2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（解析版）

2024-2025学年高一上学期期中

数学试卷

(试卷满分150分，考试用时120分钟)

姓名班级考号

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求.

1.(23-24高一上.山东潍坊・期中)命题“HreZ,xeN”的否定为()

A.3XGZ,%eNB.定Z,xeN

C.VXGZ,D.VXGZ,xeN

【答案】c

【知识点】特称命题的否定及其真假判断

【分析】根据特称命题的否定，即可求解.

【详解】命题“*eZ,xeN”的否定为：

VxeZ,尤把N；

故选：C.

2.(22-23高一上•河北石家庄•阶段练习)下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是()

A.f(x)=xB./(x)=-C./(x)=-x|x|D./(x)=-x2

X

【答案】c

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性

【分析】根据函数单调性以及奇偶性的判定即可求解.

【详解】对于A,7(x)=x为增函数，不符合题意；对于B,/(x)=：为奇函数，但是该函数在定义域内不

符合单调递减的定义，错误；对于C,f(-x)=x|x|=-f(x),故为奇函数，当xNO时，/(X)=-苫2在[0,也)

上单调递减，当x<0时，/5)=1在(-<»,0)单调递减，故C符合题意；对于D,/(x)=-d为偶函数，且

在定义域内不单调.

故选：C

3.(22-23高一上•山东•期中)已知集合川=卜卜=而1}，N={H-1(尤<2},则()

A.(-1,1)B.(-1,1]C.(1,2)D.[1,2)

【答案】B

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【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域

【分析】求出函数的定义域化简集合再利用交集的定义求解作答.

【详解】由y=Jl-x得:1-%>0,解得尤W1,则有M={无1x41},而双={*|—l<x<2},

所以=

故选:B

4.(22-23高一上•山东•期中)下列各组函数中，表示同一函数的是()

A.f(x)=x,g(x)=^-B.f(x)=E，g(x)=(冏一

C./(x)=Vx2+x,g(x)=&.Jx+1D.f(x)=x2,g(x)=V?

【答案】D

【知识点】判断两个函数是否相等

【分析】分别判断选项中函数的定义域和对应关系，即可得到答案.

2

【详解】对选项A,因为〃力=%定义域为R,g(无)=?定义域为{x|x卢0},定义域不同，

所以/■(*),g(x)不是同一函数，故A错误.

对选项B,因为〃尤)=值定义域为R,g(x)=(«『定义域为{x|x>0},

定义域不同，所以〃尤)，g(“不是同一函数，故B错误.

对选项C,因为〃尤)=定义域为{x|xN0或无WT},

g(x)=«.Jx+1定义域为{x|x20},定义域不同，

所以〃x),g(x)不是同一函数，故C错误.

对选项D,因为〃力=》定义域为R,g(x)=4F定义域为R,

g(x)=V?=f=〃x),

所以g(x)是同一函数，故D正确.

故选:D

5.(23-24高一上•山东潍坊•期中)某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分

别为q,4且生工出.若他每次购买数量一定，其平均价格为4;若他每次购买的费用一定，其平均价格为外，

贝U()

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A.b1<b2B.bx>b2

C.=b2D.4，2不能比较大小

【答案】B

【知识点】作差法比较代数式的大小

【分析】根据条件分别计算出配4,作差比较大小即可.

【详解】假设每次购买这种物品的数量为，小

则平均价格4=〃叼.

2m2

假设每次购买这种物品所花的钱为〃，

nn

则第一次购得该物品的数量为一，第二次购得该物品的数量为一，

ax生

_2«_2_2%的

则平均价格2~nn~11-。+外,

---1---------114

.ax+a22a1a2(a1+%『-4a1a2

则--------1一二一-一,一；一

2%+%2(。]+%)

J%—%)>0,

2(。1+%)

所以4>b29

故选：B.

