2024-2025学年人教版八年级数学上册专项复习：全等三角形的概念与性质（解析版）

第01讲全等三角形的概念与性质

学习目标

课程标准学习目标

1.理解掌握全等形的概念并能够判断全等图形。

①全等形的概念

2.理解全等三角形的概念并能够判断全等三角形。

②全等三角形的概念

3.掌握全等三角形的性质，并根据全等三角形的性质熟

③全等三角形的性质

练解决相关题目。

思维导图

全等形

全等三角形的概念

对应边

全等三角形的性质对应角

周长与面积

知识清单

知识点01全等形的概念

1.全等形的概念：

形状和大小完全一样的两个图形叫做全等形。即能够完全重合的两个图形叫做全等

形。

题型考点：①概念理解。②全等形判断。

【即学即练1】

i.下列选项中表示两个全等的图形的是（)

A.形状相同的两个图形

B.周长相等的两个图形

C.面积相等的两个图形

D.能够完全重合的两个图形

【解答】解：A、形状相同的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误，不符合题意;

B,周长相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误，不符合题意；

C、面积相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误，不符合题意；

。、能够完全重合的两个图形是全等图形，故此选项正确，符合题意;

故选：D.

【即学即练2】

2.下列各项中，两个图形属于全等图形的是

【解答】解：A、两个图形不能完全重合,

8、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意;

C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；

。、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意;

故选：C.

知识点02全等三角形

1.全等三角形的概念：

形状和大小完全一样的两个三角形叫做全等三角形。即能够完全重合的两个三角形

叫做全等三角形。

2.全等三角形的相关概念：

如图，若aABC与4DEF全等。则其中：

能够重合的点叫做全等三角形的对应点

能够重合的边叫做全等三角形的对应边

能够重合的角叫做全等三角形的」

用符号“g”连接，读作全等于。表示AABC乌4DEF。对应点必须写在对应的位置。

题型考点：①判断全等三角形的对应关系。

【即学即练1】

3.如图，已知△ABC丝△£>££点A与点。，点B与点E,点C与点尸是对应顶点.写出这两个三角形的

对应边和对应角.

【解答】解：•••△ABCg/XOER点A与点。，点8与点E,点C与点尸是对应顶点,

，这两个三角形的对应边是：BCEF,ABDE,AC和。B

对应角是：/ABC和NDER/4CB和/。FE,NBAC和/矶E

【即学即练2】

4.如图所示，已知△ABEgZkACZ）,指出它们的对应边和对应角.

【解答】解：:△ABE四△ACQ,

...AB的对应边是AC,BE的对应边是CO,AE的对应边是AO,

NB的对应角是/C,NBAE的对应角是/CAO,NE的对应角是ND

知识点03全等三角形的性质

1.全等三角形的性质：

由全等三角形的性质及其相关概念可知：

①全等三角形的对应边相等。对应角也相等。

②全等三角形对应边上的中线、高线、角平分线分别对应相等

③全等的两个三角形它们的周长和面积分别对应相等。

【即学即练1】

5.如图，已知△ABEgZkAC。，下列选项中不能被证明的等式是（）

A

B.DB=AEC.DF=EFD.DB=EC

【解答】解：

：.AB=AC,AD=AE,ZB=ZC,故A正确；

：.AB-AD=AC-AE,即BD=EC,故O正确;

在△8。尸和中

rZB=ZC

<ZBFD=ZCFE

BD=CE

：./\BDF^/\CEF(ASA),

：.DF=EF,故C正确；

故选：B.

【即学即练2】

6.如图，AABC^ADEF,EF=lQcm,贝!JBC=cm.

BC=EF=10cm.

故答案为：10.

【即学即练3】

7.如图，LABC当ADEF,点、B、F、C、E在同一条直线上，AC,交于点M,ZACB=30°,则/AMF

的度数是_________

：.ZDFE=ZACB=30°,

•?ZAMF是AMFC的一个外角，

ZAMF=ZDFE+ZACB=60°,

故答案为：60.

【即学即练4】

8.已知△ABC的三边长分别为3,4,5,△。跖的三边长分别为3,3x-2,2x+l,若这两个三角形全等,

则x的值为（）

A.2B.2或工C.1或旦D.2或工或旦

33232

【解答】解：:△ABC与△。所全等，

；・3+4+5=3+3x-2+2x+1,

解得：x=2,

故选：A.

题型精讲

题型01利用全等三角形的性质求线段

【典例1]

如图，AC±BE,DELBE,若△ABC2BDE,AC=5,DE=2,则CE等于（）

A.2.5B.3C.3.5D.4

【分析】根据全等三角形的性质得到BE=AC=5,BC=DE=2,结合图形计算即可.

