2024-2025学年人教版高二数学选择性必修第一册综合测试（提升）（解析版）

人教A版选择性必修第一册综合测试（提升）

一、单选题（每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分）

1.（2023秋・广东）已知点A在直线/：3x-4y-6=0上，点B在圆C：/+/一2x—6y+8=0上，贝的

最小值是（）

A.1B.3-72C.3+V2D.5

【答案】B

【解析】由题意可知圆C的圆心C（l,3）,半径厂=行.

|3-4x3-6|

则圆心C到直线I的距离d=I,,"=3,

6+（-4）-

故|AB|的最小值是“一厂=3一JL

故选：B.

2.（2023秋•高二课时练习）若动点4（演,%），2（%，%）分别在直线4"+丫-7=。和：x+y-5=。上移动，则

的中点〃到原点距离的最小值为（）

A.30B.2C.72D.4

【答案】A

【解析】由题意，知点M在直线乙与6之间且与两直线距离相等的直线上，

设该直线方程为x+y+c=0,则।应।।,即c=—6,

；•点M在直线x+y-6=0上，

；•点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离，即贤=3形.

故选：A.

3.（2023秋・湖北•高二赤壁一中校联考开学考试）在平行六面体ABC。-AAG。中，底面A3CD是菱形，

侧面AAD2是正方形，且NA4B=120°,ZZMJ5=60°,AB=2,若P是CQ与C。的交点，〃是AA的中

点，贝ljMP=（）

C.3D.75

【答案】D

【解析】由题意可知：AB=AD=AAi=2,ZAAB=120°,ZDAB=ffiP,ZAAZ)=90°,

uunuua

可得：AB-AD=2x2x1=2,LILIUUL1U

AB•A4j=2x2x-2AD-AAi=2x2x0=0,

uuuruuumuuriuuunizuuura

因为MP=MD1+2尸=]4〃+/(AG

uuur2iuun2uum?uun2uunuumuunuuiruumuun

可得MP=_AB+AD+A4+2ABAD-2ABAA.-2ADAA,

4

=1[4+4+4+2X2-2X(-2)-2X0]=5,

Iuun।广

所以囚尸卜百，即〃尸=占.

故选：D.

4.(2023秋•高二课时练习)如图所示，在正方体ABCO-4耳£。中，E是棱。功的中点，点产在棱GQ

上，且以尸=/LRG，若B/〃平面ABE,则彳=()

2

D.

0I3

【答案】C

【解析】如图所示，以A为原点，蚀,仞，9所在直线分别为工轴、》轴、2轴，建立空间直角坐标系，设正

方体的棱长为1，

uumuur（i

可得的二（T0,1）,郎+I』,]

n♦B\=一元+z=0

设〃=（x,y,z）是平面ABE的法向量，贝l卜z，

n•BE=-x+y+—=0

2

令z=2,贝！Jx=2,y=l,即〃=（2,1,2）,

UUUUL

由OG=（1，0,0），且。尸=兄AC，可得F（2,1,1）（044Vl）,

UUU

又因为用（1,0,1）,则4P=（彳一1,1,0）,

iLILU11

由耳尸〃平面ABE1,可得〃•耳_F=2（4—l）+lxl+0x2=0,解得4=万.

故选：C.

5.（2023•辽宁・大连二十四中校联考模拟预测）已知吊出是椭圆C:二+反=1的长轴上的两个顶点，点P是

43

椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点。与点尸关于x轴对称，则直线尸4与直线。4的交点〃所形成的轨迹

为（）

A.双曲线B.抛物线

C.椭圆D.两条互相垂直的直线

【答案】A

22

由于4,4是椭圆0：》+4=1的长轴上的两个顶点，所以A（-2,0）,4（2,0）,

设户（巧，九），则。&，一%），

所以直线尸4的方程为片七7"+2）①，直线。4的方程为>

-A-nI乙乙人（1

①X②得丁

又因为〃（4,人）在椭圆。:「+[=1上，所以。:手+?=1,即黄”3

4

所以丁=：（尤2一4）,即

4v743

22

即直线尸4与直线。4的交点M在双曲线5-3=1上.

