2024-2025学年人教版八年级数学上册复习：30°角用法重难点突破（含解析）

30。角用法重难点突破

30°角用法（一）直接用

类型一直接求

1.如图，在等腰AABC中,AB=AC,NA=12（T,D为线段BC上一点,DELAB于点E,DF，AC于点F.若BC=8,则DE+DF

的值为

2.如图,在RtAABC中,/ACB=9(r,/BAC=3(r,AD平分NBAC交BC于点D,E为AD的延长线上一点,/AEB=90。,

若AB=12,则AABE的面积为()

A.18B.36C.9V3D.18V3

类型二方程求

3如图，在AABC中,NA=6（F,BD，AC于点D,CEXAB于点E,BD,CE交于点H,若CE=5,BD=7,则仁的值为（）

4.如图.在等边AABC的三边上分别取点D,E,F.若EDLAB于点D,DFJ_AC于点F,FEJ_BC于点E,且AB=15,求CE的

长.

A

30。角用法（二）构造用

类型一作垂构“369”

L如图，在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点E,且E为DB的中点,NACB=120。,NDAC=30。.若

EC=1,BC=3,求AC的长

2.如图，在AABC中,D是AB的中点/A=30o,NCDB=45。,求/ABC的度数.

3图，在AABC中,AC=BC,NACB=9(F,D为BC上一点,E为AD±—ZCED=45°,ZBED=30°,AE=2.^<EB的长

4.如图，在RtAABC中,NBAC=9(F,AB=AC,D是AABC内一点,AB=BD,/ABD=30。.求证:AD=CD.

类型二延长构“369”

5.如图，在四边形ABCD中，"BC=NBCD=90"E为BC的中点,DE平分NZDC/DAB=60。,则好的值

为.

6.如图，在四边形ABCD中，乙B=AADC=90。，乙4=30。,BC=1,AB=5V3,AD=8,.求CD的长.

7.如图，在RtZkABC中,/ACB=9(r,CA=CB,NBAD=/ADE=60o,DE=3,AB=10,CE平分zXCB.DE与CE相交于点E,

则AD的长为（）

A.4B.13C.6.5D.7

类型三借15。构30°

8.如图，在等腰4ABC中，Z-ACB=90°MC=BG,D为AB上一点.BC的垂直平分线交CD于点E,NBCD=15。.求证:

AE=AC.

突破2630。角用法(一)直接用

1.4解:：AB=AC,/A=120。，

.\ZB=ZC=30°.

VDE±AB,DF±AC,

DE=^BD,DF=^CD,

DE+。尸=，(BO+CD)=|BC=4.

2.A解:延长AC,交BE的延长线于点F.

ZBAC=30°,ZACB=90°,

BC=-AB=6.

2

VAD平分NBAC,

・•・ZFAE=ZBAE.

ZAEB=90°,

・•・^AEF=90°=AAEB.

,.・AE=AE,

・•・AAEB^AAEF,

AAF=AB=12,

・•・SAEB=>ABF=Jxix12X6=18.故选A.

3.C解:•・・NA=60o,CE_LAB,BD_LAC,

・•・ZACE=30°,ZABD=30°,

・・・CH=2DH,HB=2HE.

设DH=x,

则HB=7-x,CH=2x,

AHE=5-2x.

VHB=2HE,

，7-x=2(5-2x),解彳导x=l,

/.CH=2,HE=3,

.•・—=之选C.

HE3

4.解:TED_LAB于点D,DF_LAC于点F,FE_LBC于点E,

JZAFD=ZBDE=ZFEC=90°,

•・・ZA=ZB=ZC=60°,

JZBED=ZEFC=ZADF=30°,

ZDFE=ZDEF=ZFDE=60°,

:•△DEF为等边三角形，

・・・DF=EF=DE,

・•・AADF^ABED^CFE.

设CE=x，则CF=2x,

・•・BD=CE=X,AD=CF=2X.

VBD+AD=15,

x+2x=15.解得x=5.

：.CE=5.

突破2730。角用法(二)构造用

1解过点D作DF〃BC,交AC于点F,

.*.ZDFC=ZACB=120°,

JZDFA=60°.

•・・ZDAC=30°,

JZDAF+ZDFA=90°,

・•・ZADF=90°,

.\AF=2DE

ZDFC=ZACB,ZDEF=ZBEC,DE=BE,

:•△DFE也△BCE,

.*.DF=BC=3,EF=EC=1,

.\AF=2DF=6,

・•・AC=AF+FE+EC=6+1+1=8.

2.解:过点B作BE±AC于点E,连接DE,

・•・ZAEB=90°.

,/ZA=30°,

..BE=-AB^ABE=60°.

2f

VD是AB的中点，

...AD=BD=^AB=BE,

•••△BDE为等边三角形，

二•AD二BD=DE,

・・・NDEA=NA=30°.

VZACD=ZCDB-ZA=45°-30。=15。，

AZEDC=ZAED-ZACD=30°-15°=15。，

JNEDONACD,

ACE=DE=BE,

•••△CBE为等腰直角三角形，

JZCBE=45°,

AZABC=ZABE+ZCBE=60°+45°=105°.

3.解:过点C作CF±CE交AD的延长线于点F,连接BF,

：.ZFCE=ZACB=90°,

・•・ZACE=ZBCF.

ZCED=45°,

・•・ZCED=ZCFE=45°,

.*.CE=CF,ZCEA=135°.

VAC=BC,

AAACE^ABCF,

ABF=AE=2,

ZCFB=ZCEA=135°,

・•・ZEFB=ZCFB-ZAFC=90°.

ZBED=30°,

・・・BE=2BF=4.

4.证明:过点D作DELAC于点E,过点A作AFLBD于点F.

ZABD=30°,AB=BD,

ZBDA=ZBAD=75°,ZBAF=60°,

・・・NDAF=NDAE=15。，

AAADE^AADF,

AAF=AE.

・・・ZABD=30°,ZAFB=90°,

..AF=-AB=-AC,

22

JAE=CE.

VDE±AC,

二•AD=CD.

5.3解:延长DE与AB的延长线交于点F,可证ACDE之△BFE,

.*.BF=CD,EF=DE.

VDE平分NCDA,

JZADE=ZCDE=60°,

・•・ZF=60°,

•••△ADF为等边三角形，

二•AD=AF.

,.*DE=EF,

・・・AE_LDF,

i

AEAF=-ADAB=30°,

2

・・・AF=2EF.

.乙BEF=90°-ZF=30。，

AEF=2BF,

AAF=4BF,

・・・AB=3BF=3CD,

AB

••・——=3.

CD

6.解:延长AD,BC交于点E,连接AC.

ZDAB=30°,

Z.ADC=AB=90。，

JZE=60°,

乙ECD=90°-60°=30°.

设DE=x,

贝!]CE=2DE=2x,AE=2BE,

AE=AD+DE=8+x=2(2x+

1),解得x=2,

/.DE=2,CE=4,AE=10,

SACE=\AE-CD=、E.AB,

•-10CD=20V3,

..CD=2V3.

7.D解:延长DE交AB于点F,延长CE交AB于点G.

ZBAD=ZD=60°,

•••△ADF是等边三角形.

/.AD=AF=DF,ZAFD=60°.

VCA=CB,CE平分/ACB,

；.CG_LAB,

即乙CGB=90°,AG=|4B=5,

/FEG=30°.设AD=AF=DF=a，在RtAGEF中,NAFD=60°,EF=DF-DE=a-3,