【解答】解：:/\ABC经ABDE,AC=5,DE=2,

：.BE^AC=5,BC=DE=2,

：.CE=BE-BC=5-2=3,

故选：B.

【典例2】

如图，AABC沿ADEF,点CD,B,尸在同一条直线上，BC=4,AC=2,CF=5,则2。的长为（

E

A

CDBF

A.1B.2C.5D.6

【分析】利用全等三角形的对应边相等即可求得答案.

【解答】解：VAABC^ADEF,BC=4,AC=2,CF=5,

:.BC=EF=4,DF=AC=2,

：.BD=CB+FD-CF=4+2-5=1,

故选：A.

【典例3】

如图，△ABC之△DCE,若AB=6,DE=13,则AO的长为（

D.19

【分析】根据全等三角形的性质得出CO=A5,AC=DE,根据AO=AC-CO,即可求解.

【解答】解：VAABC^ADCE,AB=6fDE=13,

：.CD=AB=6,AC=DE=13,

：.AD=AC-CD=13-6=7,

故选：B.

【典例4】

如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=Ucm,BC=6cm,一条线段尸Q=AB,P,Q两点分别在线段AC

和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、。为顶点的三角形全等，则AP的

A.8cmB.12cmC.12cm或6cMD.12cm8cm

【分析】分两种情况，由全等三角形对应边相等，即可解决问题.

【解答】解：当△BCA也人阴。时，

.\AP—BC=6cm9

当△3CA2△QA尸时，

.'.PA=AC=12cm,

•'•AP的值是6cm或12cm.

故选：C.

题型02利用全等三角形的性质求角度

【典例1】

如图，AABC^AADE,ZB=28°,ZE=95°,NEAB=20°,则为（）

A.77°B.62°C.57°D.55°

【分析】根据全等三角形的对应角相等得到/。=/8=28°,根据三角形内角和定理求出NEA。，进而

求出/R4D

【解答】解：VAABC^AADE,ZB=28°,

：.ZD=ZB=28°,

Z£A£>=180°-ZE-ZD=180°-95°-28°=57°,

：.ZBAD=ZEAB+ZEAD=510+20°=77°,

故选：A.

【典例2】

【分析】根据全等三角形对应角相等可知/a是a、6边的夹角，然后写出即可.

【解答】解：•.•三角形内角和是180°,

：.a,b边的夹角度数为：180°-71°-50°=59°,

:图中的两个三角形全等，

；.Na等于59°,

故选：B.

【典例3】

已知△AECgAADB,若/A=50°,ZABD=40°,则/I的度数为（）

【分析】由全等三角形的性质可得AB=AC,由等腰三角形的性质可求NA8C的度数，即可求解.

【解答】解：•.,△AEC丝△AD2,

：.AB=AC,

：.ZABC=NACB=&_NIA=65。，

2

：.Z1=ZABC-ZABD=65°-40°=25°,

故选：B.

【典例4】

如图，已知△ABC丝△£>£/,CD平分NBCA,DF与BC交于点、G.若NA=26°,NCGP=83°,则NE

的度数是（）

A.34°B.36°C.38°D.40°

【分析】根据角平分线的定义得到NACD=NBCD=/NBCA，根据全等三角形的性质得到

26°,根据三角形的外角性质、全等三角形的性质解答即可.

【解答】解：:⑺平分/BC4,

•■•ZACD=ZBCD-^ZBCA-

△ABg^DEF,

-NA=26°,

又ZCGF=ZD+/BCD,

：.ZBCD=ZCGF-ZD=Sr-26°=57°,

・・・N3CA=2X57°=114°,

AZB=180°-26°-114°=40°,

'：AABC名ADEF,

・•・/£1=N5=40°,故。正确.

故选：D.

题型03全等三角形的面积与周长

【典例1】

已知△ABC之△OER且△ABC的周长为12c〃z,面积为6°优2,则△。所的周长为cm,面积

为cm2.

【分析】利用全等三角形的性质即可解决问题.

【解答】解：:AABC出ADEF,

...△ABC与△£>£下的面积相等，周长相等，

AABC的周长为12cm,面积为6cm2,

；.△DEF的周长为12cm,面积为6cm2,

故答案为12,6.

【典例2】

如图，两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△£>£/的位置，

AB=6,DO=2,平移距离为4,则阴影部分面积为（）

A.20B.24C.28D.30

【分析】根据平移性质得到阴影部分面积等于梯形A2E。的面积，然后利用梯形面积公式求解即可.

