福建省福州市八县(市)协作校高三上学期期中联考数学试卷（含答案解析）

福州市八县（市）协作校2024-2025学年第一学期期中联考高三数学试卷【完卷时间：120分钟；满分：150分】一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为，又，所以.故选：A.2.下列函数是偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据定义域分析判断；对于D：根据偶函数的定义分析判断.【详解】对于选项A：令，可得；令，可得；两者不相等，所以不是偶函数，故A错误；对于选项B：令，可得；令，可得；两者不相等，所以不是偶函数，故B错误；对于选项C：因为的定义域为不关于原点对称，所以不偶函数，故C错误；对于选项D：因为的定义域为，且，所以是偶函数，故D正确；故选：D.3.已知正项等比数列的前项和为，若，则的值为（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列通项公式得到，再利用等比数列求和公式即可得到答案.【详解】设等比数列的公比为，则由题意得，因为，则，解得或（舍），则.故选：C.4.设，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，由向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】向量，，，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B5.幸福感指数是生活质量的一个评价指标，其中，分别表示物质生活指标与精神生活指标.幸福感指数越大，生活质量越高.如果某人近年的物质生活指标没有变化，精神生活指标由变为，幸福感指数由3提高到5，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件列式，结合对数运算及对数函数单调性求解即得.【详解】依题意，，即，而函数是的增函数，所以.故选：C6.若点是曲线上任意一点，则点到直线距离最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设出点的坐标，利用点到直线的距离公式列式，再构造函数并利用导数求出最小值.【详解】依题意，设点，则点到直线的距离，令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，则，所以点到直线距离最小值为.故选：C7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用换元法，结合余弦函数的和差公式与三角函数基本关系式即可得解.【详解】因为，令，则，即，所以，则，所以，所以.故选：B.8.已知函数，若存在使得，，依次成等差数列，则实数取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差中项公式，结合对数函数的性质得到在定义域内有解，再利用参变分离，结合换元法与二次函数的性质即可得解.【详解】因为存在使得，，依次成等差数列，所以在定义域内有解，又，所以，即，则在定义域内有解，由对数函数的定义域可知，，又，所以，所以，令，则，因为的图象开口向上，对称轴为，所以在0,+∞上单调递增，所以，所以，又，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，将问题转化为在定义域内有解，从而得解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知x、y都是正数，则（）A. B.若，则的最大值为2C.的最大值为 D.【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式求解判断ABC；举例说明判断D.【详解】对于A，，则，当且仅当时取等号，A错误；对于B，，解得，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，当时，，D错误.故选：BC10.已知函数（，，）的部分图象如图，则（）A.B.C.在上单调递减D.将图象向右平移个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），最后将纵坐标变为原来的（横坐标不变）得到图象，则为正弦曲线【答案】BCD【解析】【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出解析式，再逐项判断得解.【详解】观察图象得，，由，得，又，且在的单调增区间内，则，由，得，解得，而的最小正周期满足，即，则，解得，因此，，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，当时，，正弦函数在上单调递减，因此在上单调递减，C正确；对于D，将的图象向右平移个单位，得的图象，因此图象对应的解析式为，为正弦曲线，D正确.故选：BCD11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的最大值为B.函数既存在极大值又存在极小值C.当时，方程有且只有一个实根D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】运用导数研究函数的单调性和极值，判定AB，根据单调性和极值画出草图判定C，构造新函数，借助极值点偏离判定D.【详解】对于A，对求导得到.令，即，则.解得.当时，，函数单调递增.当时，，函数单调递减.所以是函数的极大值点，也是最大值点.得.所以选项A正确.对于B，由选项A可知函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数存在极大值，不存在极小值，故B错误.当时，，当时，，且，作出函数的大致图象如图所示，又，所以方程有且只有一个实根，故C正确.对于D，不妨设.要证，即证.因为在单调递减，所以只需证.设，.则，.,由于，则，，，则，则分母.，，，，,则分子为正数，因此.可得，所以在单调递增.所以，即，所以，正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为_____.【答案】【解析】【分析】利用投影向量的意义，结合向量的夹角公式计算即得.【详解】依题意，在上的投影向量为，则，，而，所以.故答案为：13.若函数的图象关于点成中心对称，则_____.【答案】【解析】【分析】在函数的图象上取两点，，求出它们关于点对称的点，，再代入，解方程组即可得解.【详解】因为的定义域为，又的图象关于点2,0成中心对称，所以在函数的图象上取两点，，则它们关于点2,0对称的点，也在函数的图象上，所以，即，解得，经检验，满足题意，所以.故答案为：.14.已知函数的定义域为，若f2x+1为奇函数，为偶函数，且，则_____.【答案】【解析】【分析】利用函数的奇偶性得到的相关式子，从而变形分析得是周期函数，再利用赋值法依次求得所需函数值，从而利用的周期性即可得解.【详解】因为f2x+1为奇函数，所以，即，所以，因为偶函数，所以，所以，即fx+2=−f所以fx+4则是周期为的周期函数，因为fx+2=−fx则，，所以，因为，所以，则f1=0，则.故答案为：.【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：（1）若，则函数关于中心对称；（2）若，则函数关于对称；（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，若公差，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式以及等比中项的应用得到方程组，解出即可；（2）裂项得，再代入求和即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，且，则，即，解得，则.【小问2详解】，所以.16.已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，是的中点，，求.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦计算得解.（2）中，依次利用余弦定理求解即得.【小问1详解】在中，由及正弦定理得，即，而，，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，，在中，由余弦定理得，即，整理得，又，则，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.17.已知函数的最小正周期为.（1）求在上的单调区间；（2）若方程在上的解为，，求的值.【答案】（1）递增区间是，递减区间是；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数并求出解析式，再利用正弦函数的性质求出单调区间.（2）利用正弦函数的对称性求出，再求出.【小问1详解】依题意，，则，解得，因此，当时，，由或，得或，由，得，所以在上的单调递增区间是，递减区间是.【小问2详解】由，得，当时，，依题意，，解得，所以.18.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围；（3）当时，若，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出，再利用导数分类探讨函数的单调性.（2）由（1）的信息，利用导数探讨最大值，求出函数有两个变号零点的的范围.（3）求出函数，利用导数求出最小值并结合基本不等式推理即得.【小问1详解】函数的定义域为，求导得，令，求导得，当时，，函数在上单调递增；当时，由，得，由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】由函数有两个极值点，得函数有两个变号零点，由（1）知，当时，最多一个零点，不符合题意；当时，，而从大于0的方向趋近于0时，的值趋近于负无穷大，当趋近于正无穷大时，的值趋近于负无穷大，要函数有两个变号零点，当且仅当，解得，所以实数的取值范围是.【小问3详解】当时，，，求导得，令，求导得，函数在上单调递增，而，则存在，使得，即，当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，所以.19.设自然数，由个不同的正整数，，…，构成的集合.若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数.对于集合，若取得最大值，则称集合为“极异集合”；（1）对于集合，求，并判断其是否是的“极异集合”（无须说明理由）.（2）设集合是“极异集合”.（i）记，求证：数列前项和；（ii）证明：.【答案】（1），不是极异集合（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据集合计算得出，再根据性质定义可判断不是极异集合；（2）（i）根据是极异集合则其子集是极异集合，可证，再求和即可证明；.（ii）不妨设，利用（i）的结论可证，从而可求最大值.【小问1详解】对于集合，，不是极异集合.对于，其共有7个非空子集：各集合的和分别为：,则，，因为有两个相等元素所以集合不是极异集合.【小问2详解】（i）因为是“极异集合”，故对于任意的k，也是“极异集合