、[2x—m,x<l1

6.(22-23高一上•山东•期中)已知函数〃%)=1,若/(/())=5,则加二

[x9x>l2

A.-4B.-1C.-4或-1D.-4或

4

【答案】A

【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数值

【分析】根据给定条件，求出/(；),再分段讨论求解作答.

r2%—YYI%<11

【详解】函数/(')=―〉；一，则/(5)=1-机，

当1一机K1,即机NO时，/(/(^))=/(1-m)=2(l-m)-m=5,解得m二一1,无解，

当l-m>1,即机<0时，f(/(^))=f(1-m)=l-m=5,解得m=-4,则m=T,

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所以根=-4.

故选：A

7.(22-23高一上•山东•期中)已知函数/(x)=P：>°z若g(x)="»,则g(x)是()

A.奇函数，在(-℃,0)和(0,+℃)单调递增

B.奇函数，在(F,0)和(0,+s)单调递减

C.偶函数，在(F,0)单调递增，在(0,+8)单调递减

D.偶函数，在(F,0)单调递减，在(。,+8)单调递增

【答案】C

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性

【分析】根据给定条件，求出g(x)的解析式，再判断分段函数奇偶性、单调性作答.

[]x>0f(、一,%>0

【详解】函数/(尤)=C，而g(x)=£1"，则g(x)==，

H尤x--,x<0

当x>0时，-x<0,贝Ug(-尤)=--1=J=g(x),且g(尤)在(0,+动上单调递减，

当x<0时,-x>0,则g(-x)=°=」=g(x),且g(x)在(YO,0)上单调递增,

-XX

所以g(x)是偶函数，在(f,0)上单调递增，在(。,+8)上单调递减.

故选：C

8.(22-23高一上.山东.期中)定义在R上的函数满足：①(玉-％)>。

(%,马«0,内)当*赴)，②〃x)+〃-x)=0,③〃-1)=0,则不等式对'(x)>0的解集是()

A.或%>1}B.或0vx〈1}

C.<0或x>l}D.{]|—1<兄<0或0vxvl}

【答案】A

【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式

【分析】根据给定条件，探讨函数/'(X)的性质，再利用性质求解不等式作答.

【详解】因",X2€(0，+8)，占7%,[/(^)-/(%2)](^-%2)>0,则/(X)在(0,+8)上单调递增，

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X/(x)+/(-x)=O,则函数/(可是R上的奇函数，因此〃力在(-8,0)上单调递增,

/、,[x<0八f尤>0[x<0,[x>0

显然阿T(T=。,不等式”)>。化为:—…，即—…，

解得x<-l或X>1,所以不等式犷(x)>0的解集是{x|x<-l或X>1}.

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.(23-24高一上•安徽阜阳•阶段练习)如果。<b<0,c<d<0,那么下列不等式一定成立的是()

,.„„<7c-d+bc+b

A.ac>bdB.ac~>bd2C.一<—D.-------<-------

aaa+ba+b

【答案】ACD

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数(式)大小、作差法比较代数式

的大小

【分析】利用不等式性质可判断AC正确，取特殊值可知B错误；利用作差法可知D正确.

【详解】由题知一。>一6>0,-c>-d>0,所以ac>6d,故A正确；

取a=c=—2,b=d=-1,则a<?2=-8,bd2=—1,故B不正确；

因为c<4,-<0,所以&<£,故C正确；

aaa

巾生人+dc+bd-c„.d+bc+b北八十.

因为-----=--<0,故一-<-故D正确，

a+ba+ba+ba+ba+b

故选：ACD.

/(%),/(%)<g(x)

10.(22-23高一上•山东•期中)已知函数〃x)=2-国，g(x)=d,设函数"(x)=

g(x),f(x)>g(x),

A."(x)是偶函数

B.方程H(x)=；有四个实数根

C."(x)在区间(0,2)上单调递增

D.H(x)有最大值，没有最小值

【答案】ABD

【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、根据图像判断函数单调性、求函数

零点或方程根的个数

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【分析】作出“（X）的图像，利用图像对四个选项一一验证.