故选：A.

6.（2023春・江西南昌）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以

22

圆周率兀等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积•已知椭圆,方=1（°>6>0）的右焦点为尸（诟。），过尸

作直线/交椭圆于AB两点，若弦A2中点坐标为,则椭圆的面积为（）

A.12671B.9后C.D.3扃

【答案】A

【解析】设的中点为即加如下图所示:

12

易知c=J/_》2=",Bpa-b=6；

设4(外,%)3(W，%)，

_oa_2瓜

座-1〕X+Xn=2X=-------

又AB中点坐标为GJ所以「233

、%+为=2x(-1)=-2

_0-(-1)_46_%一必

4

贝助/一兀2；

~~T

2

%1

-

铲1

224+

又两点在椭圆、>+2=1(〃>0>0)上可得<a

1

ab-1

2面

式=整理得％-理打(%+%)

两式相减可得三二三+K-0,b2r_V6^__A/|

2——rX---AB

ab/-2-3a2--V

解得3a2=4/,联立片一〃=$可解得/=24,/=18；

即a=2跖6=3应

所以椭圆的面积为7ra6=126兀-

故选：A

x2,2

7.(2023春・北京•高二101中学校考期中)已知A,B,C是椭圆—+上=l(a>6>0)上的三个点，直线

a2b2

经过原点。，直线AC经过椭圆的右焦点F,若3厂1AC,且忸同=3|CF|,则椭圆的离心率是()

A.|B.立C.立D.巫

2425

【答案】C

【解析】设椭圆左焦点为耳(-GO),连接AG，B0C小

设ICF]=见（t>0）,结合椭圆对称性得IA居|=|BF|=3m,

由椭圆定义得IAF|=2a-3m,|CFi\=2a-m,贝［||AC\=2a—2m.

因为||=|OF1|,|OA\=\OBI,则四边形AFtBF为平行四边形，

则知〃斯，而3尸人AC,故A£，AC,

则|A与F+1AC/=|CK|2,即9m2+（2a-=（2a-m）2,

整理得根="|,

在RtFAG中，1&月『+|4刊2=1期『，即91+（2。一3m）2=（2c）2,

即a2+（2a-a）2=（2c）2a2=2cl,故e=±=^~,

a2

故选：c

8.（2023秋•高二单元测试）如图，点尸是棱长为2的正方体ABC。-4月£0的表面上一个动点，则以下不

正确的是（）

A.当尸在平面BCC圈上运动时，四棱锥尸-A412A的体积不变

7TIT

B.当尸在线段AC上运动时，2尸与4G所成角的取值范围是

C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45。的点P的轨迹长度为无+40

D.若p是4耳的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足尸产//平面4c2时，PF长度的最小值是百

【答案】D

【解析】对于A中：底面正方形的面积不变，点尸到平面朋DQ的距离为正方体棱长,

所以四棱锥P-AA2D的体积不变，所以A选项正确;

对于B中：以。为原点，OADC,。2所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，可得

A（2,0,2），A（0,0,2），G（0,2,2）,

设尸（x,2-尤,0）,0VxW2,则〃P=（x,2—X,-2），AC=（-2,2,0）,

,、D.PAC,k-i|

设直线RP马所成角为，则&G）

AG6cose=cosRP,=-n—=J，

'/APAGJd）2+3

因为0(卜一1归1,当值一1|=0时，可得cos0=0,所以e=T；

cNTIi

COSu==—■=W-

当o<|x-l|vi时，J/(x-ir+3[132,所以7rwe<7r

V|1「

TTjr

所以异面直线，尸与4G所成角的取值范围是y,-,所以B正确；

对于C中：因为直线AP与平面ABCD所成的角为45,

若点P在平面OCGR和平面BCC4内，

因为N4AB=45,NAAO=45最大，不成立;

