2024-2025学年人教版高二数学选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程 章末测试（基础）（解析版）

第二章直线和圆的方程章末测试（基础）

一、单选题（每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分）

1.（2023春•福建厦门•高二统考期末）直线x-y+l=O被圆x2+y2=i所截得的弦长为（）

A.走B.1C.&D.2

2

【答案】C

【解析】由圆的方程/+y2=i,则其圆心为（0,0）,半径为r=1,

圆心到直线X—y+l=0的距离d=里把=立，则弦长/=2，产-屋=故选:C.

V1+12V2

2.（2023春•内蒙古包头）三条直线4，4，4的位置如图所示，它们的斜率分别为L，k2,k3,则K，k2,

%的大小关系为（）

A.k2>kx>k3B.左2〉&〉

C.k3>k2>k{D.左3>曷>左2

【答案】B

【解析】设三条直线4，M4的倾斜角为4（，=1，2,3）,由图可知0<。3<%<]<4<兀，

所以鱼>%>%.故选：B.

3.（2023春・山东潍坊・高二校考阶段练习）若直线/过两点A（-2,0）,B（0,l）,则直线/的一般式方程是（）

A.x-2y+2=0B.x+2y—2=0

C.2x—y+2=0D.2%+y-2=0

【答案】A

【解析】因为直线/过两点4-2,0）,8（0,1）,所以直线/的方程为王+?=1,即x-2y+2=0,故选：A

-21

4.（2023春•四川成都•高二成都七中校考期末）直线点x+@-1=0与直线4：融+丁+1=0平行，则。二（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

【答案】B

【解析】因为直线4：x+ay-1=。与直线:ox+y+1=。平行，所以lxl=axa,所以。=1或。=一1,

当。=-1时，直线4：x-y-l=。与直线4：-x+y+l=O重合，舍去，故。=1.故选：B.

5.（2023春•江西宜春•高二灰埠中学校考期末）圆/+丁-4x-4y-10=0上的点到直线x+y+6=。的最大

距离是（）

A.20B.4A/2C.872D.1672

【答案】C

【解析】圆/+/一4工-4'一10=0化为标准方程得（x-2y+（y-2）2=18,

圆心坐标为（2,2）,半径为3板，圆心到直线*+丫+6=0的距离为巨手=5&

72

所以圆上的点到直线x+y+6=0的最大距离为5及+30=80.

故选:C.

6.（2023春•吉林长春•高二校考开学考试）不论左为任何实数，直线（2%-l）x-（左+3）y-（左-11）=0恒过定

点，则这个定点的坐标为（）

A.（-2,3）B.（2,3）C.（2,-3）D.（-2,-3）

【答案】B

［角军析1直线（2k-V）x—（k+3）y—（左一11）=0即k（2x—_y—1）+（―x—3y+11）=0,

j2x-y-l=0x=2

根据上的任意性可得1-x-3y+ll=0,解得

y=3

不论％取什么实数时，直线（20l）x+（左+3）y-（左-11）=0都经过一个定点（2,3）.故选：B

7.（2023春•贵州铜仁•高二统考期末）点A在圆C：尤之+丫?-2x=0上运动，点3（-1,0）,当直线A3的斜率

最大时，直线45方程是（）

A.\/3x—y+A/3=0B.x+y—1—0

C.x-s/3y+l=0D.>/3x+y=0

【答案】C

【解析】设直线48的方程为〉=左（》+1）,即五一y+左=。,

22

x+y-2X=0,即（尤-1）2+;/=1,则圆心C（1,O）,半径r=1,则由题意得圆心到直线的距离小于等于1,

标:"1,解得一¥儿《¥，则%的最大值为g,此时直线川的方程为、=¥"+1）,化简得

x-yj3y+1=0,故选：C.

