2024-2025学年高一数学第一次月考卷（新高考地区专用集合与逻辑+不等式）

2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷01

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式。

5.难度系数:0.65o

第।卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知全集。=Z,集合4={*=|无三一3典>3},3=(0,3),贝股的4人3=()

A.(1,2)B.{1,2,3}C.{0,1,3}D.{1,2}

【答案】D

【详解】由已知可得84={—2,—1,0,1,2,3},又3=(0,3),5={1,2}.

故选：D.

2.在R上定义运算"Jab=ab+2a+b,则满足x」(x-2)<0的实数x的取值范围是()

A.(。,2)B.(—2,1)C.(—co,—2)(1,+oo)D.(—1,2)

【答案】B

【详解】根据给出在R上定义运算％(%-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),

由工(%—2)v0得(x+2)(%—1)<0,解之得一2<x<l,

故该不等式的解集是(-2,1).

故选：B

3.若两个正实数x，y满足4元+y=孙，且存在这样的x，y使不等式X+4〈疗+3机有解，则实数机的取值范

4

围是()

A.(-1,4)B.(-4,1)C.(^x),-4)U(l,+oo)D.(^x),-3)U(0,+oo)

【答案】C

41

【详解】由4%+丁=孙，x,y>0,可得一+—=1,

y%

所以

c4xy、--4xy,

=2+——+—＞2+2-------=4,

y4x\y4x

4xv

当且仅当一=六，即y=4x=8时等号成立.

所以m2+3/n＞4,m2+3/n-4=(m+4)(/n-l)＞0,解得机＜-4或机＞1,

所以实数机的取值范围是(-8,-4)5L+8)-

故选：C.

4.对于VxeR,用国表示不大于x的最大整数，例如：㈤=3,［-2』=-3,则"国＞3〃是苗＞”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】当时，如x=3.2,y=3.1,不能得到［x］＞3，

由［可＞3,则国＞”［习,又xN印,所以一定能得到x＞y,

所以"区＞［可"是成立的充分不必要条件.

故选：A.

5.已知全集为U,集合N满足"NU,则下列运算结果为。的是().

A.MDNB.(翔N)u(VM)

C.Mu(%N)D.N5dM

【答案】D

【详解】如图，

因为/NU,所以“N=N手U,故A错误;

因为(瘵V)u(uM=；f(McN)=故B错误;

因为/NU,所以故C错误；

因为MNU,所以ND(2Af)=U,故D正确.

故选：D

6.关于x的一元二次方程/+了+〃?=0有实数解的一个必要不充分条件的是（）

1111

A.m<—B.m<—C.<—D.m<—

2424

【答案】A

【详解】因为一元二次方程Y+无+〃?=0有实根,

所以A=l—4根NO,解得根4二.

4

又（if是（-oof的真子集,

11

所以"（-8三）〃是〃（-8,f〃的必要不充分条件

24

故选：A

7.不等式黑＞1的解集为卜|尤＜-1或x＞4},则渭20的解集为（）

x-6<x<-^

A.B.{x|-l<x<

x-64%<一；

C.<x<l

【答案】A

【详解】不等式黑＞1可转化为［（。-1卜-6+1］（*+6）＞0,

其解集为{x|x<-1或X>4},

所以。＞1,且方程（av-x-b+l）（x+b）=0的两个根为尤1=T,々=4,

-a+l—b+l=0、4。一4-0+1=0a=6。=1

则4+8=0或-1+1,解得67或（舍去）,

b=l

Y+6丁）（：一）叫解—一：

即有罚2°,即

一4九一1，04

所以不等式的解集为X-6V：

故选：A.