在平面ADD^内，点尸的轨迹是AD,二2&；

在平面内，点尸的轨迹是蝴=2&；

在平面A4GR时，作平面ABCD,如图所示,

因为NPAM=45，所以=又因为=所以=所以AP=AB,

所以点P的轨迹是以4点为圆心，以2为半径的四分之一圆,

所以点尸的轨迹的长度为]x27ix2=7t,

综上，点尸的轨迹的总长度为兀+40,所以C正确；

对于D中，由4(2,2,2),D](0,0,2),C(0,2,0),F(2,l,2),

设P(m,n,0),0<m<2,0<n<2,

则CB】=(2,0,2),CD1=(0,-2,2),FP=(m-2,n-l,-2)

nCD,=-2b+c=0

设平面的一个法向量为〃=贝！J,

nCB[=2a+2c=0

取a=l,可得b=-l,c=-l,所以〃=(1,—1,—1),

因为夕方//平面4cO,所以尸尸•〃=(>—2)—(〃—1)+2=0,可得〃=m+1,

所以附卜7(m-2)2+(n-l)2+4=12府-4m+8=+6>娓,

当x=l时，等号成立，所以D错误.

二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）

9.（2022秋•吉林长春•高二东北师大附中校考期中）如图，正方体ABC。-44的棱长为2,E为线段

中点，尸为线段8耳中点，贝U（）

A.点A到直线用E的距离为逑B.直线AE到直线FG的距离为2

3

9

C.点8到平面的距离为0D.直线FG到平面的距离为与

【答案】AD

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,2),4(2,2,2),E(0,0,l),尸(2,2,1),£(0,2,2),A(2,0,0),B(2,2,0),

B[E2，

因为45=(一2,-2,-1),%=|,-1)4^=(0,2,0).

3

~4

所以4用.

所以点A1到直线qE的距离为，4叶-（4小）2==半，故A正确;

因为4£=（一2,0,1）,尸£=（一2,0,1）,所以AE//FQ,gpAE//FQ,

所以点尸到直线AE的距离即为直线FG到直线AE的距离,

AE.2.-

AP=(0,2,1),AF=5,AF-U=

由25

2回，故B错误;

所以直线FG到直线AE的距离为

设平面AgE的一个法向量为〃=(尤,y,z),A4=(0,2,2),AE=(—2,0,l),BA=(0,-2,0).

n-AB=2y+2z=0

由VX令z=2,则y=-2,x=l,gp«=(l,-2,2).

n•AE=-2x+z=0

\BA-n\4_4

设点8到平面AgE的距离为"，则d==即点B到平面AgE的距离为w，故C错误;

n

因为AE〃/G，FG<Z平面AEu平面AB/,所以尸G〃平面A与E,

所以直线FQ到平面AB{E的距离等于G到平面ABE的距离.G4=（2,0,0）,

由C得平面的一个法向量为〃=（1,-2,2）,

所以G到平面的距离为/

\n\3

7

所以直线FG到平面的距离为;，故D正确.

故选：AD.

10.（2024秋•甘肃武威）设直线/:y=^+3（%eR）与圆C：Y+y2=4,则下列结论正确的为（）

A./可能将C的周长平分

B.若圆C上存在两个点到直线/的距离为1,则上的取值范围为卜20,0）（0,2点）

C.若直线/与圆C交于AB两点，则A3c面积的最大值为2

D.若直线/与圆C交于A,3两点，则4?中点V的轨迹方程为炉+,-£[=：

【答案】BC

【解析】对于A,若直线/将圆C的周长平分，则直线/过原点，此时直线/的斜率不存在，A错误;

对于B,若圆C上存在两个点到直线/的距离为1,则C到直线/的距离d满足l<d<3,

3

所以1<丁77<3，解得-20<4<0或0<左<2夜，B正确；

y/1+k

对于C,S=||C4|-|CB|-sinZACB=2sin/ACB,

当ZACB=90时，MC的面积有最大值2,C正确;

对于D,易知直线/经过定点尸（。,3）,所以所以加点的轨迹以OP为直径的圆,

22

2\x+y=4

其方程为/+人一3]=-,又因为“点在圆C内，由L（3丫9,解得y=g，

（2）4「了一/=43

所以M点的轨迹方程为=；,<"力，D错误.