【解答】解：由平移性质得△ABC名△£）£/,BE=4,DE=AB=6,AB//DE,

:$ABC=SADEF,OE=DE-DO=4,ZABC=ZDEF^90°,

•''S阴影面积=SADEF-S/xOEC

=S/^ABC-S&OEC

=S梯形ABEO

=/x（6+4）X4

=20,

故选：A.

【典例3】

如图，若LABC咨AEBD,且BQ=4,AB=8,则阴影部分的面积SMCE=

【分析】根据“全等三角形的对应边相等"推知48=EB=8,BC=BD=4,然后结合三角形的面积公式

作答.

【解答】解：VAABC^AEBD,BD=4,A8=8,

：.AB=EB=8,BC=BD=4,

:.EC=EB-BC=8-4=4.

SAACE=-EC'AB=—x4X4=8.

22

故答案为：8.

【典例4】

如图，在△ABC中，8O_LAC于点。，E是8。上一点，若ABAD沿4CED,AB=\Q,AC=14,则△CED

的周长为（）

A.22B.23C.24D.26

【分析】直接利用全等三角形的性质得出AB=EC,AD=ED,BD=DC,进而得出答案.

【解答】ft?：VABAD^AC£D,

：.AB=EC,AD=ED,BD=DC,

'：AB=10,AC=14,

：.AD+DC=ED+DC=14,

：./\CED的周长为：ED+DC+EC=AC+EC^10+14=24.

故选：C.

【典例5】

如图，△ABCg/VTS'C',其中4B=3,A'C=7,B'C=5,则△ABC的周长为

【分析】根据全等三角形的性质求解即可.

【解答】解：•.,△ABCgZ\AB'C,，A'C=7,B'C=5,

：.AC^A'C=7,BC=B'C=5,

'：AB=3,

：.AABC的周长=AB+BC+AC=15,

故答案为：15.

【典例6】

如图，若AABC咨ADEF,AC=4,AB=3,EF=5,则△ABC的周长为

【分析】根据全等三角形的性质进行解答即可.

【解答】解：；△ABC/ADEF,

.•.A2-3,AC=D尸=4,BC=EF=5,

：.AABC的周长=4B+AC+BC=3+4+5=12,

故答案为：12.

题型04方格中的全等

【典例11

如图，在2X3的正方形方格中，每个正方形方格的边长都为1,则N1和/2的关系是（）

A.Z2=2Z1B.Z2-Zl=90°C.Zl+Z2=90°D.Zl+Z2=180°

【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：如图，

在△ABC与△BED中,

rAB=BE

-NABC=/BED=90°，

BC=ED

:.AABC咨ABED（SAS）,

：.Z1=ZDBE.

VZDB£+Z2=90",

.,.Z1+Z2=9O°.

故选：C.

【典例2】

如图所示的2X2的小正方形方格中，连接AB、AC、AD.则下列结论错误的是（）

中B

A

A.Z1+Z2=Z3B.Z1+Z2=2Z3

C.Zl+Z2=90°D.Zl+Z2+Z3=135°

【分析】根据题意知，△ACT四△ABE,AACF^ABAE,所以由全等三角形的对应角相等进行推理论证

即可.

【解答】解：如图，AACT咨AABE,AACF^ABAE,则/4=N2,Z1=Z5.

A、Z1+Z2=Z1+Z4=9O°>Z3,故符合题意.

B、Z1+Z2=2Z3=9O°,故不符合题意.

C、Z1+Z2=Z1+Z4=9O°>Z3,故不符合题意.

D、Z1+Z2+Z3=Z1+Z4+Z3=9O°+45°=135°,故不符合题意.

故选：A.

【典例3】

如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中N1+N2等于（）

A.180°B.150°C.90°D.210°

【分析】根据SAS可证得△ABC丝△即C,可得出继而可得出答案.

【解答】解：由题意得：AB=ED,BC=DC,ZD=ZB=90°,

：.AABC^AEDC(SAS),

：.ZBAC=Z\,

.•.Zl+Z2=180°.

故选：A.

【典例4】

如图，是一个4X4的正方形网格，/1+/2+/3+/4+N5+/6+/7等于()

A.585°B.540°C.270°D.315°

【分析】根据正方形的轴对称性得/l+N7=180°,Z2+Z6=180°,Z3+Z5=180°,Z4=45°.

【解答】解：由图可知，CSAS),

：.Zl^ZOCD,

VZOCD+Z7=180°,

.,.Zl+Z7=180°,

同理得，Z2+Z6=180°,Z3+Z5=18O°.

又N4=45°,

所以Nl+N2+/3+N4+N5+/6+/7=585°.

故选：A.