14

8.已知尤+y=—+—+8(x,y>0),则x+y的最小值为()

xy

A.5石B.9C.4+726D.10

【答案】B

1414

【详解】x+y=—+—+8=>x+y-8=—+—,

xyxy

两边同时乘以〃x+y〃得：(X+j-8)(x+y)=(-+—)(%+y),

兀y

所以(工+丁一8)(入+>)=('+±)(%+')=5+2+把29,

xyxy

当且仅当y=2尤时等号成立，令/=苫+九

所以(—8)429,解得Y-1或/N9,

因为x+y>0,所以x+yN9,即(x+y)1nto=9,

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下面命题正确的是()

A.若尤,ywR且x+y>2,则％,y至少有一个大于1

B."任意x<l,则/<1"的否定是"存在x<l,则尤221”

C.设x,yeR,贝！|"x22且y22"是/+俨24的必要而不充分条件

D.设a,6cR,贝iJ"awO"是""WO"的必要不充分条件

【答案】ABD

【详解】对于A,假设x，y都不大于1,即X<1,y<l,则x+y42与已知矛盾，假设是错的，原命题为真

命题，A正确；

对于B,"任意x<l,则于<1"的否定为“存在无<1,则炉",B正确;

对于C,x»2则尤21,yN2则yz*4,x2+y2>8,则成立,满足充分性，C错误；

对于D,当时，他可能为零，当成20时，。一定不等于零，贝「a力0”是"必大0"的必要不充分条件，

D正确.

故选：ABD.

10.若a>b>0,则下列不等式成立的是()

ba-、—bb+1-1,1

A.—>—B.ab>bC.—<------D.a+—>b+—

abaQ+1ba

【答案】BCD

nh

【解析】对A,若a>b>0,则/>〃，两边同时除以必，所以:〉二，A错误；

ba

对B,由a>b>0可得而>/，B正确；

对C,因为々S+1)-优1+1)=々一人>。，所以〃("+1)>优〃+1)>。，即"^>2,C正确；

a+\a

对D,由a>6>0可得，—>—>0,所以—，D正确.故选：BCD.

baba

11.已知关于x的一元二次不等式a?+桁+c>。的解集为"，则下列说法正确的是()

A.若M=0,贝!Ja<0且"一4acW0

B.若三=刍=£，则关于x的不等式储尤2+外+£；，>0的解集也为〃

abc

C.若“="|-1<》<2},则关于X的不等式a（尤2+1）+6。-1）+。<2依的解集为双={彳|无<0,或%>3}

D.若〃=印彳W%/为常数},且。<6,则"+："+4’的最小值为5+2百

b-a

【答案】ACD

【详解】A选项，若M=0,即一元二次不等式奴2+6x+c>0无解，

则一元二次不等式a?+6x+c<0恒成立，

•­-a<0>/72-4ac<0,故A正确；

3F人abc/,a.,b.c

B选项，令~7=77=-（才wOx）,贝!j〃=—、b=_、c=—,

abcttt

a'x2+Z/%+c'>0可化为』（Q%2+/ZX+C）>0,

t

当f<0时，！（。/+法+0）>0可化为办?+区+c<o,其解集不等于故B错误；

t

C选项，若出={x|-1cx<2},

贝i|a<0,且-1和2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，

bc

.•一1+2=——,且一lx2=一,/.b=-a,c=-2a,

aa

关于元的不等式”(X2+1)+b(x-1)+c<2ax可化为1(f+1)-Q(X-1)-2〃<lax,

可化为。(%2—3%)<0,avO,X2-3X>0,解得x<0或%>3,

即不等式。(/+1)+伏％—l)+c<2ax的解集为N={x|x<0,或x>3},故C正确；

D选项，M={%|%。无0，%0为常数}，

b2

a+3b---

...a>0且/_4〃c=o,a+3Z?+4ca，

b-ab-a

b>a>Q,..b-a>Of令b—a=t>0,贝ljb=a+t,

.b1*、(a+t)2

Q+3obH---Q+3(〃+f)H---------

g_a

b-at

当且仅当r=则6=（1+国」3+国",且。为正数时，等号成立,

2

所以"+"+"的最小值为5+26,故D正确.

b-a

故选：ACD.

第II卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知lWa+6W4,-l<a-b<2,贝U4a—26的取值范围为.