【详解】作出“⑺的图像如图所示：

对于A：因为“（X）的图像关于y轴对称，所以H（x）是偶函数.故A正确；

对于B：作出直线y=g的图像，与H（x）的图像有4个交点，所以方程H（x）=g有四个实数根.故B正确;

对于C：从图像可以看出”（x）在（0,1）上单增，在（1,2）上单减.故C错误；

对于D：从图像可以看出；当》=1或x=-1时，"（无）=1最大，没有最小值.故D正确.

故选：ABD

11.（23-24高一上•山东潍坊•期中）对于任意实数无，函数满足：当+时，

f^x）=x-n,则（）

A./（2023）=0B.小）的值域为

C.“X）在区间上单调递增D.7（x）的图象关于点小⑼（旌Z）对称

【答案】AB

【知识点】判断或证明函数的对称性、分段函数的值域或最值、根据解析式直接判断函数的单调性、求分

段函数值

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【分析】对于A,当“=2023时，可得了。)=尤一2023,即可求得,(2023)=0；对于B,把〃一,

变形-g<x-〃V；,即可求得〃尤)的值域；对于C,分别令〃=0,〃=1,可求得

=/(1),函数在-|，|上不具有单调性，即可判断；对于D,根据条件求得

/5+g)=g和函数不关于(〃,0)对称，故D错误.

【详解】对于A,当”=2023时，

4045,4047型、

贝！J---<x<―--,/(x)=x-2023,

所以7(2023)=2023-2023=0,故A正确；

对于B,当〃一gEZ)时，

则一g<x-n<^,即一;

故“X)的值域为1，故B正确；

对于C,当〃=0时，一g<:vwg,时，/(x)=x,

则/(无)在(后方上单调递增；

13

当〃=1时，—<x<—,时，f(x)=x—1,

则/(幻在(31系3上单调递增，

则冲《吟=9冲=吟,

故/(X)在区间(-；卷上不具有单调性，故C错误；

对于D,当〃一;<%W〃+；(〃£Z)时，f^x)=x-n,

则/(«+1)=1,

当当"-1——<xn-1+Z)时，/(x)=x-(〃-l)=x-〃+1,

所以/(〃-g)=；,

贝U/(〃+g)=/(〃-g)=J，所以/(无)不关于5,0)对称，故D错误，

故选：AB.

第H卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

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12.（2023-2024高一上•山东・期中）若命题FxeR,V-x+a<0”是假命题,则实数。的取值范围是.

【答案】；，+—

【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在实

数集上恒成立问题

【分析】根据特称命题是假命题进行转化即可.

【详解】•「命题R,%2<0”是假命题，

「・命题"WxGR,x12*4—X+6Z>0”是真命题，

贝lj△=1一4a<0,解得a>—,

4

则实数。的取值范围是；,+［.

故答案为：3十°°；

13.（22-23高一上•山东•期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉,

函数y=［引称为高斯函数，其中xeR,［可表示不超过x的最大整数，例如：［-2川=-3,［3』=3.

①若函数〃x）=x-凶，则〃x）的值域为；

②若函数g（无）=［无］+；,贝U方程g（x）-2x=0所有的解为.

【答案】［0,1）U

44

【知识点】求函数的零点、复合函数的值域、函数新定义

【分析】①对任意实数X,利用给定的函数定义即可求出值域作答；②令〃Wx<〃+l,〃eZ,结合高斯函数

求出〃的取值作答.

【详解】①VxwR,存在0Z,使得左Vx〈左+1,则印=左，因此。斗-印<1,所以函数〃力的值域为［0,1）；

②令+则g（x）=〃+<，2n<2x<2n+2,由方程g（x）-2x=0,得"+g=2x,

131

由2〃W〃+—<2〃+2解得，——<n<—,ffnMGZ,于是得〃=一1或〃=0,

222

11

当〃=一1时，—,当〃=0时，x=—,

44

所以方程g（“-2x=0所有的解为-；,；.