强化训练

1.与如图全等的图形是（)

【分析】根据全等形的定义逐个判定即可得到答案;

【解答】解：由题意可得，

A、图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；

8、图形与题干图形形状一样，故符合题意；

C、图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；

。、图形与题干图形形状不一样，故不符合题意.

故选：B.

2.下列说法中，正确的有（）

①形状相同的两个图形是全等形；

②面积相等的两个图形是全等形；

③全等三角形的周长相等，面积相等；

④若AABC咨ADEF,则AB=EF.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质判断即可.

【解答】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说

法错误；

全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确；

若AABC咨ADEF,/A的对应角为/£）,所以A2的对应边为所以故④说法

错误；

说法正确的有③，共1个.

故选：A.

3.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则/1+N2+N3的度数为（）

A.90°B.105°C.120°D.135°

【分析】根据对称性可得Nl+/3=90°,Z2=45°.

【解答】解：观察图形可知，N1所在的三角形与/3所在的三角形全等，

•,.Zl+Z3=90°,

又N2=45°,

/.Zl+Z2+Z3=135s,

故选：D.

4.如图，LABC丝AEFD,则下列说法错误的是（）

A.FC=BDB.EF平行且等于AB

C.AC平行且等于。ED.CD=ED

【分析】利用全等三角形的性质进行推理即可.

【解答】解：A、:LABC出AEFD,

:.FD=CB,

：.FD-CD=BC-CD,

即FC=BD,故此选项不合题意；

B、VAABC^AEFD,

：.ZF=ZB,EF=AB,

：.EF//AB,故此选项不合题意；

C、,:△ABC”^EFD,

:./FDE=NBCA,

：.AC//DE,AC=DE,故此选项不合题意；

D、不能证明CD—ED,故此选项符合题意;

故选：D.

5.如图，在△ABC中，在边8c上取一点Q,连接A。，在边上取一点E,连接CE.若△ADB-CDE,

ZBAD=a,则NACE的度数为（)

A.aB.a-45°C.45°-aD.90°-a

【分析】根据全等三角形的性质可得AD=CD,ZDCE=ZBAD,进一步可得/COE

=90°,ZACD=45°,即可求出NACE的度数.

【解答】解：；AADB咨ACDE,

：.ZADB=ZCDE,AD=CD,/DCE=NBAD,

VZADB+ZC£)E=180°,

：.ZCDE=9Q°,

ZACD=ZCAD=45°,

VZBAD=a,

NDCE=a,

：.ZACE=45°-a,

故选：C.

6.如图，N,C,A三点在同一直线上，N,B,M三点在同一直线上，在△ABC中，ZA：ZABC：ZACB

=3：5：10,又AMNC咨AABC,则/BCM的度数等于()

【分析】根据三角形的内角和定理求出NA=30°,ZBCA=100°,/ABC=50°,根据全等三角形的

性质得出NNCM=NACB=100°，/N=NABC=50°,BC=NC,求出NNBC=/N=5Q°，求出NBCN

的度数即可.

【解答】解：,在△ABC中，ZA：ZABC：ZACB=3：5：10,ZA+ZABC+ZACB=180°,

；.NA=30°,ZBCA=100°,ZABC=50°,

'：△MN8AABC,

：.ZNCM=ZACB=100°,ZN=ZABC=50°,BC=NC,

AZNBC=ZN=50°,

：.ZBCN=18O°-ZN-ZNBC=80°,

AZBCM=ZACB-ZBCN=100°-80°=20°,

故选：B.

7.如图，AABC^AADE,且AE〃5£),ZBAD=96°，则NB4C的度数的值为()

【分析】根据全等三角形的性质得出A8=A0,/BAC=NDAE,根据等腰三角形的性质得出NABO=N

AOB=96°,求出NAB£)=/A£)B=L(18(r-ZBAD)=42°，根据平行线的性质得出NZME=NA£)B,

2

求出/BAC=ZADB即可.

【解答】解：:△ABC/△ADE,

：.AB=AD,ZBAC=ZDAE,

：.ZABD=ZADB,

\"ZBAD=96°,

ZABD=ZADB=^-(180°-ZBAD)=42°,

2

'：AE//BD,

：./DAE=ADB,

,/ZBAC=ZDAE,

；.N8AC=NA£)8=42°,

故选：B.

8.如图，AABC^AADE,。在BC上，连接CE,则以下结论：①A。平分/BOE；®ZCDE=ZBAD；

③NDAC=NDEC；@AD=DC.其中正确的个数有()

C.3个D.4个

【分析】由△ABCg/XADE,推出AB=AD,AC^AE,ZADE=ZB,ZBAC=ZDAE,再由等腰三角形

的性质，可以求解.

