析式为y=x+4,设P-lm2-m+4),则E

(m,m+4),可得PF=-Y2(%+2)2+^,运用二次函数性质即可求得答案.

4

【解答】解：(1):抛物线y=/+bx+4交无轴于A(-4,0)、B(2,0)两点，

.[16a-4b+4=0

14a+2b+4=0

解得:»至，

b=-l

该抛物线的解析式为y=-1?-x+4；

2

(2)过点尸作PE〃y轴，交AC于点E,如图，

：.C(0,4),

设直线AC的解析式为y=kx+n,贝-4k+n=0,

In=4

解得：卜=1,

In=4

直线AC的解析式为y=x+4,

设尸(m,--trC-m+4),则ECm,优+4),

2

PE="-nr-m+4-(m+4)=--nr-2m,

22

"：OA=OC=4,

：./\ACO是等腰直角三角形，

/.ZACO=45°,

'：PE//y^\,

：.ZPEF=ZACO=45°,

\'PF±AC,

/\PEF是等腰直角三角形，

.•.尸尸=返尸石=亚(--2m)=-返6〃+2)2+72>

2224

<-返■<(),

4

当％=-2时，取得最大值，最大值为企,此时点P的坐标为(-2,4).

8.(2023•平潭县模拟)如图，已知抛物线y=o?+6x+3与无轴交于A(-1,0),B(3,0)两点(点A在

点2的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请求出点M的坐标.

(3)如图1,P为直线8C上方的抛物线上一点，PD〃y轴交BC于。点，过点。作。ELAC于E点.设

m=PD+J^-DE,求机的最大值及此时尸点坐标.

2

(3)设尸。与％轴的交点为尸，点尸("，-n2+2n+3),则。-九+3),确定尸。=-层+3〃；根据A

22j

(-1,0),C(0,3)itMAC=Vl+3=V10于是"--DE^AODE，结合SAADC=SAABC-S^ADB,

确定日iDE=2n，继而得到m=-n2+3n+2n=-n2+5n=-(n今产普，运用二次函数最值计算即可.

【解答】解：(1)把A(-1,0),B(3,0)两点代入解析式y=o?+6x+3,得^^+3=0,

I9a+3b+3=0

解得卜=-1,

lb=2

・•・抛物线的解析式为y=-X2+2X+3.

(2)如图，当NMC5=90°时，延长交x轴于点G,

VA(-1,0),B(3,0),C(0,3),

：.OB=OC=3,AB=3-(-1)=4

：.ZOBC=ZOCB=45°,

ZMCB=90°,

：.ZGCB=90°,NGCO=45

：.ZGCO=ZCGO=45°,

・•・OG=OC=3,

：.G(-3,0),

设直线GC的解析式为y=kx^,

・・・0=-3Z+3,

解得k=\,

・,・直线GC的解析式为y=x+3,

.•.x=l时,y=x+3=4,

此时M(1,4)；

如图，当NMBC=90°时，延长5M交y轴于点”，

VA(-1,0),B(3,0),C(0,3),

：・OB=OC=3,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

VZMBC=90°,

:・/HBO=45°,

:・/HBO=/BHO=45°,

：・OH=OB=3,

：.H(0,-3),

设直线BH的解析式为y=px-3,

.*.0=3/7-3,

解得p=L

・,・直线BH的解析式为y=x-3,

，x=l时，y=x-3=-2,

此时M(l,-2)；

当NCM5=90°时，设M(l,a),

VB(3,0),C(0,3),

：・OB=OC=3,

ABC2=32+32=18,MC2=1+(〃-3)2,BM2=4+«2,

•：/CMB=90°,

222

：.BC=MC+BMf

18—1+(tz-3)2+4+/,

整理，得/-3。-2=0,

解得2=3±行,

2

此时M(l，昱票)或M(l，

综上所述，点M(1,4)或点M(1,-2)或点(1,"今立-)或点M(1,生李工)■

(3)如图，设尸。与无轴的交点为R点尸("，-n2+2n+3),

；B(3,0),C(0,3),

设直线BC的解析式为y=qx+3,

，0=3q+3,

解得q=~b

・•・直线BC的解析式为y=-x+3,

；・D(n,-几+3),

:.PD=-n2+2n+3-(-n+3)=-n2+3n；

VA(-1,0),C(0,3),

AC=V12+32=VTO；

...VJQ-DE=^-AC•DE，

连接AD

2

•,-^-DE-|AC-DE=SAADC-

SAADC=SMBC-S^ADBFAB=3-(-1)=4

SAADC=yX4X3-y(-n+3)X4=2n,

A?^-DE=2n-

\/1f)Q9RQ9R

m=PD+~~~DE=-n+3n+2n=-n+5n=-(n-y)

・・,抛物线开口向下，

加有最大值，且当n豆时，取得最大值，且为空，

24

此时-1?+211+3=再+84，

44

故点Pg，(■).

9.(2023•荔城区校级开学)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=o?+6x+c交x轴于点A(-4,0)、

B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,-2),连接AE.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点。为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△AOE面积的最大值.

