2024-2025学年江苏省南京市高二年级上册10月六校联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省南京市高二上学期10月六校联考数学

检测试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.

1.已知复数2满足0+2I）Z=3—41,则目=（）

A.6B.也C.3D.5

2.设。为实数，已知直线4："+3y-2=0,：6x+（"3）歹+4=0,若k〃％,则a=（

）

A.6B.一3C.6或一3D,16或3

3.已知焦点在*轴上的椭圆加3的焦距为6,则实数加等于（）

321

C.12D.12-66

A.4B.4

COS。=6(\

sin]cr-—

tan|(7+—|=

已知I4>,则l4

4.()

A.-V3B.-3C.6D,3

设直线即+=0与圆0：/+（丁—2）2=16相交于45两点，且VN8C的面积为

5.2

8,则。=（）

C.1D.母

A.-V2B.-1

已知"为直线：夕+上的动点，点P满足MP=G，-4）,则点p的轨迹方程

6./2%+31=0

为()

Ip9+3+4)29=高49

歹+

A.3%-29=0B.13

,,49

2x+3y+9=0D(%+2)+3.4)=~

7.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，/8=8,44=2,图1中水面高度

]_2

恰好为棱台高度的5,图2中水面高度为棱台高度的§,若图1和图2中纯净水的体积分别

匕,

26287387

A.3B,5C,208D.208

22

二+P（xv）

8.关于椭圆有如下结论：“过椭圆。b上一点乍该椭圆的切线，

22

警+理=1C：A+==l（a〉b〉0）

切线方程为少左.，，设椭圆a'b-的左焦点为右顶点为A,

过/且垂直于x轴的直线与C的一个交点为过M作椭圆的切线/,若切线/的斜率

勺与直线4W的斜率左2满足尢+2&=°,则椭圆c的离心率为（）

12V|

A.3B.3c.3D.2

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学

生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如

下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）

A.a=0.025

B.高一年级抽测成绩的众数为75

C.高二年级抽测成绩的70百分位数为87

D.估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分

10.已知加，〃是两条不同的直线，°,〃是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）

A.若a"B,mlla,〃_L£,则加B.若mua,则

mHn

Q若加_La,〃///?,mHny则D.若仪，£,mua,〃u/7,贝1

m-Ln

11.已知圆C：（X—2）2+/=4,以下四个命题表述正确的是（）

A,若圆》2+产—10》-8歹+〃2=°与圆。恰有3条公切线，则加=16

B.圆/r'ZynO与圆。的公共弦所在直线为2x+>=°

C,直线°机+1）“+G机+2）>—5机—3=°与圆°恒有两个公共点

D.点尸为V轴上一个动点，过点尸作圆C的两条切线，切点分别为48,且48的中点为

M,若定点"（5,3）,则"N的最大值为6

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

12.从分别写有12，3,4,5的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍

数的概率为

13.己知P为椭圆°，9+4—1上的点，“（1，°）,则线段取长度的最小值为.

14.已知"（°'2），8（1，°），°6°）,点。是直线2。上的动点，若ZQWGBD恒成立，则

正整数/的最小值是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记V4BC的内角4瓦。的对边分别为a，“。,旦加in2/=asinfi

（1）求角A；

3月

（2）若a=的面积为2,求V48C的周长.

16.如图，圆柱。0中，是一条母线，48是底面一条直径，C是荔的中点.

（1）证明：平面PNC，平面P5C；

（2）若尸幺=248=4,求二面角/一尸8_。的余弦值.

17.某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比

赛中只有48两道题目，比赛按先A题后8题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答

对3题得3分，答错得0分.已知学生甲答对A题的概率为），答对8题的概率为4,其中

32

0<p<l,0<q<l学生乙答对A题的概率为答对2题的概率为3,且甲乙各自在答

1j_

48两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为§,得3分的概率为％.

（1）求夕国的值；

（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.

18.已知圆河过点'（3'3）,圆心M在直线2》+了—5=°上，且直线x―2了+5=°与圆

河相切.