【答案】[-2,10]

【详解】解：设4。一处=龙（。+6）+y（<?一6）=（尤+_y）a+（x-y）b,

fx+y=4f%=l

所以c，解得。，

[x-y=-2口=3

因为14a+6W4,-1<a-b<2,

则-3V3（a-b）46,

因此，—2V4a—2bW10.

故答案为：[-2,10].

—+4x+5<0

13.已知关于X的不等式组c2<s<、，的解集中存在整数解且只有一个整数解，则上的取值范围

2x+5x<-[2x+5）k

为.

【答案】[-6,2）53,4]

【详解】由f—4x—5=（x-5）（x+l）>0,得x<-l或x>5,

所以2d+（2左+5）x+5左=（2x+5）（x+左）<0的解集与｛x|x<-1或无>5｝的交集中存在整数解，且只有一个整

数解.

当上时，2/+（2々+5）X+5/<0的解集为止匕时一2〈一左46,即一6W左<2,满足要求；

当上=|时，2d+（2左+5）x+5左<0的解集为0,此时不满足题设；

当上时，2x?+（2Z+5）x+5左<0的解集为%<x<—,此时TW—上<—3,即3<上44,满足要求.

综上，%的取值范围为[F2）u（3,4].

故答案为：[-6,2）53,4]

14.定义集合尸=｛x|a<x<）｝的“长度”是6-。，其中a,beR.已如集合加=3旌无4机+；｝,

N=｛x|Vx。｝,且M,N都是集合｛x|l<x<2｝的子集,则集合McN的"长度"的最小值是；若加=[，

3

集合MuN的〃长度〃大于（，则〃的取值范围是.

…【答…案】记1/°」「8⑺七（9T门

13

【详解】集合"=｛%1相根+5｝,N=｛x\n--<x<n｝,且M,N都是集合｛%11<%<2｝的子集，

-3n__>18

由〈1c，可得1W〃2〈二，由<5-,可得二

m+-<22-5

[2[n<2

要使McN的"长度"最小，只有当加取最小值、,取最大或机取最大、〃取最小时才成立.

当"2=1,〃=2,="长度''为■|-（=2，

当机=：〃=|,McN=bGwxw|}，"长度'为（一

乙D[ZDJ1U

故集合McN的"长度"的最小值是七；

什6"1|6//17]

要使集合"UN的"长度”大于（，故，广|<3-|或〃>[+|，

即",那或又，故"e修2,

1U33L。1UJ_

1「817、<9J

故答案为:-；,

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知集合人={%1-24％-"5}、集合3={%|M+1KXK2机一1}（meR）.

⑴若AB=0,求实数相的取值范围；

⑵设命题P：xeA；命题叫xeB,若命题P是命题的必要不充分条件，求实数相的取值范围.

【详解】（1）由题意可知A={%]—2«x—1<5}={划—1«%«6},

又AB=0,当5=0时，m+l>2m-l,解得根<2,

当5w0时，m+1<2m—1,m+1>6或2根-lv-1,解得相>5,

综上所述，实数加的取值范围为（-e,2）D（5,+8）；..............6分

（2）回命题P是命题9的必要不充分条件，团集合B是集合A的真子集，

当3=0时，m+l>2m-l,解得m<2,

m+1<2m-1

7

当时，m+l>-l（等号不能同时成立），解得24加工5，

2m-1<6

综上所述，实数机的取值范围为1-肛g..............13分

16.（15分）

甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在A民GD四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者

为胜.甲先取两个容器，余下的两个容器给乙.已知43的底面积均为产,高分别为xj;C、D的底面积均为「，

高分别为尤、y(其中x#y).在未能确定X与y大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案(即指出甲取哪两

个容器可以获胜)，并说明此方案必胜的理由.