故答案为：［0,1）；-

44

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14.（23-24高一上•山东日照・期中）若不等式啰*虫>1对一切实数x均成立，则实数机的取值范围

X+X+1

为.若存在实数6,使得关于根的方程苏+（3-6）机+6-6=0在上述范围有解，则实数6的取值范

围为.

【答案】[1,5）

【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数与方程的综合应用、一元二次不等式在实数集上

恒成立问题

【分析】①由条件转化为不等式（根-i）f+（m-l）x+l>0恒成立，运用分类讨论思想及一元二次不等式恒

成立条件可求出，”的范围；②由条件转化为方程b=病*+6有解,求。的范围即转化为函数

m+1

土网火的值域,运用分离常数法及对勾函数的单调性即可得结果.

'7m+1

【详解】由条件可知即为不等式（机-1）九2+（m-1）X+1>O,X£R恒成立，

当m=1时不等式显然恒成立；

当mwl时，由一元二次不等式（吁1）*2+（加-1）*+1>0”11恒成“可得我<0,

[m>l

iP|（m-l）（m-5）<0>

综上可知：〃2的取值范围为[1,5）；

因为me。,5）,可知m+lwO,

依题意，方程疗+（3-b）m+6-6=0有解，

即方程6=Qt网次,（心机<5）有解，

所以求6的范围即转化为求函数=f+6,（l<m<5）的值域，

.，心+3〃z+6=（曰）&=（相+1）*f1,

'7m+lm+l'7m+l

令/=m+1£12,6）,g^=t+—+l,

又对勾函数g⑺在[2,6）上为增函数，且屋2）=5,g（6）=y,

~23、「23、「23、

;.g⑺e5,yI,BP.-./We5,—\,所以b的取值范围为5,yI,

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故答案为：[1,5）；51]

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

f—+1,<1

15.（13分）（23-24高一上•山西朔州•阶段练习）已知函数/（%）=।।'

x-Lx2]

⑴画出函数“X）的图象;

3

⑵求//的值;

（3）求出函数/（X）的值域.

【答案】（1）作图见解析

吟

（3）[O.^o）.

【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、画出具体函数图象、分段函数的值域或最值

【分析】（1）根据分段函数的解析式，可直接画出函数的图象；（2）根据函数的解析式，可直接求值；（3）

根据函数图象可得函数的值域.

（3）由（1）得到的图象可知，的值域为[0,+©）.

16.（15分）（22-23高一上•山东•期中）已知函数A（x）=/,1的定义域为集合4集合

尤~+4了+12

B=^x\\—m<x<l+m,m>0^.

（1）求集合4

（2）请在下面这两个条件中任选一个，补充在横线处，并给出问题的解答.

①充分条件，②必要条件.

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是否存在实数相，使得xeA是xeB的?若存在，求出机的取值范围；若不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)4=何-2<*<6｝；

(2)答案见解析.

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、根据必要不充分条件求参数、具体

函数的定义域

【分析】(1)根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答.

(2)选择条件①，②，分别利用充分条件、必要条件的定义，借助集合的包含关系求解作答.

【详解】(1)函数+[+]2有意义，

—/+4》+12>0,解得一2<x<6,

所以集合4={H-2<X<6}.

1-m<-2

(2)选择①：%£A是XEB的充分条件，则AqiS,由(1)知，<1+m之6,解得机>5,

m>0

所以实数机的取值范围为机>5.

1-m>-2

选择②：xeA是xeB的必要条件，则8屋4,由(1)知，，1+机46,解得0<相43,

m>0

所以实数机的取值范围为0<加(3.

17.(15分)(23-24高一上•山东潍坊•期中)已知函数对于任意实数x,yeR,都有

/(x+y)+2=/(%)+/(y),且"2)=4.