(1)求圆〃的方程;

(2)过点,(°'一2)的直线/交圆M于48两点若A为线段Q8的中点，求直线/的方程.

v221

C:——H—v—=l(ci>b>0)一,404

19.已知椭圆a卜的离心率为2分别为椭圆C的左、右顶点，

气巴分别为椭圆C的左、右焦点，恒阳=6.

(1)求椭圆°的方程；

(2)设与工轴不垂直的直线/交椭圆°于凡°两点(用。在工轴的两侧)，记直线

4P，4P,4。，4。的斜率分别为勺，及2,左3，k4

(i)求自%2的值;

左+左4=[(左2+左3)

(ii)若3问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点,

说明理由.

2024-2025学年江苏省南京市高二上学期10月六校联考数学

检测试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.

1.已知复数z满足0+2I)Z=3—41,则目=()

A.石B.石C.3D,5

【正确答案】B

【分析】根据复数的乘、除法运算可得z=-l-2i,结合复数的几何意义计算即可求解.

3-4i(3-4i)(l-2i)3-6i-4i-8,〜

z=------=------------------=----------------=-1-21

【详解】由题意知，"2i(l+2i)(l-2i)5,

所以目“尸+(-2)=0

故选：B

2.设。为实数，已知直线/i+3y-2=0」2&+("3)y+4=0,若/J",则a=(

)

A.6B.一3C.6或—3D.一6或3

【正确答案】A

【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.

【详解】因为所以"("3)=18,解得："6或a=-3.

当〃=6时，4：6x+3y—2=0,4：6x+3y+4=°平行

当a=-3时，小―3x+3y-2=04：6x-6歹+4=0,可判断此时重合，舍去.

故选：A

3.已知焦点在工轴上的椭圆机3的焦距为6,则实数机等于(

221

12-673

A.4B.4C.12D

【正确答案】C

【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解.

［详解］由题意知，m>3,a=Gi,b3c=3,

又。2=〃+02,所以加=3+9=12,

即实数机的值为12.

故选：C

C0S6Z_6

.，兀）（兀）

sina——tan。+—=

4.已知I4J，贝UI4J（）

AB.-3C.百D.3

【正确答案】B

【分析】根据两角差的正弦公式和同角的商关系可得tana=2,结合两角和的正切公式计

算即可求解.

cosa_后

sin(a--)cosa=也sin(a)=V2(^-sina-cosa)=sina-cosa

【详解】由4,得422,

/兀、tana+13.

tan(6Z+—)=----------=——=-3

即tan。=2,所以4l-tana-1

故选：B

5.设直线即+2=0与圆。：/+3—2)2=16相交于48两点，且V48C的面积为

8,贝()

A.一拒B.-1C.1D.亚

【正确答案】C

【分析】利用三角形的面积公式可得2,由圆心C（0,2）到直线x+*+2=°的距

离］，再利用点线距公式建立方程，解之即可.

1,

S=-x42sinZACB=8

【详解】由三角形的面积公式可得2,

TI

,ZACB=-

得sniNZCB=l,由0〈44cB＜兀，得2,

所以V48C为等腰直角三角形，

所以圆心C（°，2）到直线x+即+2=0的距离为d—4smw—2行，

|2Q+2|7—

d=/=25/2

由点到直线的距离公式得&+/,解得。=1.

故选：C

6.已知M为直线/：2x+3y+l=°上的动点，点尸满足必则点尸的轨迹方程

为（）

49

9+（J+4）0=

a3x-2j+9=0B.（”一2）l3

、49

（X+2）9

c2x+3j+9=0D+U—4）=—

【正确答案】C

【分析】由点「坐标，得到四坐标，代入直线方程即可.

【详解】设点尸（”/）,因为⑼^⑵一外，所以"（X—2/+4）,

代入直线方程可得：2（%-2）+3&+4）+1=0,

化简可得.2x+3y+9=0

所以P的轨迹方程为2x+3j+9=0.

故选：c

7.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，4s=8,4瓦=2,图1中水面高度

j_2

恰好为棱台高度的5,图2中水面高度为棱台高度的§,若图1和图2中纯净水的体积分别

6287387

A.3B.5C.208D.208

【正确答案】D

【分析】根据棱台的体积公式，求出忆匕，即可解出.