【分析】(1)由题意利用待定系数法将点A(-4,0)、8(2,0),C(0,6)代入，列出关于a、b、c

的方程组，解方程组即可得出二次函数的表达式；

(2)利用待定系数法求出直线AE的解析式，过点。作DM,尤轴于点延长DM交AE于点设

D(t,4/得t+6)，贝UH(t,-yt-2)＞表示出SAADE,化为顶点式即可得出△人「£的面积的最

大值.

【解答】解：(1)•.•二次函数y=a/+fev+c经过点A(-4,0)、B(2,0),C(0,6),

16a-4b+c=0

・•,4a+2b+c=0，

c=6

3

解得：3,

b-^77

2

c=6

二二次函数解析式为丫=_|^2-1^+6；

(2)设直线AE的解析式为y=fcc+m,

•.•过点A(-4,0),E(0,-2),

_4k+b=0

m=-2

解得：«

m=-2

直线AE的解析式为y=-1-x-2

如图，过点。作轴于点延长DM交AE于点H,

_1

t-2),

2

•*-DH=—1-12-1-t+6-(-yt-2)=-^-t2-t+8,

SAADE=S^ADH+SADHE

=-J-DHAM+^-DHOM

22

=yDH(AMOM)

=-^-DH0A

2

=y(-1t2-t+8)X4,

3o

=-yt-2t+16

.•.当t=上时，△ADE的面积取得最大值为强.

33

10.(2023•阜新)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x?+6尤-c的图象与x轴交于点A(-3,0)

和点8(1,0),与y轴交于点C.

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)如图1,二次函数图象的对称轴与直线AC：y=x+3交于点。，若点"是直线AC上方抛物线上的

一个动点，求△MCD面积的最大值.

(3)如图2,点P是直线AC上的一个动点，过点尸的直线/与8C平行，则在直线/上是否存在点Q,

使点2与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；

(2)作MQL4C于。作于凡交AC于E,先求出抛物线的对称轴，进而求得C,£)坐标及

C£)的长，从而得出过M的直线>=尤+m与抛物线相切时，的面积最大，根据x+7"=-尤2-2X+3

的A=0求得加的值，进而求得”的坐标，进一步求得CO上的高的值，进一步得出结果；

(3)分两种情形：当点尸在线段AC上时，连接BP,交CQ于R,设P。，f+3),根据CP=C8求得f

的值，可推出四边形BCPQ是平行四边形，进而求得。点坐标；当点P在AC的延长线上时，同样方法

得出结果.

【解答】解：(1)由题意得，

y=-(x+3)(x-1)=-J?-2x+3；

作MQ_LAC于Q,作于尸，交AC于E,

"：OA=OC=3,ZAOC=90°,

...NC4O=NACO=45°,

：.ZMEQ=ZAEF=900-ZCAO=45°,

抛物线的对称轴是直线：了=出

2

.".y—x+?>=-1+3=2,

：.D(1,2),

VC(0,3),

:.CD=®

故只需△MC£>的边CO上的高最大时，△AfCZ)的面积最大,

设过点”与AC平行的直线的解析式为：y^x+m,

当直线y=x+m与抛物线相切时，AMCD的面积最大，

由x+m=-x2,-2x+3得，

/+3x+(m-3)=0,

由△=0得，

32-4(m-3)=0得，

m-3a=——9，

4

.*.x2+3x+—=0,

4

.__3

••XI_X2_"—，

2

；.y=-(-3)2_2X(-1)+3=型，

2'2"4

>=尤+3=-2+3=旦，

22

424

/.MQ=ME-sinZMEQ=ME-sin45°=—*^-=9近,

428

最大X亚X9g=2；

288

图2

当点P在线段AC上时，连接8尸，交C。于R,

•••点8和点。关于CQ对称，

：.CP=CB,

设尸©，什3）,

由得，

2於=10,

:.t\=-炳,也=返（舍去），

：.P（-代，3-V5）,

'：PQ//BC,

.CRBR,

••==I,

QRPR

:.CR=QR,

四边形BCPQ是平行四边形，

i+（-Vs）-o=i-Vs，0+（3-V5）-3=-Vs,

-孤-V5）；

当点P在AC的延长线上时，由上可知：P（遍，3+遥），

同理可得：。（1+遥，机），

综上所述：。（1-遥，-返）或（1+遥，返）.

11.（2023•防城区二模）如图1,已知抛物线y=a/+bx+6与轴交于点A（2,0）和点B,与y轴交于点C,

ZABC=45°.

（1）求抛物线的解析式.

（2）如图2,点E为第二象限抛物线上一动点，EFLx轴与8C交于尸，求的最大值，并说明此时△

BCE的面积是否最大.

（3）已知点。（-3,10）,E（2,10）,连接。E.若抛物线丫="2+及+6向上平移左（左＞0）个单位长

度时，与线段。E只有一个公共点，请求出左的取值范围.