【解答】解：AC和DE交于。,

J.AB^AD,AC^AE,NADE=NB,ZBAC^ZDAE,

：.ZB=ZADB,ZBAD=ZCAE,ZACE=ZAEC,

：.ZADB=/ADE,ZACE=ZADB=/ADE,

平分

ZAOD=ZEOC,

：.ZDAC=ZDEC,

ZCDE+ZADE=ZB+ZBAD,

：.ZCDE=ZBAD,

由条件不能推出AD=DC,

①②③正确.

故选：C.

9.如图，RtAABC^RtAEDC,且点B,C,E共线，若△ABC的面积为6,BE=1,则A£）=

【分析】设AC=6,8C=a且b>a,根据Rt/XABC丝RtZXEOC得EC=AC=>，DC=BC=a,贝l]BE

EC+BC=b+a=7,由△ABC的面积为6得ab=12进一步得到（b-a）2=1,即可得到答案.

【解答】解：设AC=6,8C=。且

,.•RtAABC^RtA£DC,

:・EC=AC=b,DC=BC=a,

/.BE=EC+BC=b+a=7,

「△A3c的面积为6,

•*,■^-ab=6，

•*ah~~12,

(b-a)2=(a+b)2-4a/?=72-4X12=1,

•••AD=AC-CD=b-a=7i=l.

故答案为：1.

10.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点8到C的方向平移到△OEF的

位置，AB=1,DP=3,平移距离为4,则阴影部分的面积为.

【分析】根据平移的性质分别求出BE、DE,根据题意求出PE,根据全等三角形的性质、梯形的面积公

式计算，得到答案.

【解答】解：由平移的性质知，BE=4,DE=AB=7,

：.PE=DE-DP=1-3=4,

根据题意得：△AB*ADEF,

SAABC=SADEF,

：・S阴影=S梯形(AB+PE)*BE=yX(7+4)X4=22，

故答案为：22.

11.如图，点E是CD上的一点，RtZWCQgRt^EBC,则下结论:

®AC=BC,©AD//BE,③乙4c8=90°,®AD+DE=BE,

成立的有个.

【分析】根据全等三角形的性质得出AC=BE,CD=BC,ZACD=ZCBE,ZD=ZBCE,根据以上结

论即可推出AC<BC,ZD^ZBED,ZACB=9Q°,AD+DE=CD=BC>BE,即可判断各个小题.

【解答】解:

VRtAACD^RtAEBC,

：.AC=BE,

•.,在RtZXBEC中，BE<BC,

.,.ACCBC,.•.①错误；

•:NCAD=NCEB=NBED=9Q°,ZD<ZCAD,

；./DWNBED,

AD和BE不平行，上②错误；

VRtAACD^RtAEBC,

/.ZACD=ZCEE,/D=NBCE,

VZCAD=90°,

ZACD+ZD=9O°,

：.ZACB=ZACD+ZBDE=9Q°,.•.③正确；

VRtAAC£)^RtA£BC,

：.AD=CE,CD=BC,

CD=CE+DE=AD+DE=BC,

\'BE<BC,

：.AD+DE>BE,.•.④错误；

故答案为：1.

12.如图，于点A,AB=8,AC=4,射线AB于点3,一动点E从A点出发以2个单位/秒沿

射线AB运动，点。为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持E£)=CB,若点E经过f

秒G>0),△。跖与△BCA全等，则r的值为秒.

【分析】此题要分两种情况：①当E在线段上时，②当E在上，再分别分成两种情况AC=B£,

进行计算即可.

【解答】解：①当£在线段AB上，AC=B£时，AACB/ABED,

VAC=4,

：.BE=4,

.,.AE=8-4=4,

.•.点E的运动时间为4+2=2(秒)；

②当E在BN上，AC=BE时，

VAC=4,

；.BE=4,

.\AE=8+4=12,

点E的运动时间为124-2=6(秒)；

③当E在BN上,AB=EB时，/\ACB咨△BDE,

AE=8+8=16,

点E的运动时间为16+2=8(秒)，

故答案为：2,6,8.

13.如图，已知△ABC0点E在AB边上，与AC相交于点四

(1)若AE=2,BC=3,求线段。£的长；

(2)若/£>=35°,ZC=50°,求的度数.

【分析】(1)由△ABC0ZXDEB,得到BE=BC=3,DE=AB,AB=AE+BE=2+3,即可得到£>E=5；

(2)由△ABCg△。仍，得到/A=/D=35°,ZDBE=ZC=50°,由三角形外角的性质得到/AFO

=ZA+ZD+Z