【详解】设四棱台的高度为人，在图1中，中间液面四边形的边长为5,在图2中，中间液

面四边形的边长为6,

川Vx=g（64+25+j64x25）g=^^,%=；（4+36+14x36）,=^^

匕_387

所以心福

故选：D.

22

=+3=1（。）"。）P（xV）

8.关于椭圆有如下结论：“过椭圆。b上一点厂乍该椭圆的切线,

22

号+岑=1U*+==l（a〉b〉0）

切线方程为如b.，，设椭圆a-b-的左焦点为右顶点为A,

过尸且垂直于x轴的直线与C的一个交点为过.作椭圆的切线/,若切线/的斜率

《与直线幺〃的斜率占满足尢+2左2=°,则椭圆c的离心率为（）

12V2

A3B.3C.3D.至

【正确答案】C

【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再求出切线/与直线的斜率，列式求解

即可.

土/…）

【详解】依题意，“（a，O），E（—c，O）,由工=^代入椭圆方程得'

a,不妨设a

b2

—y

7-CXJ1

I:----1--a......二1

则切线,/〃，即卜=0+4,切线/的斜率K=e,

b2

ja/_022

直线ZM的斜率2-c—aa（a+c）,则e+2（e—1）=0,所以,下,

故选：C

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学

生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如

下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）

A.〃=0.025

B.高一年级抽测成绩的众数为75

C.高二年级抽测成绩的70百分位数为87

D.估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分

【正确答案】ABD

【分析】根据频率分步直方图、样本的数字特征等基础知识判断即可.

【详解】对于A：由®0025x2+0.010+0.02+a+0.04)xl0=l,解得°=0.025,正确;

对于B：由频率分布直方图可知高一年级抽测成绩的众数为75,正确；

对于C：因为"0.025,由(0.0025x2+0.010+0.025)x10=0.4,

3

(0.0025x2+0.010+0.025+0.04)x10=0.8八小阳曰80+10x7=87.5

17,所以70百分位数是4,故

错误；

对于D：高一年学生成绩的平均数约为

45x0.04+55x0.11+65x0.18+75x0.35+85x0.22+95x0.1=74分；

高二年学生成绩的平均数约为

45x0.025+55x0.025+65x0.1+75x0.25+85x0.4+95x0.2=80.75分，

因为74<80.75,故正确；

故选：ABD

10.已知机，〃是两条不同的直线，a,6是两个不同的平面，则下列说法正确的是(

)

A.若尸，机//a,则加B.若。〃"，"?ua,〃u力，则

mHn

C.若切_La,〃//尸，mlln,则D.若mua,〃<=，，贝°

mLn

【正确答案】AC

【分析】根据给定条件，利用空间线线、线面、面面垂直或平行关系逐项判断即可.

【详解】对于A,由机"a,得存在过直线机的平面与平a交，令交线为c,则加

而〃，a"B,则〃La,因此加上〃，A正确；

对于B,由a“尸，mua,〃u力，得机,〃是平行直线或异面直线，B错误；

对于C,由“///,得存在过直线〃的平面与平厂交，令交线为/,则〃/〃，

由机〃〃，得加/〃，又加贝因此c正确；

对于D,a，B,〃?ua,〃<=力，当机，〃都平行于名月的交线时，mlln,D错误.

故选：AC

11.已知圆C：（x-2）2+/=4,以下四个命题表述正确的是（）

A,若圆x2+FT°x_8y+加=0与圆C恰有3条公切线，则加=16

B.圆与圆。的公共弦所在直线为2x+y=°

C,直线°机*1）“+G机+2）>—5机—3=°与圆c恒有两个公共点

D.点?为V轴上一个动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为48,且48的中点为

M,若定点N（5,3）,则MN的最大值为6

【正确答案】BCD

【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A；由两圆方程相减即为两圆公共弦所在直线方程,

即可判断B；求出直线所过定点坐标，得到定点在圆内，故直线与圆〃恒有两个公共点，即

可判断C；易知直线恒过定点（°，°）,由加上加得出点M的轨迹，结合点与圆的位

置关系计算即可判断D.