【详解】设A,B,C,。的体积分别为匕，VB,Vc,VD,则匕=盯1%=>3,

甲从A,B,C,D中任选2个，有8cme£>,共6种可能，..............4分

当时，则彳3>无2y>肛2>,3,即匕>

则%+%>%+%，匕+%>/+七，即甲取B2CD均不能够稳操胜券；.............7分

当X<y时，贝即％>%>%>匕，

则%+%>%+%，%+%>%+%，即甲取AC,均不能够稳操胜券；..............10分

若甲先取AD,贝lJ(K+%)-(%+%)=x3+y3_(到2+x2y)=(x-y)2(x+y)>0,

即匕+%>/+%，即甲先取AD能够稳操胜券，选2C不能够稳操胜券；

综上所述：甲必胜的方案：甲选AD...............15分

17.(15分)

已知实数。、6满足:9a2+b2+4ab=W.

(1)求ab和3a+6的最大值；

(2)求96+〃的最小值和最大值.

【详解】(1)S9a2+b2+4ab=l0,回9/+/=10—4。匕，

09«2+Z?2>6ab,^110-4ab>6ab,回

当且仅当°=/、6=g或a=-*、6=-百时等号成立，回向的最大值为1,

09<72+Z?2+4«Z?=lO,回(3a+b)2—10=2ab,

2

re7223〃+久2(3a+b)

02ab=—x3axb<—x(----)=--------,

3326

El(3a+6)2-10W«"+3[a(3a+6)2<12,

6

@3a+b426,当且仅当°=£、6=g时等号成立，回3a+6的最大值为2石；..............7分

}0-9a2-b2

(2)团9a之+人？+4ab=10,^\ab=----------

4

10—Q/y2_A2

团9a2+/之6ab,09«2+Z?2>6x---------,BP9«2+Z72>6,

4

当且仅当a=且、6=若或。=-4、6=-石时等号成立，国9/+〃的最小值为6,

33

又9aH6ab,团-6x-J即9/+”30,

当且仅当°=巫、b=-后或a=-叵、6=岳时等号成立,

33

国9片+〃的最大值为30.............................15分

18.(17分)

已知函数y=(m+1)*2-(m-l)x+m-l.

⑴若不等式(帆1)%+帆-Ivl的解集为R,求加的取值范围；

(2)解关于兄的不等式(加+1)%2-2如+加一1》0；

⑶若不等式(根+1)/—根—12。对一切WxW(卜恒成立，求机的取值范围.

【详解】(1)由题意，

当根+1=0,即m=-l时，2x-2<l,解集不为R,不合题意；

当加+1。0,即m^-1时，(m+l)x2-(m-l)x+m-2<0的解集为R,

Jm+l<0Jm<-1

■,[A=(m-l)2-4(m+l)(m—2)<0'即[3m2-2m-9>0

故m<-l时,m<--汉7.

3

综上，m<--..............6分

3

(2)由题意得，

(m+l)x2-2mx+m-l>0,即[(m+l)x-(m-l)](x-l)>0,

当加+1=0,即m=-l时，解集为{%,之1};

(rn—\\

当m+l>0,BPm>—1时，％------(x-1)>0,

(m+lj

即二z1=i__?_<1,解集为LL<^lpJa>i);

m+1m+11|m+1j

(m—1、

当m+l<0,即m<-\时，x--------(x-1)<0,

Vm+1J

m-1121叼*且IL,m-l|

——7=l-------育军集为\x\l<x<——-k

m+lm+l[|m+lj

综上，当m<-l时，解集为卜卜二，；

当>n=-l时，解集为卜卜训；

当m>-l时，解集为卜4^^■加2“............................11分

(3)由题意,

(m+l)x2-(m-l)x+m-l>0,BPm^x2-x+l^>-x2-x+1,

x2-x+l>0恒成立，

r—x2—x+\2(1—x)

---------=-l+^——

x—X+1x—X+1

13

设l-x=t,贝|J-<t<-,x=l-t

1-x_t_/_1

x2-x+l-(I-/)2-(1-0+1-t2-t+l~j1I，

t

t+->2,当且仅当r=l时取等号，

t

1—x

.・.FI1当且仅当』时取等号,

/21\

—X—X+I

当x=Q时,=1,

,%2—X+I.

、/max

:.m>\,

回加的取值范围为［L+8)..