2024-2025学年江西省南昌某中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省南昌十九中高二(上)期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知点N与点M(l,—2,3)关于x轴对称，则点N的坐标为()

A.(1,2,—3)B.(-1,-2,3)C.(-1,—2,-3)D.(1,-2,—3)

2.已知空间直角坐标系。一孙z中有一点2(-1,一1,2),点B是xOy平面内的直线工+y=1上的动点，则4,B

两点的最短距离是

()

A.V6B.孚C.3D.孝

Z,4

3.若圆C：。-1)2+(>-3)2=8上存在两个点到直线/：x+y+6=0的距离为或，则实数机的取值范围

是()

A.—6<m<—2B,—10<m<-2

C.—2<m<2或一10<m<-6D,m<—6或租>—2

4.设a,b为实数，若直线a%+by=2与圆％2+y2=i相切，则点p(a,b)与圆的位置关系()

A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定

5.已知椭圆条+哙=l(a>b>0)的左、右焦点分别为％,F2,直线I：y=依(卜40)与椭圆交于4B两

点，直线4Fi与椭圆交于另一点D,若直线4。与BD的斜率之积为-玄则椭圆的离心率为()

A.1B.乎C.|D.理

6.已知点4B分别为双曲线E：*，=l(a>0力>0)的两个顶点，点M在E上，AABM为等腰三角形，

且顶角为120。，则双曲线E的离心率为()

A.A/5B.2C.^3D."

7.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点(m,2)到原点的距离为2避，焦点为F,准线2与久轴的交点为M,

2TT

过C上一点P作PQ1I于Q,若乙FPQ=零则|PF|=()

A-3B,-2CJ—3D,-3

8.函数/㈤=x+3被称为“对勾函数”，它可以由双曲线C：:一，=l(a>0fb>0)旋转得到，已知直

线％=0和直线y=%是函数/(%)的渐近线，则双曲线C的渐近线方程为()

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A.y=±争cB.y=±(*-l)xC.y=±(2-4)XD.y=±x

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知直线/：(2a-3)x+(1—a)y+1=0,贝！|()

A.若a=1,则直线1的倾斜角为三

B,直线I过定点(1,2)

C.若a=g,则直线Z在x轴和y轴上的截距相等

D,若直线(不经过第二象限，则a<1

10.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线C:(久2+y2)3=IV

%2产就是其中一种(如图).则下列结论正确的是()

A.曲线C关于坐标原点对称\丫/_

B.曲线C上的点到原点的最大距离为^

C.四叶草曲线c所围的区域面积大于?

D.四叶草曲线C恰好经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)

11.在平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)的轨迹为曲线C,且动点P(x,y)到两个定点%1,0),92(1,。)的

距离之积等于3,则下列结论正确的是()

A.曲线C关于y轴对称

B.曲线C的方程为N+*+1=.2+9

C.面积的最大值楙

D.|OP|的取值范围为[*,2]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若曲线y=与直线x-y+m=。有两个公共点，则实数机的取值范围是.

13.已知椭圆C：喘+仁=1，则过点(3,0)且斜率为釉直线被椭圆C所截线段的长度为.

14.设抛物线久2=4y的焦点为F,若G)M：久2+(y-4)2=产&>0)与抛物线有四个不同的交点，记y轴同

侧的两个交点为4B,则|F4|•|尸8|的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

2

如图所示，由半椭圆Ci：?+与=l(yW0,6>0)和两个半圆。2:(久+I/+y2=i(y之。)、c3:(x-1)

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+y2=i(y20)组成曲线C：F(x,y)=0,其中点4、&依次为G的左、右顶点，点B为Q的下顶点，点

F1、/2依次为C1的左、右焦点.点%、/2分别为曲线。2、C3的圆心.

(1)求C1的方程;

(2)若点P、Q分别在。2、。3上运动，点T(0,-l)，求|TP|+ITQI的最大值，并求出此时点p、Q的坐标.

16.(本小题15分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，点4(0,3),直线I：y=x-l,设圆C的半径为1,圆心在LL.

(1)若圆心。也在直线y=3刀+1上，过点4作圆C的切线，求切线的方程;

(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2\MO\,求圆心C的横坐标a的取值范围.

17.(本小题15分)

设%,尸2为椭圆C：:+f1=l(a>b>0)的左、右焦点，点4(避,勺在椭圆C上，点4关于原点的对称点

为B,四边形4F1BF2的面积为群.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过尸2的直线।交椭圆C于M,N两点，求证：黄西+痣所为定值.

18.(本小题17分)

已知双曲线E>°力>°)的左、右焦点分别为Fi，尸2，离心率为2,P是E的右支上一点，且

PFilPF2,△PF1F2的面积为3.

(I)求石的方程；

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(U)若E的左、右顶点分别为4B,过点&的直线1与E的右支交于M,N两点，直线AM和BN的斜率分别即

为k4M和求四M+|版2的最小值.