故选：BC.

22

11.（2023・全国•高二课堂例题）［多选题］已知耳，鸟为椭圆上+上=1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，

43

则下面四个结论正确的是（）

A.居|的最大值大于3B.|9讣|加局的最大值为4

C.N不鸣的最大值为60°D.△上笔耳的面积的最大值为3

【答案】BC

【解析】由椭圆的方程得"=4,廿=3,所以°2=1,所以耳（-1,0）,^（1,0）.

对于A,|晚上=。+。=3,故A错误.

对于B,由椭圆定义可知|町|+|叫|=4,所以|叫|.M闾《应用手用1=4,当且仅当|岫|=|叫|时

取等号，故B正确.

对于C中，当点M为椭圆与y轴的交点时，/片沙取得最大值，由M（0,若）得tan弋&=g,所以

/FM丁F2=30。，/隼明=60°,故C正确.

对于D中，当点M为椭圆与y轴的交点时，△町心面积的最大，最大值为历=也，故D错误.

故选：BC.

12.（2023秋・江西•高三校联考开学考试）已知正六棱柱产-A'B'C'D'EA'的底面边长为2,侧棱长为

1,所有顶点均在球。的球面上，则（）

A.直线DE与直线AF异面

B.若M是侧棱CC'上的动点，则AM+ME的最小值为7

C.直线A-与平面OE0所成角的正弦值为巫

10

D.球。的表面积为17兀

【答案】BCD

【解析】对于A,如图②，连接A£>,A'D',则A£>〃AD,AO//E'F',

所以AE>〃ET',所以直线OE'与直线A尸'共面，故A错误；

对于B,将平面ACC'A沿着CC'翻折到与平面CEE'C'共面的位置，得到矩形人跳四'，如图①所示.

A'CE'

ACE

图①

因为底面边长为2,ZABC=y,所以AC=CE=27L则A£=小可71=7，故B正确;

对于C,以尸为坐标原点，FA,FD,F尸'所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图②所示的空间直角坐标系，

图②

则4（2,0,0）,F（0,0,1）,F（0,0,0）,£＞（0,2后0）,川一1,百,1）,

所以A尸=（一2,0,1）,丽=（0,260）,（-1,73,1）.

,、FD-m=0f丁=。

设平面。底0的法向量为〃?=（x,y,z）,则|,即《「

FE'-m=Q\-x+sj3y+z=0

令z=L得x=l,所以平面DEF的一个法向量为机=（1,0,1）.

AF'-n\1-2+11Jio

设直线4尸，与平面”E所成角为6,则sin6=_M==%，故C正确；

AF'\\m\.5xj210

对于。，设球O的半径为凡则尺2=（£|+22=^-,

17

所以球。的表面积5=4位?2=4兀又一=17兀，故D正确.

4

故选：BCD.

三、填空题（每题5分，4题共20分）

13.（2023秋•云南昆明・高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知直线/：＞=丘+6与双曲线

丫2

相切，且/与C的两条渐近线4，4分别交于加（占,%）,m（%,%）两点，贝U芯尤2=.

【答案】4

【解析】将，=履+》代入［一V=1,

<（1-4^）X2-8^X-4Z>2-4=0,易得1-43^0,

由△=64k2b2+16（Z?2+l）（l-4F）=0,得△=43-1,

1,

双曲线的渐近线方程为〉=±金工，将其统一得?-丁=0,

将,=履+6代入［—J=o得（4/_1）工2+8的+4/=0,（上力土g）

14.（2023・全国•高二课堂例题）P为双曲线V-（=1右支上一点，M,N分别是圆（尤+4），丁=4和

（x-4）2+y2=1上的点，则1PMi—|PN|的最大值为.

【答案】5

【解析】双曲线的两个焦点片（。,0）,鸟（4,0）分别为两圆的圆心,

两圆的半径分别为12,r2=\,易知1mx=|尸制+2,|PN1m1n=|尸闾一1,

故1PM-|PN|的最大值为|「耳|+2-（|尸图-1）=|尸耳|-|%|+3=2+3=5.