⑴求/⑴的值;

(2)令g(x)=〃x)-2,求证：函数g(x)为奇函数;

(3)求”—2023)+〃一2022)+…+〃一1)+"0)+/⑴+…+”2022)+“2023)的值.

【答案】(1)3；

(2)证明见解析；

(3)8094

【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、奇偶函数对称性的应用

【分析】(1)应用赋值法即可；

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(2)应用奇函数的定义即可判断；

(3)结合(2)转化为求g(—2023)+…+g(O)+…+g(2023)+4047x2,即可求解.

【详解】(1)当尤=y=l时，/(1+1)+2=/(1)+/(1),则/⑴=3；

(2)当当x=y=0时，/(0+0)+2=/(0)+/(0),则/(0)=2；

设丫=一左，则/(x-x)+2=/(x)+/(—x),贝lJ/(x)+/(-x)=4,

贝1J/(-x)-2=4/(x)-2],即g(t)=-g(x),

即函数g(x)为奇函数.

(3)由(2)知，g(x)=/(x)-2为奇函数,则

/(-2023)+/(-2022)+-+/(-1)+/(0)+/(1)+-+/(2022)+/(2023)

=g(-2023)+g(-2022)+…+g(-1)+g⑼+g⑴+…+g(2022)+g(2023)+4047x2=8094.

18.(17分)(23-24高一上•山东潍坊•期中)为改善生态环境，某企业对生产过程中产生的污水进行处理.

已知该企业污水日处理量为x百吨(704尤W120),日处理污水的总成本V元与x百吨之间的函数关系可近似

地表示为y=1x2+40.X+5000.

(1)该企业日污水处理量为多少百吨时，平均成本最低？(平均成本=』)

X

(2)若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该企业污水处理进行财

政补贴，补贴方式有两种方案：

方案一：每日进行定额财政补贴，金额为4200元；

方案二：根据日处理量进行财政补贴，处理x百吨获得金额为40X+1700元.

如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴?并说明原因.

【答案】(1)100百吨；

(2)选择方案二，日处理污水量为100百吨时，成本最低，获得最大利润.

【知识点】求二次函数的值域或最值、利用二次函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值

【分析】(1)根据条件写出日污水处理量的平均成本表达式，利用基本不等式求解出其最小值；

(2)根据两种补贴方式分别列出企业日获利的函数表达式，并求解出最大值，将最大值进行比较确定出所

选的补贴方式.

【详解】(1)由题意可知，每百吨污水平均处理成本为？=二+侬+40,无€[70,120].

x2x

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px5000/c、°x5000cs/ic1

又万+----+4022,-----------+40=2x50+40=140.

当且仅当;=里她，即x=100百吨时，每百吨污水的平均处理成本最低.

2x

(2)若该企业采用第一种补贴方式，设该企业每日获利为X，由题可得

%=100x-(1x2+40尤+5000)+4200=-1x2+60x-800=-1(x-60)2+1000,

因为尤w[70,120],所以当％=70百吨时，企业最大获利为950元.

若该企业采用第二种补贴方式，设该企业每日获利为必，由题可得

222

y2=(140尤+1700)-(1X+40尤+5000)=-1x+100x-3300=-1(x-100)+1700

因为尤e[70,120],所以当x=100百吨时，企业最大获利为1700元.

结论：选择方案二，日处理污水量为1。。百吨时，成本最低，获得最大利润.

19.(17分)(22-23高一上•山东•期中)给定feR,若存在实数天使得“尤。)=〜成立，则定义/为〃x)的

「点.已知函数”尤)=加+b尤+b+6(xeR).

⑴当a=l,6=-3时，求的1*点；

(2)设。=1,b=Y,若函数〃无)在(。,+向上存在两个相异的/*点，求实数f的取值范围；

(3)对于任意的ae,总存在be[-2,0],使得函数/(x)存在两个相异的点，求实数f的取值范围.