【详解】A：由题意得：1+「—1°”—8歹+加=°的圆心为（5,4）,半径为

—V64+100-4m=J41一加

2,

该圆与圆C：（X-2）2+/=4有3条公切线，则两圆外切，

所以J（5—2）+（4—0）=卜41—优+21解得机=32,故A错误；

B：两圆的圆心分别为®T），（2，°）,半径分别为1和2,

则2T=1〈河后不前7<3=1+2,所以两圆相交,

/+y2+2v=0与(x-2)2+/=4相减得:2x+y=0

故圆/¥2+2〉=°与圆c的公共弦所在直线为2x+V=°,故B正确;

2x+3y-5=0fx=1

令［x+2y—3=0,解得L=l,

即直线（2根+Dx+（3机+2）y—5切-3=0恒过点（L1）,

由于（1—2）+-<4,点（1,1）在圆屈内，

所以（2机+l）x+（3机+2）y—5机—3=0与圆屈恒有两个公共点,故c正确；

D：如图，圆C（2，°）,半径为2,则圆C与y轴相切，切点为原点°,即为A,

易知直线A8恒过点“（0，°）,又〃为AB的中点，则00，加，

所以点M的轨迹是以NC为直径的圆，圆心为"°）,半径为1,

又阳5,3）,所以的最大值为"（5-1）?+（3-Op+1=6,故口正确.

故选：BCD

关键点点睛：本题D选项的关键点在于直线恒过定点（°，°）,由功工用得出点M的

轨迹为圆.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

12.从分别写有12，3,45的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍

数的概率为.

2

【正确答案】5##0.4

【分析】由古典概型概率计算公式直接求解.

【详解】从五张卡片中任取两张共有c;=l°,

两张卡片上的数字之和是3的倍数有，（1'2）（L5）（2,4）,（4,5）共4种,

P--4--2

所以概率105.

2

故《

u土2+匕2_]

13.已知P为椭圆，94上的点，/&°）,则线段取长度的最小值为.

【正确答案】5##5

【分析】记线段4的长度为"，表达”的函数，利用尸（X。，为）；-3-X0-3,结合二次函

数的性质即可求"的最小值.

【详解】设/仕°）,记线段口的长度为"，尸是椭圆E上任意一点，

设尸（%,%）,-3三工0-3

x

d=J（x（）T）2+%2=j（x（）-1）2+4,_/=J-|o-2x0+5

所以：Yl力V9

=9逑

由于—故'=时，d有最小值，且d的最小值5,

4亚

故5

14.己知/（°'2），8（1，0），°（/，0）,点。是直线/。上的动点，若AD4班BD恒成立,则

正整数力的最小值是.

【正确答案】4

Z）|x,—x+2j厂

【分析】求出直线NC的方程，设I'人由/DWJ33D,列不等式，利用判别式

法求出/的范围，即可求解.

2°

y——x+2

【详解】由题意知直线NC的方程为'/

因为点。是直线NC上的动点，所以可设I/<

2

厂A/^¥^-J（x-l）+4p-lT

因为ADW6BD,所以'tVVJ；

（2+马——,+当x+1520

化简得：I厂）I㈠对任意x恒成立，

A=f6+—1-4xl5xf2+^<0A=4+--7^°

所以I=''）,化简得rt,

t〉[2+10&{<12-]0/

解得一7或一7,结合r为正整数得：/的最小值为4.

故4

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记V4BC的内角C的对边分别为凡“c,且加in2/=asinS

（1）求角A；

3G

（2）若°=J7,A4BC的面积为2,求V4BC的周长.

471

A——

【正确答案】（1）3

⑵5+夕

【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化，即可求解，

（2）根据面积公式可得税的值，结合余弦定理即可求解.

【小问1详解】

因为加in24=asinB,所以2加irk4cos4=asinB

根据正弦定理，得2sia8siiL4cosZ=sirUsinS,

cosA=一

因为sinBw0,sirb4w0，所以2.

又4«0㈤,所以

【小问2详解】

s--bcsmA=—bc---=----be=6

在V48C中，由已知‘2222

，J,a=5

因为3

,=(b+c)2—26c-26c.臼

由余弦定理可得/=62+c2_26ccosN,即7U7,

即7=3+。）~—36。，又6>0,c>0所以b+c=5

所以V/5C的周长周长为5+J7.