8.（2023春•河南）“a<1”是“方程2/+2/+2办+6y+5。=0表示圆”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为方程2x?+2y~+2tzx+6y+5。=0,即广+y~+6ix+3y+~^~=。表示圆，

等价于〃+9—10。>0,解得。>9或a<1.故"a<1"是“方程2/+2y2+2依+6y+5。=0表示圆”的充分不

必要条件.故选：A

二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）

9.（2023•辽宁葫芦岛）过四点（0,0）,（4,0）,（—1,1）,（4,2）中的三点的圆的方程为（）

A.（尤-2）2+（y-iy=5B.（x-2）2+（y-3）2=13

4,7,8,9

C.（x-+（y--）=22D.（x--）-+（y-l）9=-

【答案】AB

【解析】对于A,点（0,0）,（4,0）,（4,2）在圆（*-2）2+（尸1产=5上,故A正确;

对于B,点（0,0）,（4,0）,（-1,1）在圆。-2）2+（丫-3）2=13上，故B正确；

对于C,点（0,0）,（-1,1）都不在圆（尤-§2+。-（）2=22上，故C错误；

对于D,点（4,0）,（—1,1）都不在圆。-1）2+。-1）2=］上，故D错误；

故选：AB.

10.（2023・湖南•校联考模拟预测）已知圆C:（x-l）2+（y—2）2=16,直线/:（2租+1卜+（〃工+1）丫一7〃2—4=0,

则（）

A.直线/恒过定点

B.直线/能表示平面直角坐标系内每一条直线

C.对任意实数机，直线/都与圆C相交

D.直线/被圆C截得的弦长的最小值为2VH

【答案】ACD

【解析】对于A：直线/的方程可化为（2x+y_7）M+（x+y—4）=0,

2x+y—7=0,x=3,

联立x+；4=。，解得

y=l.

所以直线恒过定点P（3,l）,AA正确；

对于B：由A可知，直线/不能表示直线2x+y-7=0,也不能表示不过点尸的直线，，B错误;

对于C,因为（3-1）2+（1-2）2<16,故直线/恒过圆C内一点P（3,l）,所以直线/与圆相交，；.C正确；

对于D,当直线/LCP时，直线被圆截得的弦长最短，因为CP=J（3_1）2+（1_2）2=右,

所以最短弦长为2M-CP。=2J16-5=2而，,D正确.

故选：ACD.

11.（2023春・广西•高二校联考阶段练习）圆心在无轴上，半径为2,且与直线尤-'=。相切的圆的方程可能

是（）

A.（尤一2夜『+;/=4B.（尤一2）2+旷=4

C.（X+2A/2）2+/=4D.（%+2）2+/=4

【答案】AC

【解析】依题可设圆心坐标为

由题意得圆心到直线x-y=0的距离为2,

即g=2,解得0=±2近，

所以圆的方程为：L一20『+y2=4或（x+20y+y2=4,

故选：AC.

12.（2023・江苏•高二假期作业）下列各直线中，与直线2x-y-3=0平行的是（）

A.2依—殴―6=0（aw0,aw2）

B.y=2x

C.2x-y+5=0

D.2x+y-3=0

【答案】ABC

【解析】直线3=0,即y=2x-3的斜率为2,在V轴的截距为-3,

对于A,直线2ox-oy-6=0（aw0,aw2）,即y=2尤一w0,a力2）的斜率为2,在V轴的截距为w-3,

aa

所以两直线平行，A正确；

对于B,直线y=2x的斜率为2,在y轴的截距为0w-3,所以两直线平行，B正确；

对于C,直线2x-y+5=0,即y=2x+5的斜率为2,在>轴的截距为5H-3,所以两直线平行，C正确；

对于D,直线2x+y-3=。的斜率为一2,所以两直线不平行，D错误.

故选：ABC.

三、填空题（每题5分，4题共20分）

13.（2023春•四川成都•高二成都七中校考开学考试）圆尤2+,2+2》-分+1=0关于直线依+y+l=0对称，

贝Ia=.

【答案】3

【解析】由*+；/+2》一分+1=0可得圆的标准方程为：（x+lY+（y-2）2=4,

则由题意得直线6+丁+1=。过圆心（T2）,代入直线方程有-a+2+l=0,解得。=3,

故答案为：3.