【分析】(1)由NABC=45°得0B=0C=6,求出点2(1-6,0),用待定系数法即可求解；

22

(2)可得直线BC的解析式为y=x+6.设/(m,根+6),则-A,n-2m+6),EF=(-AZ7?-2,^+6)

2

-(m+6)(m+3)+—,根据二次函数的性质得EF的最大值是且，由SZVBCE=2E>

22222

OB=3EF,可得此时△BCE的面积是最大；

(3)抛物线向上平移过程中抛物线顶点落在。E上满足题意，分别求出抛物线经过点。，E时上的值，

可得抛物线顶点在上时k的取值范围.

【解答】解：(1):抛物线y=a?+bx+6与y轴交于C,

：.C(0,6),

VZABC=45°,

；.O2=OC=6,

.•.点8(-6,0),

将A(2,0),8(-6,0)代入抛物线得,

J

‘4a+2b+6=0解得《"T,

36a-6b+6=0

b=-2

:.抛物线解析式为y=--x2-2x+6；

2

(2)VC(0,6),B(-6,0),

直线BC的解析式为y=x+6.

设/(机，m+6),

则E(m,-—m2-2m+6),

2

/.EF=m2-2m+6)-(m+6)=m2-3m=--(m+3)2+—,

2222

当m=T时，所的最大值是9,

2

则S^BCE=—EF-OB=3EF,

2

,此时△BCE的面积是最大.

(3)抛物线y=-工x2-2x+6=-」•(x+2)2+8向上平移上个单位后解析式为y=-▲(x+2)2+S+k,

222

，抛物线顶点坐标为(-2,8+4)，

①当抛物线顶点落在QE上时，8+%=10,

解得—2,

②当抛物线经过点0(-3,10)时，10=-工(-3+2)2+8+%,

2

解得人=5，

2

当抛物线经过E(2,10)时，10=-A(2+2)2+S+k,

2

解得人=10,

.•.SCAWIO时，满足题意.

2

综上所述，左=2或AckWlO.

2

12.(2023•明水县模拟)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+6x+c的图象与尤轴交于A、8两

点，与y轴交于C(0,3),A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0),点尸是抛物线上一个动点，且

在直线BC的上方.

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)连接P。、PC,并把APOC沿CO翻折，得到四边形尸OPC,那么是否存在点P,使四边形POPC

为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)当点尸运动到什么位置时，使△BPC的面积最大，求出点尸的坐标和△BPC的面积最大值.

【分析】(1)利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式；

(2)先设出点尸的坐标，再求出P的坐标，利用菱形的对角线互相垂直且邻边相等即可求出点尸的坐

标；

(3)先设出点P的坐标，然后作PQ平行y轴交BC与点Q,将三角形PC。和三角形的面积表示

出来，再求出最大值的条件和最大值.

【解答】解：(1)把点8,点C的坐标代入解析式，

彳k.f-9+3b+c=0

rc=3

解得：。=2,

Ic=3

二次函数得表达式为y=-f+2x+3；

（2）存在点P,使四边形尸OPC为菱形，

设尸（x,-/+2x+3）,PP交CO于点E,

若四边形POP'C是菱形，则PC=PO,

连接PP,则P£J_C。，OE=CE=3,

2

9Q

-x+2x+3=万，

解得2WTU,2-技（不合题意，舍去）,

X1222

.♦.点p的坐标为（空m,3）；

22

(3)过点尸作y轴的平行线与BC交于点。，

设P(x,-/+2x+3),

易得直线BC的解析式为y=-x+3,

则Q(x,-%+3),

:,SACPB=SABPQ+SACPQ=g°P・BO=4义(-X2+3X)X3=-^-(X-^)2+^~,

22228

当了=旦时，△CPB的面积最大，

2

此时，点尸的坐标为（3,至），ACPB的面积的最大值为

248

如图1,抛物线y=ax2+bx得与X轴交于点A(1，0)，B(5,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图2,若P是直线BC下方抛物线上的一动点，连接尸2,PC,过点尸作PDLBC于点。，求4

P8C面积的最大值，并求出此时点尸的坐标和线段的长；

(3)若E是抛物线上的任意一点，过点E作EQ〃y轴，交直线8c于点。,抛物线上是否存在点E,使

以E,Q,O,C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点。的横坐标；若不存在，请说明

理由.

图1图2备用图

【分析】⑴将A(1,0)、B(5,0)代入列方程组并且解该方程组求出。、6的值，即

可得到该抛物线的函数表达式为尸尹-3呜；

(2)先求得C(0,互)，则OC=5,BC=^QB24€|C2=t再求得直线BC为y=-gx+N,作

22222

2

PF//y轴，交BC于点孔设尸(x,工/-3x+2)，则F(无，-工无+上)，所以PF=-Ax+Ax,由曳

222222PF

=sinNDFP=sinNOCB=2*=R5.，得于是得S"BC=」BC•尸£)=-

BC5524216

可求得△PBC面积的最大值是屿，此时P($,-工)，P。