故答案为：5

15.（2023•全国•高三专题练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,点P是边A8上异于A,8的一

点，光从点P出发经AC,BC反射后又回到点P,反射点为Q,R,若光线QR经过BBC的重心，则AP=.

【答案】|4/111

【解析】依题意，以点A为原点，直线为x轴，直线AC为y轴建立平面直角坐标系，如图，

44

则A（0,0）,3（4,0）,C（0,4）,ABC的重心G的坐标为

353

设点尸的坐标为伍刀），xoe（O,4）,则点尸关系y轴对称点4（-%,0）,

设点尸关于直线8C对称点PzS.b）,显然直线BC的方程为x+y-4=0,

-b-0,

于是“一%,解得。=4,6=4-%,即点鸟（4,4一%），

由光的反射定律知，光线。R过点4,也过点鸟，而光线经过ABC的重心G,因此点&G,8共线,

——0

则有F-------力,整理得京解得.]’

4

所以A尸二§.

4

故答案为：—

16.（2022秋.吉林长春・高二东北师大附中校考期中）如图，在正三棱柱ABC-\BXCX中，帅=五招，则人8

与用C所成角的余弦值为.

【答案】0

【解析】以A为原点，在平面A3C内过点A作AC的垂线为X轴，AC为y轴，AA为Z轴，建立空间直角

坐标系,

在正三棱柱ABC-A与G中，设则AB=2,

则A(0,0,0),A(0,0,叵),B(V3,1,0),4(6,1,V2),C(0,2,0)，

故4台=(百』,一夜)，AC=(-A/3,1,-A/2),

设异面直线A8与用C所成角为e,则。e（o,jrg,

A.BB^C

所以cos6=H±M_

A^H^c0

所以异面直线A出与与C所成角的余弦值为0.

故答案为：0.

四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分

17.（2023秋・新疆•高二校联考期末）如图，在正方体ABCO-A耳GR中，。是AC的中点，尸是A?的中

点.

(2)求平面ACC,和平面BCP所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵叵

10

【解析】(1)连接CB，交CQ于〃，连接OM,

加,0分别为。2,4(7的中点，，。〃〃4。，

OAfu平面DOG，A2<Z平面DOC-A。//平面。。£.

(2)设该正方体的棱长为1,以。为坐标原点，n4,DC,DA为％y,z轴正方向可建立如图所示空间直角坐标

系，

则81,1,0),c(o,i,o),尸已，0，；)，A(1,O,O),q(0,1,1),

・•加=„T,；］,CB=(1,0,0),AC=(-1,1,0),C£=(0,0,1),

设平面BCP的法向量为m=(x,y,z),

BP-m=——x-y+—z=0/、

则22,令z=2,解得：x=0,y=l,.\m=(0,1,2)；

CB-m=x=0

设平面AC。的法向量〃=(a,4c),

ACn=-a+b=0

则令a=l,解得：b=l,c=0,.,.〃=(1,1,0)；

CCX-n=c=0

■■■平面ACQ和平面BCP所成锐二面角的余弦值为零.

18.(2023•江苏南通)己知圆C:x2+/—2x—6y+f=0,直线/:尤+2y—2=0.

(1)若圆C上至少有3个点到直线I的距离为右，求实数f的取值范围；

⑵若直线/与圆C相交于M,N两点，。为原点且OM_LON,求/的值.

【答案】(1)(9,-10]

⑵/=4

【解析】(1)圆C方程化为(x-l)2+(y-3)2=10-f,

圆C的圆心(1,3)到直线I的距离d=I"尸=非,

若圆上至少有3个点到直线的距离为石，则有厂=而72石+石，解得区-10,

所以实数/的取值范围为(口,-10].

2

(2)(方法一)将x=2-2y代入圆的方程得：5y-10y+t=0,(*)

设M(2—2%%),刈2-2%,%)，则M+%=2,%%=：,

又,OM±ON,

>

:.OM-ON=(2-2y1)(2-2y2)+%%=5%%-4(%+方)+4=0,

:.t=4.