14.（2023春•山东潍坊•高二校考阶段练习）己知直线/与直线2x-y-5=0的倾斜角相等，且直线过点A（3,2）,

则直线/的方程为.

【答案】2尤—>-4=0

【解析】直线/与直线2x-y-5=0的倾斜角相等，可得直线的斜率为2,

直线过点43,2）,则直线/的方程为y—2=2（x—3）,即2尤7-4=0.

故答案为：2尤-y-4=0.

15.（2023春•上海杨浦・高一上海市控江中学校考期末）已知常数帆©R,若关于x的方程了+曰二7=加有且

仅有一个实数解，则根的取值范围是.

【答案】［-2,2）u{2垃}

【解析】由4-炉之0,可得-2VxV2,

由题意可得〃―尤?二一%+”

即直线y=-尤+根与曲线丁="3区只有一个交点，

又因为曲线y=表求以原点为圆心，2为半径且位于X轴上及上方的半圆，

如图所示：

y八

当直线丁=一工+加过（-2,0）时，m=-2,此时直线,=一工+加与半圆只有一个交点，

当直线过点（2,0）时，m=2,此时直线>+机与半圆有两个交点，

结合图象，当直线与半圆相切时，m=2日

综上所述，机的取值范围是一2,2）口｛2夜｝.

故答案为：12,2）。｛20｝.

16.（2023•全国•高三专题练习）从直线/：=1上的任意一点尸作圆0-.X2+/=8的两条切线，切点为A.B,

o4

则弦AB长度的最小值为.

【答案】2括

【解析】设尸（8-2m,机），易知p的极线方程为my+（S-2机）x=8,即m（2x-y）=8x-8可得弦AB必过。，2）,

易得圆O：尤2+^=8上，过（1,2）的最短的弦长为”户-屋1mx=2指.

四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分

17.（2022.高二单元测试）如图所示，已知以点A（T2）为圆心的圆与直线4：x+2y+7=O相切，过点3（-2,0）

斜率为七的直线/与圆A相交于M,N两点，点。是MN的中点.

(1)求圆A的方程;

⑵当|MN|=2j历时，求直线/的方程.

【答案】(D(x+iy+(y-2)2=20

(2)3九一4y+6=0

【解析】1)设圆A的半径为

所以一包*=2卮

因为圆A与直线4：x+2y+7=0相切,

75

所以圆A的方程为(x+l)2+(y-2)2=20；

设直线/的方程为y=Mx+2),即履-y+2左=。，连接A。，AM,如图所示，则

因为|“用=2屈，［40|=2百，所以伊。|=00-19=1,

../-2|3

则由AQ=5^=1,得左==,所以直线/的方程为3x-4y+6=。；

收+14

综上：圆A的标准方程为：(x+iy+(y-2)2=20,直线/的方程为3x—4y+6=0.

18.(2023春・海南海口)已知ABC的三个顶点为A(4,0),B(8,7),C(4,6).

(1)求过点A且平行于BC的直线方程；

(2)求过点8且与A、C距离相等的直线方程.

【答案】⑴4=0

(2)尤=8和x-y-l=。

【解析】(1)由8、C两点的坐标可得⑥c=「=T，

o-44

因为待求直线与直线BC平行，故其斜率为左

由点斜式方程可得目标直线方程为y=；(x-4)

整理得x-4y-4=0.

(2)由A、C点的坐标可知，AC的中点Q坐标为(4,3)

又直线AC没有斜率，则与直线AC平行的直线符合题意，即x=8.

过。两点的直线到4C的距离也相等，&。=二1=1

点斜式方程为，-3=尤-4,整理得=

综上所述，满足题意的直线方程为x=8和x-y-1=0.

19.(2022•高二单元测试)已知圆C经过坐标原点，且与直线％->+2=0相切，切点为尸(2,4).

(1)求圆C的标准方程;

(2)过圆C内点£(3,1)的最长弦和最短弦分别为AF和3。求四边形ABFD的面积.