19.(本小题17分)

已知抛物线E：产=4尤的焦点为F,若A4BC的三个顶点都在抛物线E上，且满足同+而+而=0,则称

该三角形为“核心三角形”.

⑴设“核心三角形A8C”的一边4B所在直线的斜率为2,求直线48的方程；

(2)已知△ABC是“核心三角形"，证明：AABC三个顶点的横坐标都小于2.

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参考答案

1.A

2.B

3.C

4.B

5.B

6.D

7.0

8.B

9.ABC

IQ.AB

11.ABD

12.[2,2避)

13处

j5

14.(5,9)

15.解:(1)依题意，%(—1,0)、尸2(1，0)，

所以按=4—1=3,

所以Ci的方程为1+4=l(y<0)；

4D

(2)|TP|+\TQ\<(|^|+|%P|)+(|TF2|+\F2Q\)

=(#+l)+("+l)

=2避+2,

当T、%、P三点共线，同时r、&、Q三点共线，有(|TP|+|也|)帆取=2"+2,

由r(0,—1),F1(—1,0)、F(l,0),则此时NOF1P==乎，

2^OF2Q

所以％尸=-1+1xcos督=—1—孝，yP=1xsin与=孝，

则0(—1—岑¥),同理可得Q(I+孝,孝).

16.解：(1)根据题意，圆心C在直线/：y=%—l_b,也在直线y=3%+1上，

解得％=-1,y=-2,所以C(—l,-2),所以圆C：(%+1尸+(y+2尸=1,

当切线斜率存在时，过点人的切线方程可设为y=忆％+3,即--y+3=0,

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则号9=1父二卷

所以切线方程y=等+3,

当斜率不存在时，直线x=0也与圆相切,

综上：所求切线直线方程为y=(x+3或K=0；

(2)设点C(a,a-1),M(xo,yo),因为|M4|=2\MO\,则W+(、0-3)2=4(就+y电，

即点M的轨迹方程为/+(y+1)2=4,

又点M在圆C上，所以Oo-a)2+(yo-a+1)2=1,

2

若存在这样的点M,则就+(y0+1产=4与(x()-a)2+(y0-cz+I)=1有交点，

即两圆的圆心距d满足1Wd＜3,

即14戏溟＜3,

解得弓＜a＜芋或一乎＜a＜

故a的取值范围是［孝，崂U［-挈，-乎］.

17.解：(1)设椭圆C的焦距为2c(c＞0),四边形力F1BF2为平行四边形，其面积设为S,

则S=2c3=0，所以c=收，

所以口2一按=C2=3,

解得层=4,b2=1,

所以椭圆C的方程为a+y2=i.

(2)证明：F2(邓,0),当直线I与X轴重合时，I的方程为y=0,

此时不妨令|F2Ml=a+c=2+y^,\F2N\=a-c=2-木,则号两+]7%=4；

当直线2与无轴不重合时，1的方程可设为刀=ay+避，

由[x=W+群

出｛x2+4y2=4，

得(加+4)y2+2避my—1=0,4=(28m)2+4(m2+4)=16(m2+1)>0,

设N(%2,y2)，

则yi+y2=-31^,%为=一方%<o，

22

\F2M\=A/(XI-A/3)+yi=d(myi+木一病2+yf=yjl+m\yi\,

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3322

\F2N\=J(%2-J3)2+%=^](my2+V-V)+y\=^/1+m|y2|,

1

1,]_z1,1、_1.lyifl_]J(yi+>2)2-4丫/2_d

尸2Ml十\F2N\—Jl+TH211yli十\y2\)—Jf不Q'\yiy2\~«+*加汨—

综上所述，岛Ti+l7/为定值4，

18.解：(I)不妨设双曲线E的半焦距为c(c>0),

因为△尸%尸2的面积为3,

1

所以旌「七展=打尸小四2|=3,

解得|P%|・|PF2l=6,

易知|P%|一|P&|=2a,

对等式两边同时平方得|PFF+|PF2『-2|PFi||PF2l=4a2,

又|PFi『+尸2『=4c2,

即4c2—12=4a2,

因为=c21a2,

解得炉=3,

因为双曲线E的离心率为2,

所此=2,

解得。2=1,

2

则双曲线E的方程为久2_白=1；

(11)由(1)知产2(2,。)，4(—1,0),5(1,0),

因为直线MN的斜率不为0,

不妨设直线MN的方程为％=ty+2(—*<t<争，M(x1)yi),yV(x2,y2),

'%=ty+2

联立/_乃=1,消去X并整理得(3t2-l)y2+12ty+9=0,

由韦达定理得当+丫2=一[告，yiy2=豆

9

因为^AM~久1+1，kpN=X2—1

斫以旗M_yi(汽2-1)_月(b2+1)_1yly2+%_322T_丫2__i

万以跖N一丫2(尤1+1)—y2(tyi+3)一tyy+3y2—3y2一—

±23tz-l

即々BN