检验：当f=4时，D2+E2-4F>0,且方程(*)5y2—10y+4=0中△>(),满足条件.

故1=4.

(方法二)取脑V中点。，连接连接OD.

由（1）知|CO|="=逐，

设。（2—2y,y）,由卜必=J（l—2y）2+（＞—3）2=布得丫=1,

.-.£＞（0,1）,所以|OD|=|MD|=1,

\MD\==A/5^7,

.­.y/5—t=1,即f=4.

19.（2023秋•云南昆明•高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知耳，耳分别是椭圆

C:3+}=l（a>b>0）的左、右焦点，尸（1,等）是椭圆C上一点，且

⑴求椭圆C的方程；

⑵延长尸耳，尸工，并与椭圆C分别相交于M,N两点，求，PMN的面积.

【答案】（1）。+>2=1

11,

由＜2b2解得=2,=1,

a2—b2+1,

故椭圆C的方程为;+y2=l.

（2）由（1）可知，直线的方程为x=l,根据对称性可知N,-乎］

直线尸耳的方程为y=X+1),

X22」

另+y=1,

联立方程组「整理得51+2了_7=0,

y=*(x+i)，

7

解得x=l或%=-•则M

三510J

SPMN=g

20.（2023•江苏南通・高二金沙中学校考阶段练习）已知曲线C上的动点P（%y）满足到定点A（0,-l）的距离

与到定点3（。,1）距离之比为0

⑴求曲线C的方程；

（2）过点M（2,l）的直线/与曲线C交于两点M、N,若|MN|=4,求直线/的方程.

【答案】⑴f+y2_6y+l=0（或无2+（〉一3）2=8）

（2）x=2或y=L

【解析】（1）由题意得|/训=&「3|,故J析+（y+iy=0.Jd+（y-i）2,

化简得炉+/_6>+1=0（或d+（y—3）2=8）；

（2）当直线/的斜率不存在时，/:x=2,

将x=2代入方程/+/一6》+1=。得y=5或y=l,所以|肱V|=4,满足题意;

当直线/的斜率存在时，^l：kx-y+l-2k=0

因为|肱V|=4,所以2'20『［字=4,解得％=0,止匕时/：y=L

21.（2023秋•湖南）如图，在四棱锥P—ABCD中，ZABC=ZCDA=90°,/54。=120。，AB=AD=2,E

为PC的中点.

⑴求证：BE//平面B4D；

(2)若尸C=PO=2退，平面尸CD,平面ABC。，求二面角3—CP—D的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵百

【解析】(1)取C。的中点。，连接E。，BO,

为PC中点，AEO//PD,

而EO.平面用J9,P£>u平面B4£>,EO〃平面B4D

,/ZABC=ZCDA=90°,ABAD=120°,NBCD=60°,

又AB=AD,ZADB=ZABD=|x(180°-120°)=30°,

/.Z.CBD=NCDB=90°-30°=60°,

△BCD为等边三角形，J.BOLCD,

又AD1CD,：.BO//AD,

而30.平面孙，4)<=平面以。，，30〃平面外。,

又EOcBO=O,EO,BOu平面EOB

二平面EO3〃平面勿。，而座匚平面E08,

EB〃平面PAD.

B八

（2）:PC=PD,：.POVCD.

•平面PCD，平面ABC。，尸Ou平面尸CD,尸。人平面4BC。，

又△BCD为等边三角形，J.BOLCD,

又「30u平面ABC。，平面尸C£>_L平面ABCZ）,平面尸CDc平面?WCD=CD,

30人平面PCD,

,在△AB£>中，AD=AB=2,ZDAB=120°,BD=2A/3,

PC=PD=2^,/.PO=«2国_（国=3,

在等边△BCD中，,:BD=2OD=2m,：.OD=OC=y/3,08=3.

以O为坐标原点，。8,OD,0P所在直线分别为x,y,z轴建立空