【答案】(1)(尤-7)2+(>+1)2=50

(2)20715

【解析】1)解：设坐标原点为0,贝产”=2,线段OP的中点为石。,2),

线段0尸的中垂线方程为=尤-1),即y=_：x+|,

直线x-y+2=0的斜率为1,由圆的几何性质可知，直线CP与直线x-y+2=0垂直,

所以，直线CP的方程为y-4=-(x-2),即尤+y-6=0,

-_15

y_xH—fx_7、

联立’22,解得=,即圆心C(z7,-l),

x+_y-6=01y=T

圆C的半径为|OP卜,2+(-1)2=5夜，

故圆C的标准方程为(X-7)2+6+1)2=50.

(2)解：过圆C内点43,1)的最长弦为|AF卜2厂=10及，

当过点E的弦与直线CE垂直时，弦的长度取得最小值，即CE_LBD,此时BD_LAF,

由勾股定理可得忸q=2,产_回[=2^50-(42+22)=2同，

此时，四边形ABED的面积为:阴•M=；xlO0x2回=20岳.

20.(2023云南)已知圆C过点4(4,0),3(0,4),且圆心C在直线/：x+y-6=0上.

⑴求圆C的方程；

(2)若从点”(4,1)发出的光线经过直线y=-x反射，反射光线《恰好平分圆c的圆周，求反射光线4的一般

方程.

(3)若点。在直线/上运动，求。42+。4的最小值.

【答案】(1)(尤-3)2+@—3)2=10

(2)7x-4y-9=0

(3)20

【解析】(1)由4(4,0),3(0,4),得直线AB的斜率为L=g=-1,线段中点。(2,2),

所以砧=1,直线CD的方程为V-2=%-2,即尸工,

,、fx+y-6=0乙,fx=3/、

联立，解得,即C(3,3),

[y=x[y=3

所以半径r=\AC\=^(4-3)2+(0-3)2=A/10,

所以圆C的方程为(x-3y+(y—3)2=10；

(2)由4恰好平分圆C的圆周，得4经过圆心C(3,3),

设点M关于直线＞=的对称点N(x,y),

则直线MN与直线》=一％垂直，且线段MN的中点广在上，

y-i

即卜-:x=­l

,解得

2+1_x+4y=-4

、2一

所以N(TY),

3-H)_7

所以直线CN即为直线4,且勺=k

CD3-(-1)"

直线4方程为y-3=：7(x-3),即7x-4y—9=0；

(3)由已知点。在直线无+>-6=0上，

设Q(m,6-“2),

222l2

则0A2+QB=(4-/n)+(-6+mf+(-/n)+(4-6+mf=4m-24m+56=2(m-3)+20,

所以当加=3时，。/+。82取最小值为20.

21.(2023北乐)已知圆G：x?+(y—1)-=5,圆G：尤~+必—4x+2y=0.

⑴求圆G与圆c?的公共弦长；

(2)求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=l上的圆的方程.

【答案】(1)2指

【解析】(1)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程,

即(Y+y2-4x+2y)-(炉+/―2y-4)=0,化简得x-y-l=0,

所以圆G的圆心(。/)到直线x-yT=o的距离为1=耳型=应，

VI+1

则［四］一/=5-2=3,解得|AB|=26,

所以公共弦长为2班.

(2)解法一：

设过两圆的交点的圆为优+/-4x+2y)+X(x2+y2_2y_4)=0,/U-l,

cc42-2244八。】

则…E+

1+/Ii+/i

由圆心[6'一号)在直线2、+4y=i上，则高一船31，解得人；，

所求圆的方程为Y+y2_3x+y_l=0,即+(y+g]=1

解法二：

由(1)得>=x-l,代入圆C?:尤2+y2-4x+2y=0,

化简可得2尤2一4%-1=0,解得x=21逅；

2

当2+^6q#A/6当2—^/6n-u^/6

3x=--------呵,y=—;3x=--------町,y=-------;

2222

设所求圆的圆心坐标为(。力)，

所以过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=l上的圆的方程为(尤_]+1+£|二

22.(2023