16.如图，圆柱。9中，P4是一条母线，48是底面一条直径，C是筋的中点.

（1）证明：平面尸平面P5C；

⑵若P4=24B=4,求二面角/一尸8-。的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

2

(2)3.

【分析】(1)由线面垂直的性质可得P/,BC，又结合线面垂直和面面垂直的

判定定理即可证明；

(2)如图，确定NCE°是二面角“一尸8一C的平面角，利用定义法求解即可.

【小问1详解】

因为PZ是一条母线，所以平面48C,

而BCu平面ABC,则PA±BC,

因为幺8是底面一条直径，c是次的中点，所以NNC8=90。，即NC,8C,

又PA,ACu平面尸/C且0=4,

所以8C，平面P4C,而8Cu平面%C,

则平面尸/C,平面P5C.

【小问2详解】

设PZ=228=4,则08=26，

因为C是令的中点，。为底面圆心，所以平面

作OELPB,交融于点£连接CE,

由。E，PB,CE1PB可知，ACEO是二面角A-PB-C的平面角.

0E=彳=2#

则P5,OE=尸力.30,即2V55,

CE=y]0C2+0E2=—

在直角AC°£中，5.

2后

cos，CEO=_5厂=-

3A/53

所以5

2

故二面角A-PB-C的余弦值为3.

c

17.某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比

赛中只有48两道题目，比赛按先A题后8题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答

对8题得3分，答错得0分.已知学生甲答对A题的概率为），答对2题的概率为4,其中

32

学生乙答对A题的概率为答对8题的概率为3,且甲乙各自在答

1]_

48两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为§,得3分的概率为％.

（1）求夕国的值；

（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.

21

p=一,q=一

【正确答案】（1）32

11

(2)36.

【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.

（2）记甲得分为z•分的事件为G（Z=。'2,3,5）,乙得分为7•分的事件为2（z=。，2,3,5）,

从而得到不低于8分的事件为E=C3D5+C5D3+C5D5,再结合概率加法、乘法公式即可求

解.

【小问1详解】

1

Pq=3

(、1

由题意得

21

解得p=G3，q=72.

【小问2详解】

比赛结束后，甲、乙个人得分可能为°，2,3,5.

记甲得分为i分的事件为G（，=°，2,3,5）,乙得分为i分的事件为。。=0,2,3,5）,

相互独立，

记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E,

则£=G05+C5O3+C5Q5,且GABsAiGA彼此互斥.

易得6.

尸山）=局冬然G）《9）=洛"

所以尸（E）=尸（GA+C5D3+（GA）+尸）

C5D5）=P（C5D3）+P（GA

=1X1+Ixi+Ixi=n

62363236

11

所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为36.

18.己知圆〃过点'（'3）,圆心/在直线2x+y-5=°上，且直线x—2y+5=°与圆

M相切.

（1）求圆河的方程；

（2）过点2）的直线/交圆M于48两点若A为线段Q8的中点，求直线/的方程.

【正确答案】（1）（%—2）2+3-1）2=5

（2）x=0或5xT2y-24=0

【分析】（1）由待定系数法即可求解；

⑵设“（XJ）,从而得到8（2x，2y+2）,由48在圆上，代入方程求解即可解决问题.

【小问1详解】

设圆〃的方程为&-a?+"-A》=’,

因为圆M过点'(36),所以(3-4+(3-6)2=/①，

又因为圆心/在直线2x+.v-5=°上，所以2a+6-5=0②，

\a-2b+5\

r=-------j=——1

直线x—2y+5=0与圆M相切，得到V5③，

由①②③解得：a=2,6=1/=后因此圆”的方程为(x—2)2+(y_l)2=5.

【小问2详解】

设“(”/),因为N为线段8。的中点,所以5(2羽2y+2),

24

X=——

13

<(X-2)2+(J-1)2=5卜=o

16

因为48在圆M上，所以1(2x—2)+(2了+1)=5,解得］>=°或y------

13

当“(°，°)时，由°(°「2)可知直线i的方程为x=0.

-2+15

k=^2T=n

当〔13'司时，由